高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

2023立體幾何大題熱點50題

解答題(共50小題)

1.(2023?新城區(qū)校級模擬)如圖，在三棱柱中，ABLBC,平面NBC_L平面4&BW,

AB=BC=BB'=2,麗在直上的投影為1.

(1)證明：BC±CC.

(2)求二面角夕-NC-B的余弦值.

2.(2023?溫州模擬)已知三棱錐。-Z8C中，A5co是邊長為3的正三角形，AB=AC=AD,4D與平面

8c〃所成角的余弦值為

3

(1)求證：AD1BC；

(2)求二面角。-NC-B的平面角的正弦值.

3.(2023?撫順模擬)如圖，四棱錐S-4BCD的底面是正方形，點P,。在側(cè)棱SD上，￡是側(cè)棱SC的中

點.

(1)若SQ=0P=PD,證明：2￡//平面上4。；

(2)若每條側(cè)棱的長都是底面邊長的后倍，從下面兩個條件中選一個，求二面角P-NC-。的大小.

①SD_L平面P/C;②尸為SO的中點.

C

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

jr

4.（2023?九江二模）如圖,在三棱柱48。一4月。］中，/C_L平面,ZABBt=-,AB=\,AC=AA,=2,

D為棱BB、的中點.

（1）求證：4D_L平面4G。；

（2）在棱BC上是否存在異于點3的一點￡,使得與平面4CQ所成的角為.？若存在，求出箓的

值若存在，請說明理由.

B

5.（2023?太原模擬）如圖，四棱錐尸-N8CD中，AB//CD,ABYAD,S.AB=AD=2CD=4,PA=2,

ZPAB=60°,直線P/與平面45。的所成角為30。，E,尸分別是8C和PD的中點.

（1）證明：E尸//平面尸/8；

（2）求平面P4B與平面尸4D夾角的余弦值.

6.（2023?江蘇模擬）在三棱柱ABC-AXBXCX中，平面AXBXBA±平面48C,側(cè)面AXBXBA為菱形，ZABBt=（

ABX1AC,AB=AC=2,E是NC的中點.

（1）求證：48_1_平面/耳C；

（2）點P在線段4E上（異于點4，E）,NP與平面48E所成角為工，求旦的值.

4EA

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

7.（2023?浙江模擬）如圖，四面體4BC。中，ABAD=ABAC=ACAD=90°,AC=AD,48與面BCD的

所成角為45。.

（1）若四面體N8C。的體積為迪，求/C的長；

3

（2）設(shè)點M在面3c。中，ZABM=45°,ZACM=30°,過M作CO的平行線，分別交8C、BD于點、H、

F,求面與面/CD所成夾角的余弦值.

8.（2023?貴州模擬）如圖甲，在四邊形P2CD中，PD//BC,PB=BC=CD=AD=PA=2,將AA8P沿48

折起得圖乙，點”是PD上的點.

（1）若M為PD的中點，證明：尸C_L平面

（2）若PC=&,試確定M的位置，使二面角M-48-C的正弦值等于二匚.

9.（2022秋?濱江區(qū)校級期末）如圖①，在等腰梯形N8C。中，ABHCD,AB=2AD=2CD=2,將A4DC

沿NC折起，使得NOL3C,如圖②.

（1）求直線8D與平面4OC所成的角；

（2）在線段3D上是否存在點￡,使得二面角E-/C-。的平面角的大小為工？若存在，指出點￡的位置;

4

若不存在，請說明理由.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

10.(2023?桃城區(qū)校級一模)如圖所示，A,B,C,。四點共面，其中NA4O=N4X?=90。，AB=-AD,

2

點尸，。在平面/BCD的同側(cè)，且P/_L平面/BCD,C0_L平面48CD.

(1)若直線/u平面P/8,求證：///平面C。。；

(2)若尸Q///C,ZABP=ZDAC=45°,平面BP。C平面C。。=〃?，求銳二面角3-加-C的余弦值.

II.(2023?榆林二模)如圖，在四棱錐尸-N3C。中，BD±PC,ZABC=60°,四邊形/BCD是菱形，

PB=y/2AB=41.PA,￡是棱上的動點，S.PE=APD.

(1)證明：PN_L平面/BCD.

