導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用■函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題5題型分類

彩題生江總

題型1:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問(wèn)題

題型2：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)的

零點(diǎn)問(wèn)題5題型分類

題型4：零點(diǎn)與不等式的證明問(wèn)題

題型3：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求值

彩和源宏庫(kù)

1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)

的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與無(wú)軸(或直線>=左)在某區(qū)間上的交點(diǎn)

問(wèn)題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).

2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令/G)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間m，6］上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)<0,還必

須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不

同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將/(x)整理變形成

/■(x)=g(x)-4x)的形式，通過(guò)無(wú))兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函

數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：

（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定

極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)

構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想

研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

彩儺題和籍

（-）

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法

（1）直接求零點(diǎn)：令外）=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，句上是連續(xù)不斷的曲線，且八.）負(fù)6）＜0,還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

（4）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

注：導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的

探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)

極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，

分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考

的地方

題型1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1-1.（2024高三下?江蘇常州?階段練習(xí)）已知/（無(wú)）=sin"x,g（x）=\nx+mex（〃為正整數(shù)，meR）.

⑴當(dāng)，=1時(shí),設(shè)函數(shù)，（力=爐-1_2/（0,xe（O,7i）,證明:〃卜）有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

⑵當(dāng)〃=2時(shí)，證明：華Lg（x）＜（x+zn）e，一1.

1-2.(2024?江西九江?二模)已知函數(shù)/(x)=e'—ax2(aeR),g(x)=x-l.

(1)若直線V=g(x)與曲線>=f(x)相切，求a的值；

⑵用min｛加,〃｝表示根，"中的最小值，討論函數(shù)〃(x)=min｛/(x),g(x)｝的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

1-3.(2024?山東一模)已知/(x)=asinx-x+」一(x>-l),且0為/(x)的一個(gè)極值點(diǎn).

X+1

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

(2)證明：①函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,+co)上存在唯一零點(diǎn)；

11?1

@------<^sin—<1,其中〃wN*且〃>2.

2n+1五k

1-4.(2024?山東?一模)已知函數(shù)/(x)=asinx-ln(l+x).

⑴若對(duì)VX￡(-1,O］時(shí)，/(x)>o,求正實(shí)數(shù)。的最大值；

n1

(2)證明：2sin^<ln2；

⑶若函數(shù)g(x)=/(x)+e印-asinx的最小值為〃?，試判斷方程e"。-ln(l+x)=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理

由.

1-5.(2024高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x2-alnx(aeR).

⑴判斷函數(shù)了(無(wú))的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=r(x)-/(x)-21n〃x),證明：當(dāng)。=2時(shí)，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

彩他題秘籍

(二)

根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從/(x)中分離

參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通

過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)

!的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各

I個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

-------------------------------------------------------------------------------------------------

I題型2:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

2-1.(2024高二下?浙江臺(tái)州?期末)已知函數(shù)/(x)=alnx+?.

i(1)當(dāng)“=1時(shí)，求曲線>=/(》)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

[(2)證明：當(dāng)時(shí)，/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

：⑶若/(X)在區(qū)間(0,1),(1,+⑹各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

I2-2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=§+lng)_2(a>0),若函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,+“)內(nèi)存

I在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

!2-3.(2024?四川成都?一模)已知函數(shù)/3=(；砂+〃>工-僅+1卜.

!(1)討論“X)的單調(diào)性；

|(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

11

I2-4.(2024高三上?廣東?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-5)e'+a(x+5)2.

(1)討論)(x)的單調(diào)性;

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

I

2-5.(2024?浙江?二模)設(shè)函數(shù)/(x)=x—sin—.

2

：(1)證明：當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)<0；

(2)記g(x)=/(x)-aln|x|,若g(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求。的值.

i2-6.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知/(無(wú))=/+無(wú)2+辦+'有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

I

I

I

，題型3:根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求值

_4—XA

(3-1.(2024?陜西寶雞?二模)已知/是方程/ei+21nx-4=0的一個(gè)根，則e亍+21nx0的值是()

A.3B.4C.5D.6

32(2024高三上?廣東東莞?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x2-2x)e"若方程/⑴=。有3個(gè)不同的實(shí)根為，

X?JC3(X]<x2<x3),則—的取值范圍是___________.

2-X2

3-3.(2024?福建福州?二模)已知函數(shù)/'(x)=x2e2，-(a+l)xe*+2a-l有三個(gè)零點(diǎn)%,工2戶3,且再<Z<0<多，

t32

則(27聲)(2-x2e^)(2-x3e)=.