(2)是否存在實數(shù)2,使得平面P/3與平面NCE所成銳二面角的余弦值是嚕？若存在，求出2的值;

12.(2023?大英縣校級模擬)在三棱錐P-42C中，NABC是邊長為4的等邊三角形，平面PAB1平面ABC,

P4=P8=2VL點M為棱8C的中點，點N在棱尸。上且滿麗=2定，已知使得異面直線與NC所

成角的余弦值為。的力有兩個不同的值4，4區(qū)<久).

(1)求4,4的值;

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

(2)當(dāng);1=24時，求二面角N-4W-C的余弦值.

13.(2023?貴州模擬)如圖甲，已知四邊形/BCD是直角梯形，E,尸分別為線段8。上的點，且滿足

AB//CDIIEF-AB=2EF=4CD=4,ABLBC,ZA=45°，將四邊形COM沿昉翻折，使得C,。分

別到Cl,D1的位置，并且BC]=仃，如圖乙

(2)求平面4D1E與平面2CF所成的二面角的余弦值.

14.(2023?南充模擬)在四棱錐尸-/BC。中，底面/BCO是邊長為2的菱形，ZABC=60°,PB=PD,

PA1AC.

(1)證明：平面P/C；

(2)P/=百，是否存在常數(shù)2e[0,1],滿足CM=ACP,且直線AM與平面PBC所成角的正弦值為平?

若存在，求出點”的位置；若不存在，請說明理由.

15.(2023?蘭州模擬)如圖所示的五邊形SA4DC中48CD是矩形，BC=2AB,SB=SC,沿BC折疊成四

棱錐S-48C。，點M是BC的中點，SM=2.

(1)在四棱錐S-48c。中，可以滿足條件①&4=幾；②cosNSBM=叵；?sinZSAM=—,請從中任

53

選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面S3C,底面/BCD;(注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答

計分.)

(2)在(1)的條件下求直線SC與平面所成角的正弦值.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

16.(2023?開封二模)如圖1,在直角梯形/3CD中，AB//CD,ABAD=90°,AD=CD=-AB=4?.,E

2

為ZC的中點，將A4CD沿/C折起(如圖2),在圖2所示的幾何體4BC中：

(1)若求證：平面/BC；

(2)若8。與平面NCZ＞所成的角為60。，求二面角。-的余弦值.

17.(2022秋?天津期末)在如圖所示的幾何體中，四邊形N8CD是菱形，/DW是矩形，ND_L平面48。，

jr

ADAB=-,AD=2,AM=\,￡為的中點.

3

(1)求證：NN//平面MFC；

(2)求平面EMC與平面BMC夾角的余弦值.

(3)在線段上是否存在點尸，使直線尸石與平面所成的角為生?若存在，求出PE的長；若不存

3

18.(2023?豐臺區(qū)一模)如圖，在四棱錐P-/BCD中,底面是邊長為2的菱形，4C交BD于點、O,ABAD=60°,

尸3=尸。.點E是棱產(chǎn)/的中點，連接OE,OP.

(1)求證：OE//平面PCD；

(2)若平面尸/C與平面尸CA的夾角的余弦值為正，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已

5

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

知，求線段OP的長.

條件①：平面平面N2C。；

條件②：PBLAC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

19.（2023?包頭模）如圖，已知矩形/5C。是圓柱的軸截面，P是CD的中點，直線5P與下底面所成角

的正切值為工，矩形N8CD的面積為12,為圓柱的一條母線（不與CD重合）.

3

（1）證明：BNIMP；

（2）當(dāng)三棱錐8-MVP的體積最大時，求二面角N-BM-P的正弦值.

20.（2023?興慶區(qū)校級一模）如圖，在四棱錐尸-43C。中，尸/，平面/BCD,ADVCD,AD/IBC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.￡為尸。的中點，點歹在PC上，且在一

PC3

（I）求證：平面尸CD_L平面尸；

（II）求二面角，'-N￡-P的余弦值；

（III）設(shè)點G在尸8上，且空=2.判斷直線/G是否在平面內(nèi)，說明理由.

PB3

21.（2023?南寧模擬）如圖1,平面圖形/BCD是一個直角梯形，其中48//CD,ZABC=90°,BC=DC=2,

AB=6,E是AB上一點，且4E=2EB.將\AED沿著ED折起使得平面AED1平面DEBC,連接AB、AC,

M,N分別是40、/C的中點，如圖2.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

（1）證明：在圖2中￡、M、N、3四點共面，且平面4DC_L平面NED；

（2）在圖2中，若G是線段NE上一個動點，當(dāng)直線CG與平面BOG所成角的正弦值取得最大值時，求GE

的長.

22.（2023?石景山區(qū)一模）如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面48CD是邊長為2的正方形，側(cè)面為

等腰直角三角形，且=，點尸為棱尸。上的點，平面4D尸與棱PB交于點E.

2

（I）求證：EF//AD；

（II）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面PCD與平面4DFE所成銳二面

角的大小.

條件①：AE=日

條件②：平面尸/。,平面/BCD；

條件③：PB1FD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

23.（2023?安康二模）如圖，在斜三棱柱NBC-421G中，。為AB中點，4。_1底面/3。，/Q=4,AC=BC，

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

AB=2OC=6,G,E分別在線段ZC,8G上，5.—=—=-.

1GCQE2

（1）求證：6￡//面/4月3；

（2）記面AGEC面48C=/,求二面角瓦-/-2的余弦值.

24.（2022秋?郴州期末）如圖2,在平行四邊形48CD中，AB=2,BC=。,ZABC=30°.將AD/C沿

/C翻折，使點。到達點P位置（如圖3）,且平面尸/C，平面網(wǎng)C.

（1）求證：平面尸/C_1_平面4BC；

（2）設(shè)0是線段上一點，滿足耳=如麗，試問：是否存在一個實數(shù)加，使得平面。/C與平面P/3的

夾角的余弦值為手，若存在，求出”的值；若不存在，請說明理由.

圖2圖3

25.（2023?新疆模擬）如圖，在平面四邊形/BCD中，AB=AD=1,BC=CD=—,且BC_LCD,以BD為

2

折痕把A4AD和ACAD向上折起，使點/到達點E的位置，點C到達點尸的位置，且平面F5D和平面EAD

不重合.

（1）求證：EFLBD-,

（2）若點G為A43D的重心（三條中線的交點），EG,平面N8O,求直線8。與平面N8E所成角的余弦

值.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

D

26.(2022秋?駐馬店期末)如圖，在多面體4BCDE產(chǎn)中，四邊形48CD是平行四邊形，四邊形/CE產(chǎn)是矩

形，BC=2AB=2AF,ZABC=60°,AF1BC,〃是棱的中點，尸是棱E尸上的動點.

(1)證明：平面/CE廠；

(2)求平面尸AH■與平面CDE所成銳二面角的余弦值的最大值.

27.(2023?煙臺一模)如圖，在四棱棱廠中，底面A8CD為菱形，48=2,ZBAD=60°,NBC為

等邊三角形.

(1)求證：BC1VD；

(2)若二面角/-8C-廠的大小為60。，求直線以與平面rsc所成角的正弦值.

28.(2023?咸陽校級模擬)已知直四棱柱/2。。-43。12中，底面N8CO為梯形，AB//CD,AB=5,AD=6,

i3

CD=2,E,H分別是耳C],441上的點，且用￡==^幺4=3,ZW_L為48上的點.

(1)證明：EF±DH；

(2)當(dāng)/斤=3時，求平面。斯與平面所成的二面角的正弦值.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

29.（2023?焦作二模）如圖1,在A43C中，AB=AC,ZBAC=——，E為的中點，尸為48上一點,

3

且所_1_48.現(xiàn)將NBEF沿EF翻折到△B'EF,如圖2.

（1）證明：EF1AB'.

（2）已知二面角夕為工，在棱/C上是否存在點“，使得直線8C與平面8'"尸所成角的正弦值

3

為好？若存在，確定”的位置；若不存在，請說明理由.

5

0-TT

30.（2023?龍巖模擬）三棱柱月G中，AB1AC,N3=/C=2,側(cè)面4/CG，為矩形，ZAAB=-y-

三棱錐C「4BC的體積為空.

13

（1）求側(cè)棱441的長；

（2）側(cè)棱CG上是否存在點E,使得直線/￡與平面43c所成角的正弦值為F?若存在，求出線段GE

的長；若不存在，請說明理由.

31.（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在三棱錐P-48C中，PA=PB,AB=BC=2,ZAPB=ZABC=90°,

平面P48L平面NBC,點E是線段尸/上的動點.

（1）證明：平面4PC_L平面尸8C；

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

7

(2)若點。在線段8C上，BQ=-,且異面直線￡0與尸3成30。角，求平面E3C和平面N8C夾角的余弦

值.