彩他題秋籍(=)

零點(diǎn)與不等式的證明問(wèn)題

證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，

或者通過(guò)比值代換[令'=；1利用關(guān)系式將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，代入要證明的不等式，化簡(jiǎn)

后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等

式.

題型4：零點(diǎn)與不等式的證明問(wèn)題

4-1.(2024高三上?廣東深圳?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=gae2-x2-ax,aeR.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(x)+x2的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)當(dāng)0<。<〒7，時(shí)，函數(shù)/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)不，*2(JCj<x),證明：x>2.

e—122

4-2.(2024?寧夏)已知函數(shù)/(x)=(x3+3x2+ax+b)eT

(I)如.=6=-3,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(X)在(-co,a),(2,￡)單調(diào)增加，在Q2),(夕,+oo)單調(diào)減少，證明

/3—a>6.

y—1

4-3.(2024?廣東深圳?二模)已知函數(shù)/(%)=-----。Inx.

x+1

(1)當(dāng)a=l時(shí),求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)①當(dāng)0<a時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；

②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為4，X2,x3,且再<々<三，試證明才(1-％)>

2

4-4.(2024?山東日照?三模)已知函數(shù)/(x)=缶-9-Ina-1有三個(gè)零點(diǎn).

I(1)求。的取值范圍；

I(2)設(shè)函數(shù)7'(x)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是再?gòu)V2，%.證明：ae^>e.

1

i4-5.(2024?江蘇泰州?一模)已知函數(shù)xe(0,+oo),g(x)=.

［⑴若a>0,求證：

(i)/(x)在/(x)的單調(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；

(ii)g(x)在(0,+oo)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

*2)若°>1,記g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為三,乙,求證：4<x1+x2<a+4.

4-6.(2024?遼寧?二模)已知函數(shù)/(x)=e*-lnx—a.

(1)若a=3.證明函數(shù)/*)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)/(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)三,三,證明：ex,X1>ex,+e%2+2-2a.

4-7.(2024高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))已知函數(shù)〃X)=1IU」(〃L1)X+L

|⑴若/(x)存在極值，求相的取值范圍；

|(2)若他=0,已知方程/［十］=2有兩個(gè)不同的實(shí)根蒼,演，aeR,證明：%+%>2eln，.(其中e*2.71828

I是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

彩儺題秘籍

(四)

導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問(wèn)題

利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求''及"等量代換”，常見(jiàn)的有不含參和含參兩種類型：①不

|含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題：已知不含參函數(shù)人x),導(dǎo)函數(shù)方程/(x)=0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程/(x)=0

!的根為xo,則(7)有關(guān)系式/(xo)=O成立；(汾注意確定xo的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題：已知含參函

|數(shù)八x,。)，其中。為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程/(x,a)=0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程/(x,a)=0的根為xo,

!則⑺有關(guān)系式/(xo,a)=0成立，該關(guān)系式給出了xo,。的關(guān)系；(”)注意確定xo的合適范圍，往往和。的取

i值范圍有關(guān).

|題型5:導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問(wèn)題

1------

5-1.(2024?全國(guó))設(shè)函數(shù)/(x)=e?*-alnx.

(I)討論〃x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

2

(II)證明：當(dāng)0>0時(shí)/(x)22"+aln=.

5-2.(2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x-alnx.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，記較小零點(diǎn)為七,求證：(a-l)jco>a.

煉習(xí)與翌升

一、單選題

1.(2024?天津)函數(shù)/(x)=2,+X3一2在區(qū)間(0川內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

2.(2024?全國(guó))函數(shù)〃X)=/+G+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

A.(-oo,-2)B.(-oo,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

3.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/(x)=f—2%+〃(/一1+「'+1)有唯一零點(diǎn)，貝I」。=

111

A.—B.—C.-D.1

232

4.(2024?吉林通化?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(》)=12+2)卜3-3分+6)滿足：①定義域?yàn)槲?；②g<6<4；

③有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)不，巧，則:+：的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.^-1,--C.D.(1,2)

X-1

5.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=±j+]七+。，若/(x)=0有3個(gè)不同的解士，蒞，鼻

QXjX2X3

且再<%2<%3，貝U------1--------1------的取值范圍是()

石x2x3

A.(e,+00)B.[2e,+oo)

C.(-8e,+oo)D.(e,2e)