32.(2023?湖北模擬)如圖，在斜三棱柱NBC-45cl中，底面A42C是邊長為2的正三角形，側(cè)面

為菱形，己知N88]C=60。，ABx=a.

(1)當(dāng)a=C時，求三棱柱/BC-4瓦G的體積；

(2)設(shè)點尸為側(cè)棱3月上一動點，當(dāng)°=3時，求直線尸G與平面/CG4所成角的正弦值的取值范圍?

33.(2023?平湖市模擬)如圖在三棱柱48C-481G中，。為/C的中點，AB=BC=2,ZAAtB]=ZB}BC.

(1)證明：BBX1AC；

(2)若BBi工BC,且滿足：,(待選條件).

從下面給出的①②③中選擇兩個填入待選條件，求二面角3-月。的正弦值.

①三棱柱/8C-4月G的體積為3百；②直線/片與平面8CG耳所成的角的正弦值為誓;

③二面角A-BB.-C的大小為60°；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

34.(2022秋?西山區(qū)期末)如圖，在四棱錐P-48CD中，底面4BCD是平行四邊形，ZADC=—,

3

PDMDCMZBCM八點E是線段4D的中點，點尸在線段/P上且滿足方=2/，PD1ffiABCD.

(I)當(dāng)2=工時，證明：PC//平面BFE；

3

(II)當(dāng)2為何值時，平面3FE與平面PAD所成的二面角的正弦值最?。?/p>

35.(2023?宛城區(qū)校級開學(xué))四棱柱/88-4月。12中，底面48CD為正方形，_L面48。，點M,

N,。分別為棱。2，AD,8月的中點.

(1)求證：平面MNQ//平面BQ。；

(2)^AA,=2AB,棱/力上存在點尸，使得二面角P-MN-。的余弦值為巨包，求生的值.

63AXBX

36.(2023?南開區(qū)校級模擬)如圖，已知梯形/8C。中，AD//BC,NDAB=90。，AB=BC=2AD=2,

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

四邊形助C尸為矩形，DE=2,平面即CP_L平面/BCD.

(1)求證：。尸//平面48￡；

(2)求平面N2E與平面3跖的夾角的余弦值；

(3)若點尸在線段E尸上，且直線/P與平面3所所成角的正弦值為巫，求線段/P的長.

37.(2023春?荔灣區(qū)月考)如圖，把邊長為2夜的正方形紙片4SCD沿對角線NC折成直二面角，F(xiàn)是BC

的中點，。是原正方形N5C。的中心，動點￡在線段/D(包含端點/,0上.

(1)若E為/D的中點，求直線48到平面EOF的距離；

(2)在線段4D上是否存在點E,使得平面EOF與平面/2C的夾角的余弦值為工，若存在，求出店的

3EA

值；若不存在，請說明理由.

38.(2023?九龍坡區(qū)校級開學(xué))如圖，在梯形48CD中，AB//CD,/BCD=一，四邊形NCFE為矩形，

3

且。尸_1_平面48CD,AD=CD=BC=CF=\.

(1)求證：平面_L平面3CF；

(2)點加■在線段跖上運動，當(dāng)點M在什么位置時，平面M43與平面尸C3所成銳二面角的余弦值為

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

39.(2023?石家莊模擬)如圖，四棱錐S-4BCD中，底面/BCD為矩形且垂直于側(cè)面&42,。為48的中

點，SA=SB=AB=2,AD=42.

(I)證明：8D_L平面SOC；

(II)側(cè)棱SD上是否存在點￡,使得平面N8E與平面SCD夾角的余弦值為工，若存在，求艾的值；若

5SD

不存在，說明理由.

40.(2023?高州市一模)如圖，四棱柱/BCD-481G2的底面4sCD為直角梯形，ZDAB=ZADC=90°,

AB=AD=1,CD=2,BDX1CD.點"為CQ的中點，且C2=28M.

(1)證明：平面_L平面3cO］；

(2)若鈍二面角2-DA/-C的余弦值為-M5,當(dāng)時，求BQ的長.

41.(2023?邵陽一模)如圖所示，在多面體NBCDEF中，底面/BCD為直角梯形，AD//BC,AB1BC,

側(cè)面/AE1/為菱形，平面/BEF_L平面M為棱8E的中點.

(1)若上有一點N滿足MN//平面/BCD,確定點N的位置并證明；

(2)若==ZEBA=60°,求平面M<D與平面EFD所成二面角的正弦值.

2

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

42.(2023?重慶二模)如圖，在四棱錐中，側(cè)棱PD_L矩形48CD,且PZ)=CD,過棱尸C的中

點、E,作EFLPB交PB于點,尸，連接￡>E,DF,BD,BE.

(1)證明：PB±DF；

(2)若PD=1,平面DE尸與平面N8CD所成二面角的大小為事，求修田斯的值.

43.(2023?武威模擬)如圖，在四棱錐P-N8CD中，四邊形NBCD是直角梯形，ADLAB,AB//CD,

PB=CD=1AB=2AD,PD=42AB,PCLDE,E是棱PB的中點.

(1)證明：PD_L平面/BCD；

(2)若#=2萬，求平面DE尸與平面尸/。所成的銳二面角的余弦值的最大值.

44.(2023?舞鋼市開學(xué))如圖所示，在四棱錐N-8CDE中，AX8C是等邊三角形，CD//BE,BDLCD,

記平面ACD與平面ABE的交線為I.

(1)證明：1//CD.

⑵若AD=BE=M2D=2,DE=n,。為/上一點，求與平面所成角的正弦值的最大值.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

A

45.(2023?新城區(qū)校級一模)如圖，三棱柱的底面/5C是正三角形，側(cè)面NCC/i是菱形，平

面ZCG4,平面/8C,E,尸分別是棱4G，8C的中點.

(1)證明：跖//平面48月4；

(2)AC=2,ZACCt=60°,C^G=2GC,求直線2cl與平面跖G所成角的正弦值.

46.(2023?安徽開學(xué))如圖，四棱錐P-/3C。的底面48CD為正方形，二面角P-48-。為直二面角,

ZPAB=NPBA，點M為棱AD的中點.

(1)求證：PD工MC;

(2)若=點N是線段上靠近3的三等分點，求直線產(chǎn)/與平面尸所成角的正弦值.

47.(2023?湖北模擬)如圖，在四棱錐S-/8C。中，底面48。是直角梯形，AD/IBC,ABVBC,SA1

平面ABCD,SA=AB=BC=2AD=2.

(1)求C到平面S3。的距離；

(2)求平面與平面SCD的夾角的正弦值.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

q

48.（2023?河南模擬）如圖，在四棱錐中，底面48CD是平行四邊形，/5=4,AD=2&,MC

=2加,N4DC=45°,點M在底面N5CD上的射影為CA的中點。，￡為線段AD上的點（含端點）.

（1）若￡為線段工。的中點，證明：平面MOE_L平面肋W；

⑵若3AE=DE,求二面角。-ME1-。的余弦值.

49.（2023?梅州一模）如圖，在邊長為4的正三角形中，E為邊的中點，過E作皮）_LNC于。.把

ZUDE沿Z組翻折至△耳￡）￡的位置，連接4C、AXB.

（1）尸為邊4c的一點，若麗=2取，求證：3尸//平面

（2）當(dāng)四面體C-E84的體積取得最大值時，求平面與平面43c的夾角的余弦值.

4

50.（2023?新鄉(xiāng)模擬）如圖，已知圓錐尸-/3C,是底面圓。的直徑，且長為4,C是圓。上異于N,

3的一點，PA=20設(shè)二面角P-/C-8與二面角P-8C-4的大小分別為。與

（1）求」+的值；

tanatanp

（2）若tan，=V^tana,求二面角/-尸。一3的余弦值.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

2023立體幾何大題熱點50題

參考答案與試題解析

一.解答題(共50小題)

1.(2023?新城區(qū)校級模擬)如圖，在三棱柱/8C-中，AB1BC,平面_L平面,

AB=BC=BB'=2,麗在跑上的投影為1.

(1)證明：BC±CC.

(2)求二面角9-NC-8的余弦值.

【分析】(1)由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面,由此證明8C1B?,結(jié)合BB'"CC；

即可證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標系，求平面3NC和平面/3C的法向量，利用向量法，即可得出答案.