6.(2024高三上?河北保定?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=;?一辦2+法+1,則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)6=0時(shí)，/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.當(dāng)。=0時(shí)，“X)的圖象關(guān)于(0,1)中心對(duì)稱

2

C.當(dāng)6=幺，且。>-4時(shí)，/(X)可能有三個(gè)零點(diǎn)

2

D.當(dāng)“X)在R上單調(diào)時(shí)，a>3b

7.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于函數(shù)/(x)和g(x),設(shè)玉e{尤|/(x)=0},X2g(x)=0},若存在知巧，

使得|西-苫2區(qū)1,則稱“X)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)".若函數(shù)/(力=j3+尤-4與g(x)=lnx-mx互為"零

點(diǎn)相鄰函數(shù)"，則實(shí)數(shù)加的值可以是()

In5In3In21

A.--B.--C.---D.一

532e

三、填空題

8.(2024?北京)已知函數(shù)/(x)=|lgM-far-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若左=0,/⑸恰有2個(gè)零點(diǎn)；

②存在負(fù)數(shù)左，使得/(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；

③存在負(fù)數(shù)左，使得AM恰有3個(gè)零點(diǎn)；

④存在正數(shù)左，使得/(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

9.(2024高三上?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試)已知定義在R上的函數(shù)/(x)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：

①“X)為奇函數(shù)；②當(dāng)0W2時(shí)，/(x)=/一3x,③當(dāng)丘0時(shí)，/(x+2)=/(x)+2.

則函數(shù)了=/(x)-M|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

XQX-x2-2x,X<1

10.(2024高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=，，則方程/[/(x)]+：=l有—

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

11.(2024?陜西西安?一模)若函數(shù)〃力=2/一"2+igeR)在(Q+司內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則/⑺在

[-2,2]上的最大值與最小值的和為.

四、解答題

12.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/'(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)為/⑸的導(dǎo)數(shù).證明：

rr

(1)/(X)在區(qū)間(-1,萬(wàn))存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

13.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/(x)=g尤3+x+l).

(1)若。=3,求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：〃尤)只有一個(gè)零點(diǎn).

14.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/(x)=ax-'-(a+l)lnx.

x

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求〃x)的最大值；

⑵若/(X)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

15.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+"eT

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線>=/(》)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

⑵若/(X)在區(qū)間(TO)，(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

16.(2024高三上?河南■階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(尤)=(x-2)ln(x-l)-ax,aeR.

(1)若/(x)在⑵+功上單調(diào)遞增,求a的取值范圍；

(2)已知“X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)三,力,

(i)求。的取值范圍；

11,

(ii)證明：一+—=1.

國(guó)x2

17.(2024高三上?四川成都?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=alnx+x-L有三個(gè)零點(diǎn)西廣2，%(^<x2<x3).

(1)求。的取值范圍；

(2)過(guò)點(diǎn)(占,0)與(％,0)分別作“X)的切線，兩切線交于M點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.

18.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/(x)=J-lnx+x-a.

(1)若/(x)ZO,求0的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)和馬,則毛%<1.

-m

19.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑴=Inx+—-2.

x

⑴若不等式/(x)<-2有解，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)占,12，證明：21nm<lnx1+lnx2<l+lnm.

20.(2024?陜西)設(shè)<(X)=X+%2+...+X"_L〃￡N,2.

(I)求力(2)；

(II)證明：力⑴在層］內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為。，)，且0<%一"0".

21.(2024高三上?河南洛陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)(1)證明不等式：e'-2>lnx(第一問(wèn)必須用隱零點(diǎn)解決，否則不

給分)；

(2)已知函數(shù)〃x)=(x-2)e，+aQ-l)2有兩個(gè)零點(diǎn).求。的取值范圍.(第二問(wèn)必須用分段討論解決，否則不給

分)

22.(2024高三上?河北?期中)已知函數(shù)/'(x)=2e"+a(%2-lnx)+x.

(1)若。=-2e7,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵記函數(shù)g(尤)=---4n(x+l)+x+4,若/(x+l"g(x)恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

23.(2024高三上■云南■階段練習(xí))已知g(x)=xe，-a(lnx+x).

⑴當(dāng)。=1時(shí),求g(x)在。,+動(dòng)上的單調(diào)性；

(2)若力(x)=xe",令/(x)="(x),討論方程/(x)=m(meR)的解的個(gè)數(shù).

Y-I-7)

24.(2024高三上?北京?開(kāi)學(xué)考試)己知函數(shù)〃x)=ax-7,曲線y=/(x)在(OJ(O))的切線為了=f+l.

e

⑴求a,b的值；

(2)求證：函數(shù)在區(qū)間(1,+⑹上單調(diào)遞增；

⑶求函數(shù)Ax)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

25.(2024高三上?河北保定?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃aeR.

⑴當(dāng)a=T時(shí)，證明：/卜)>1在卜萬(wàn),0］上恒成立；

⑵當(dāng)。=1時(shí)，求“X)在優(yōu)2句內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)..

26.(2024高三上?重慶?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)=e'-x2-x-l,其導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

(1)求尸/'⑺的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(X)=-/+("l)x,求關(guān)于X的方程g(x)=/(x)的解的個(gè)數(shù).

27.(2024高三上?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=sin(x-l)一旦X,/⑺為〃x)的導(dǎo)數(shù).

⑴證明：/'(X)在區(qū)間(0,1+5]上存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)求函數(shù)〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

28.(2024高三上?重慶?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=xei.

⑴求的極值；

⑵若關(guān)于X的方程/(x)=加只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

29.(2024高三上?四川廣安?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x3+3"-2.

(1)討論/*)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)"X)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

30.(2024高三上?江西南昌?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/卜)=優(yōu)僅＞1).

⑴求函數(shù)g(x)=/(x)+/]￡|在(0,+。)上的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若方程/(￡|=l-xbg“x有兩個(gè)不同的正根，求”的取值范圍.

31.(2024高三上?福建廈門?階段練習(xí))若函數(shù)”尤)=公3_法+4,當(dāng)尤=1時(shí)，函數(shù)有極值為2,

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵若〃x)=左有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)人的范圍.

32.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(同=卜+2)6'+/+辦，其中常數(shù)aeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若。=-3,求的最小值;

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-2cos尤恰有一個(gè)零點(diǎn)，求°的值.

e

33.(2024高三上?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=alnx-j(aeR).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+1在區(qū)間。,+8)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

34.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú))=。111工-皿。,6€11,。片0).

⑴求證：曲線了=/(x)僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線；

(2)若。=2b>0時(shí)，關(guān)于x的方程〃x)=加-x?有唯一解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

35.(2024?新疆?三模)已知函數(shù)/(》)=62+(a+l)xlnx-l,g(x)=/(").

X

⑴討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若方程/。)=/砂+》11^-1有兩個(gè)不相等的實(shí)根占,三,求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明爐+如>工.

再入2

36.(2024?江西鷹潭?一模)設(shè)冽為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=2加nx-2x(m￡R).

⑴當(dāng)7M=(時(shí)，直線y=ax+6是曲線y=/(x)的切線，求。+6的最小值；

⑵已函數(shù)“X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七，々(0<西<%),若與=三±孕(2片-1),且/'(x0)<0恒成立，求

實(shí)數(shù)2的范圍.

37.(2024高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x^xe,+ln(尤+l)-asinx.

(1)證明：當(dāng)。>2時(shí)，/(x)在區(qū)間(0,，上存在極值點(diǎn)；

⑵記“X)在區(qū)間?上的極值點(diǎn)為m,在區(qū)間［0,兀］上的零點(diǎn)的和為n,請(qǐng)比較2m與n的大小.

38.(2024高三上?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中)設(shè)函數(shù)/(x)=-a2inx+9+￡x,

⑴試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)如果〃〉0且關(guān)于X的方程/(x)=冽有兩個(gè)解再戶2(占<X2)，證明：再+'2>2”.

39.(2024高三上?遼寧大連?期中)已知函數(shù)/(x)=e，-巴(e自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

2

e

(2)若Ax)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為不，入2,證明：XlX2>^—.

40.(2024高三下?重慶九龍坡?開(kāi)學(xué)考試)已知了卜)=2噢小|-6X3(。>0且"1).

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

⑵當(dāng)a>1時(shí)，若“X)有三個(gè)零點(diǎn)

①求。的范圍；

②設(shè)求證：3x：+2x：+x；>2e-2.

41.(2024高三上?廣東河源?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃尤)=ln(x+l),g(x)=/(無(wú))+ae)其中aeR.

⑴求過(guò)點(diǎn)(-1,-1)且與函數(shù)/(x)的圖象相切的直線方程；

丫2

(2)①求證：當(dāng)x>0時(shí)，ex>\+x+—；

②若函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七，求證：|x2-x1|<2J-4+^-l.