【解答】解：(1)證明：?.?平面N2C_L平面4B2W,

ABCnABB'A'=AB,且3Cu平面/3C,ABVBC,

8CJ_平面,

???BB'u平面ABB'A1,

BCIBB',又BB'//CC,

BC1CC；

(2)?.?而在初上的投影為1,又AB=BC=BB，=2

:.易得〈而，瓦,BPAB'BA=y,

.?.△B區(qū)4為等邊三角形，

由(1)得平面4BC_1_平面/A8W,ABVBC,

二.建立以3為原點的空間直角坐標系，如圖所示，則根據(jù)題意可得：

5X0,1,5,A(0,2,0),C(2,0,0),3(0,0,0),

.?.瓦5=(0,1,-回，1C=(2,-2,0),

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

設(shè)平面B'AC的法向量為h=(x,y,z),

則一,，取力=(百,6,1),

n-AC=2x-2y=0

又加=(0,0,1)為平面ABC的一個法向量，

一_m-n1J7

/.cos<m,n>=-----=—；==---，

\rh\\n\7

77-

設(shè)二面角9-ZC-8的平面角為d,由圖可知。e(0,5),

【點評】本題考查二面角、直線與平面垂直，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算能

力，屬于中檔題.

2.(2023?溫州模擬)已知三棱錐。-/2C中，A5CD是邊長為3的正三角形，AB=AC=AD,4D與平面

BCD所成角的余弦值為

3

(1)求證：AD1BC；

(2)求二面角D-/C-8的平面角的正弦值.

【分析】(1)如圖所示，取3c中點為￡,連接NE,DE,易證5C_L/E,BC1DE,從而可證8c_1平

面/DE,可證結(jié)論；

(2)取/。中點為〃，連接CH,BH,二面角。-的平面角為NB8C,利用余弦定理可求二面角

。-/C-5的平面角的余弦值，從而可求正弦值.

【解答】解：(1)證明：如圖所示，取3C中點為￡,連接DE,

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

因為ASCD是邊長為3的正三角形，AB=AC=AD,

所以三棱錐D-ABC是正四面體，

所以8C_L/E,BCVDE,

又因為=AE,DEu平面4DE,8C，平面4DE,

所以BC_L平面NDE,又因為/Ou平面NDE,

所以4D_L3C.

（2）如下圖所示，

因為ASCD是邊長為3的正三角形，AB=AC=AD,

所以三棱錐D-ABC是正四面體，

所以AD1CH,

所以二面角。的平面角為

另一方面，CH=BH=—,BC=3,

2

二匚［、Ir+t人口*…T中,日/nrrz-rBH2+CH2—BC~1

所以由余弦定理得cosABHC=----------------=-，

2BHCH3

所以sinZBHC=yll-cos2ZBHC=馬旦,

3

所以二面角的平面角的正弦值為—.

3

【點評】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，屬中檔題.

3.（2023?撫順模擬）如圖，四棱錐S-/8CO的底面是正方形，點尸，。在側(cè)棱SD上，E是側(cè)棱SC的中

點.

（1）若5。=。尸=尸。，證明：AE1//平面尸4C；

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

(2)若每條側(cè)棱的長都是底面邊長的后倍，從下面兩個條件中選一個，求二面角尸-NC-。的大小.

①SD_L平面P/C；②尸為SO的中點.

【分析】(1)連接8。，設(shè)交點為。，連接3。，QE,OP,先證明平面3￡。//平面尸NC,進而即可證明

BE//平面P/C；

(2)選①或②，都是先證明SO，平面/BCD,進而建立空間直角坐標系，根據(jù)向量法，向量夾角公式，

即可求解.

【解答】解：(1)證明：連接3。，設(shè)交點為。，連接8。，QE,OP,

在ASCP中，點E是SC的中點，點0是線段SP的中點，二。E//PC,

又PCu平面尸/C,且。EC平面P/C,

.?.0E〃平面尸4c,

在A5QD中，點。是線段8。的中點，點P是線段。。的中點，所以QB//OP,

又OPu平面尸/C,且03,平面P/C,

二02//平面PNC,XBQ^\EQ=Q,且30,E0u平面3EQ,

平面BEQII平面PAC，又BEu平面BEQ,

BEII平面PAC;

(2)若選①SO_L平面尸/C,連接SO,

VABCD為正方形，，點O分別為NC與的中點，

又易知S3=SD,SO1BD,同理SO_LNC,

又S。_L平面，

，以。C,OD,0s所在直線分別為x,y,z軸，建系如圖，

設(shè)OC=1,CD=42,SC=2,OS=GZSCO=60°,

0,0),4-1,0,0),D(0,1,0),

8(0,-1,0),S(0,0,G),S/5=(0,1,-73),

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

VSD1平面PAC，平面PAC的一個法向量為*=/=(0,l,-V3),

顯然平面D4C的一個法向量為鼠=(0,0,1),

設(shè)二面角的平面角為0,

cosd=|32|=—，

|?1II?112-4

若選②尸為SZ)的中點，連接S。，

VABCD為正方形，，點0分別為NC與的中點，

由題意S3=SO,SO1BD.同理5。_L/C,

又SO_L平面.