-Vaa

全國(guó)名校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一聯(lián)考(月考)數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)〃x)=21nx+ax(aeR).

⑴若/(x)<0在(0,+司上恒成立，求a的取值范圍：

(2)設(shè)g(x)=4-/(x),X],4為函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明:xixi<1?

43.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú))=lnx,g(尤)=g/-2x+l.

(1)求函數(shù)0(x)=g(x)-3〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)〃(x)=4(x)-g(x),a&R.

①求證：函數(shù)了=〃(無(wú))存在零點(diǎn)；

②設(shè)。<0,若函數(shù)y=，(x)的一個(gè)零點(diǎn)為根.問(wèn)：是否存在。，使得當(dāng)xe(0,m)時(shí)，函數(shù)y=/z(x)有且僅有

一個(gè)零點(diǎn)，且總有〃(x)20恒成立？如果存在，試確定。的個(gè)數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

44.(2024高三上■山西臨汾■期中)已知函數(shù)/(x)=e*-asinx-1,g(x)=-+++a(cosx-sinx)+2,

/卜)在(0,%)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)看.

(1)求。的取值范圍；

(2)證明：若l<a<2,則g(x)在(-心0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為，且毛+再<0.

45.(2024高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知a>0,函數(shù)=xe*-a,g(x)=xlnx-a.

⑴證明:函數(shù)〃x),g(x)都恰有一個(gè)零點(diǎn);

⑵設(shè)函數(shù)/(無(wú))的零點(diǎn)為為，g(x)的零點(diǎn)為蒞，證明中2=。.

46.(2024?海南海口?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xe"2.

⑴求〃x)的最小值;

⑵設(shè)尸(x)=/(x)+a(x+1/(a>0).

(i)證明：尸(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)a，x?；

(ii)證明：/0)的兩個(gè)零點(diǎn)a，々滿足再+工2+2<0.

47.(2024高三上?甘肅天水?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Inx+ax?+(24+l)x.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=(x-l)/(x)-x2-l,證明：函數(shù)g(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù).

48.(2024?四川遂寧■模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(尤)=Inx+ax?+(2a+l)x.

(I)若函數(shù)/(x)在尤=1處取得極值，求曲線y=在點(diǎn)(2/(2))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)AM的單調(diào)性；

(3)當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=(x-l)/(x)-x2-l,證明：函數(shù)g(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù).

49.(2024高三?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=lnx-ax(aeR)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

(1)求。的取值范圍；

(2)記兩個(gè)零點(diǎn)為4Z，且項(xiàng)<工2，已知；1>0,若不等式％(111X2-1)+111再-1>0恒成立，求力的取值范

圍.

50.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))已知/(x)=(--ax+l)lnx.

Cl)若函數(shù)/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)在(1)的前提下，設(shè)三個(gè)零點(diǎn)分別為％,馬,項(xiàng)且毛<%,當(dāng)玉+馬>2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

51.(2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)=1(a,bwR).

(1)若6=0,且/J)在(0,+<?)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值；

(2)若/+/,=(),且〃x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)。使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出

。的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

52.(2024?浙江?二模)設(shè)a<(已知函數(shù)〃x)=(x-2)e、-2x)+2有3個(gè)不同零點(diǎn).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)〃x)的最小值：

(2)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)/(x)的三個(gè)零點(diǎn)分別為王、范、x3,且再吃<0,證明：存在唯一的實(shí)數(shù)。，使得毛、巧、七成

等差數(shù)列.

Inv/7Y

53.(2024高三上?山東臨沂?期中)已知函數(shù)/⑺=哄和g(x)=?有相同的最大值.

xe

(1)求。，并說(shuō)明函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)在(1,e)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)證明：存在直線>其與兩條曲線>=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

54.(2024?湖北黃岡?三模)已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+ax2,g(x)=xln±.

兀

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/'(x)在［-兀,句上的極值；

⑵用max{%"}表示中的最大值，記函數(shù)〃@)=11^{/(9名(尤)}*>0),討論函數(shù)〃(x)在(0,+")上的

零點(diǎn)個(gè)數(shù).

1Y

55.(2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+—,g(x)=xln—.

271

⑴當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)"X)在［-私河上的極值；

⑵用max{機(jī),〃}表示加，〃中的最大值，記函數(shù)〃(x)=max{/(x),g(x)}(x>0),討論函數(shù)〃(x)在(0,+<?)上的

零點(diǎn)個(gè)數(shù).

56.(2024?四川南充三模)已知函數(shù)〃x)=?+］-x,g(x)=lnx其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)”=1時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)用max{m,〃}表示加，〃中的最大值，記函數(shù)否@)=11^{/(%)名卜)}(工>0),當(dāng).20時(shí)，討論函數(shù)〃(尤)

在(0,+司上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

57.(2024?廣東汕頭,二模)已知函數(shù)/(x)=-Inx,g(x)=x3-ax+^-,aeR.

4

(1)若函數(shù)g(x)存在極值點(diǎn)%,且g(xj=g(xo),其中玉rx。，求證：X)+2x0=0；

⑵用min{%疥表示加，〃中的最小值,記函數(shù)〃(x)=min{/(x),g(x)}(x>0),若函數(shù)〃(x)有且僅有三個(gè)不同

的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

58.(2024高三上?山西朔州?期末)已知函數(shù)/(x)=x3+ax+；,g(x)=l-x-lnx.

⑴若過(guò)點(diǎn)。,0)可作/(x)的兩條切線，求。的值.

(2)用min{w}表示〃中的最小值，設(shè)函數(shù)〃(x)=min{/(x),g(x)}(0<x<l),討論力卜)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

59.(2024高三上?重慶南岸?階段練習(xí))已知/(x)=xlnx+|*x2+].

(1)若函數(shù)g(x)=〃x)+xcosx-sinx-xlnx-l在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

⑵若關(guān)于x的方程xe…=/(x)-|x2+?x-l有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

60.(2024高三上■湖南■階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ae*-ln(x+l)+lna-l.

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若函數(shù)“X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

61.(2024?江蘇)已知關(guān)于x的函數(shù)y=/(x),y=g(x)與〃(x)=foc+6(左,6eR)在區(qū)間。上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若+2x,g(x)=-x2+2x<￡>=(t?,+oo),求Mx)的表達(dá)式；

(2)若/(x)=x?-x+1,g(x)=k\nx,h{x}=kx-k,D=(0,+oo),求k的取值范圍；

2

(3)若/(切=/一2—g(x)=4x-8,//(x)=4(P-卜一3r+2〃(0<|心血)，。=[見(jiàn)〃仁卜后,拒]求證:

n-m<V?.

62.(2024高三上?廣東汕頭?期中)已知函數(shù)〃x)=e[ex-2(a+l)]+2ax,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且).

⑴討論“X)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

63.(2024高三?寧夏銀川?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=xe*+a(x+l)2(“e尺)

(1)討論/U)的單調(diào)性；

⑵若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用■函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題5題型分類

彩題生江總

題型1:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問(wèn)題

題型2：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)的

零點(diǎn)問(wèn)題5題型分類

題型4：零點(diǎn)與不等式的證明問(wèn)題

題型3：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求值

彩和源宏庫(kù)

1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)

的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與無(wú)軸(或直線>=左)在某區(qū)間上的交點(diǎn)

問(wèn)題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).

2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令/G)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間m，6］上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)<0,還必

須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不

同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將/(x)整理變形成

/■(x)=g(x)-4x)的形式，通過(guò)無(wú))兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函

數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：

（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定

極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)

構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想

研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

彩儺題和籍

（-）

函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法

（1）直接求零點(diǎn)：令外）=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，句上是連續(xù)不斷的曲線，且八.）負(fù)6）＜0,還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同

的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

（4）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

注：導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的

探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)

極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，

分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考

的地方

題型1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1-1.（2024高三下?江蘇常州?階段練習(xí)）已知/（無(wú)）=sin"x,g（x）=\nx+mex（〃為正整數(shù)，meR）.

⑴當(dāng)，=1時(shí),設(shè)函數(shù)，（力=爐-1_2/（0,xe（O,7i）,證明:〃卜）有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

⑵當(dāng)〃=2時(shí)，證明：華Lg（x）＜（x+zn）e，一1.

1------

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)對(duì)力卜)進(jìn)行二次求導(dǎo)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，確定一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷原函數(shù)的單

調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求證.

(2)根據(jù)題意，只需證、/+hLv+l-xe，<0即可，結(jié)合$淪2尤<2蒼a>0)結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，即可容易證明.

【詳解】(1)當(dāng)"=1時(shí)，A(x)=x2-1-2sinJC(O<X<7T)

I己夕(x)="(x)=2x-2cosx,則9'(x)=2+2sinx>0

所以9(x)=/(x)在區(qū)間(0,兀)上單調(diào)遞增

而夕(0)=—2<0,eg>兀>0

所以存在毛￡(0微；使得9(%)=0，即/(%)=0

當(dāng)工￡(0,%)時(shí),9(x)=〃(x)<0,單調(diào)遞減

當(dāng)(%,兀)時(shí)，0(x)=/(x)>0,%(x)單調(diào)遞增

2

又〃⑼=-1<0,A(x0)<A(0)<0,/Z(K)=7i-1>0

所以〃(x)在(o,x0)上沒(méi)有零點(diǎn)，在(毛，兀)上有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)〃(%)在(0,兀)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

(2)當(dāng)〃=2時(shí)，/r(x)=2sinxcosx=sin2x,

要證q^+g(x)<(x+加)e"—l,

Qin9y

即證W+欣+—<0,

2

令〃(x)=sin2x-2x(x>0),貝！JH[x)=2cos2x-2?0,

所以“(x)在(0,+s)單調(diào)遞減，H(x)<〃(0)=0,即sin2x<2x,

cin9V

要證J^+lnx+lre'<0只需證無(wú)+lnx+l-xeV0,

2

令〃(x)=e*-尤一1,則〃'(x)=e*-l,

二〃(x)在(-00，。)單調(diào)遞減,在(0,+(?)單調(diào)遞增，

/.//(x)>/z(0)=0,即e，2x+l,

ex+m*2尤+ln尤+1,即xe*Wx+lnx+1,

所以x+lnx+1-xex<0成立，

原命題得證.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，解決第二問(wèn)的關(guān)鍵是

利用$/2工<2武工>0)進(jìn)行放縮，以及利用同構(gòu)xe，=e?構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明，屬綜合困難題.

1-2.(202全江西九江?二模)已知函數(shù)/(刈=/-冰2伍€10，g(x)=;c-l.

(1)若直線y=g(x)與曲線y=/(x)相切，求°的值；

⑵用min｛%”｝表示他，〃中的最小值，討論函數(shù)〃(工)=01山｛/1)遭(尤)｝的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2_i

【答案】(1)。=」e

4

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)已知切線方程求列方程求切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入求參即可;

(2)先分段討論最小值，再分情況根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值域判斷每種情況下零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】(1)設(shè)切點(diǎn)為(x。,%),.../'(x)=e，-2ox,=2a/

ex°-2aXr.=1,

(*)

x

e°-ax；=x0-l,

消去°整理，得卜'。+1)(毛一2)=0,二/=2

.e2-l

??a=-------

4

(2)①當(dāng)xe(-8,l)時(shí),g(x)<0,/z(x)=min{〃x),g(x)}(g(x)<0,〃(尤)在(-oo,l)上無(wú)零點(diǎn)

②當(dāng)x=l時(shí)，g⑴=0,/(l)=e-a.

若q?e,此時(shí)〃(x)=g(l)=0,x=l是的一個(gè)零點(diǎn),

1-------

若a>e,/(1)<0,此時(shí)"(x)=/⑴<0,x=l不是〃(x)的零點(diǎn)

③當(dāng)無(wú)€(1,舟)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)力⑺的零點(diǎn)即為〃x)的零點(diǎn).

令/(x)=ex-ax2=0,得q==，令(p(x)='，貝U(p\x)=。,

XXX

當(dāng)l<x<2時(shí)，(p{x)<0；當(dāng)x〉2時(shí)，O(x)〉0,；?夕(％)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，且當(dāng)

XT+8時(shí)，夕(X)—>+8

2

⑴若。<夕(2),即時(shí)，/(%)在(1,+8)上無(wú)零點(diǎn)，即"x)在。,+⑹上無(wú)零點(diǎn)

2

(ii)若“=磯2),即時(shí)，〃X)在(1,+S)上有一個(gè)零點(diǎn)，即〃(x)在(1,+功上有一個(gè)零點(diǎn)

2

(iii)若"⑵<。<夕⑴，即?<a<e時(shí)，〃x)在(1,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，即力(無(wú))在(1,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)

(iv)若aN/⑴,即aNe時(shí)，/(x)在(1,+(?)上有一個(gè)零點(diǎn),即〃(x)在(1,+s)上有一個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)”?或a>e時(shí)，力⑺