，以。C,0D,0s所在直線分別為x,y,z軸，建系如圖,

設(shè)0C=1,則CD=a，SC=2,OS=。,ZSCO=-,

3

.-.c(l,0,0),A(-l,0,0),D(0,1,0),

5(0,-1,0),S(0,0,G),尸(0,5，1)，

貝宙=(,與,而=(一［§),

設(shè)平面/PC的法向量為，=(xj,z),

1mn

nx-AP=x+—yH-----z=0

則22取E=(0,6,-l)，

1G?

nCP=-x+—yH--------2=0

{22

顯然平面DAC的一個法向量為鼠=(0,0,1),

設(shè)二面角P-/C-D的平而角為8,

71

cos6=|32|=—3

I?iII?iI23

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

【點評】本題考查線面平行的證明，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理與性質(zhì)，向量法求解二面

角問題，向量夾角公式的應(yīng)用，屬中檔題.

4.（2023?九江二模）如圖，在三棱柱48C-481G中，/。，平面/4月8,ZABBt=-,AB=1,AC=AAy=2,

D為棱BB、的中點.

（1）求證：4D_L平面4G。；

（2）在棱8c上是否存在異于點3的一點￡,使得DE與平面4G。所成的角為.？若存在，求出祭的

值若存在，請說明理由.

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題（帶答案解析）

B

【分析】（1）根據(jù)題意，分別證明ADLAXD,結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)題意，連接/月，以/為原點，AB,AC,/月所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角

坐標系，根據(jù)空間向量的坐標運算結(jié)合線面角的求法即可得到結(jié)果.

【解答】解：（1）證明：?.?ZC_L平面4Du平面4408,

AC1AD,

?.?/C//4C1，

AD14cl

jr

由已知得/8=8D=1,ZABD=-,

3

ZADB=同理可得AAXDBX=看，

ZADAt=L（NADB+4四）=彳,即ND_L，

又Mop!4G=4，4力,4Gu平面4G。，

AD1平面4cQ,

■rr

（2）連接AS】，vAABBX=-,AB=\,BB、=2,

ABXJ_AB,

?.?/C_L平面442田,

:.ACLAB,AC±ABr

以N為原點，AB,AC,4月所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系,

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

1、/3

則^(0,0,0),5(1,0,0),C(0,2,0),￡>(-,0,,

設(shè)第=2配，貝!|E(1—4,22,0),

—-1J3

Z)￡'=(--2,22,-y-),

由⑴知平面4G。的一個法向量為NO=(于0,1),

.1l2+1l1

/.|cos〈DE,AD)1=-1，=—,

.一…+($2

化簡得4萬-32=0,解得2=3或2=0(舍去)，

4

故在棱BC上存在異于點3的一點E,使得。￡與平面4G。所成的角為工，且超=2.

62c4

【點評】本題考查線面垂直的判定以及利用空間向量研究線面角問題，考查邏輯推理能力和運算求解能力,

屬于中檔題.

5.(2023?太原模擬)如圖，四棱錐P-n8CO中，AB//CD,ABVAD,^.AB=AD=2CD=4,PA=2,

ZPAB=60°,直線P4與平面48CD的所成角為30。，E,歹分別是8C和尸。的中點.

(1)證明：跖//平面尸/2；

(2)求平面P48與平面尸/。夾角的余弦值.

【分析】(1)取/D的中點G,連接EG,FG,可證G尸//平面尸,GE//平面尸48,進而可證平面GEF//

平面尸4S,可證結(jié)論；

高考數(shù)學(xué)立幾大題熱點50題訓(xùn)練試題(帶答案解析)

(2)以點/為原點，AB,4D所在的直線分別為X,y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面尸

與平面的一個法向量，利用向量法可求平面尸48與平面尸/D夾角的余弦值.

【解答】解：(1)證明：取的中點G,連接EG,FG,

?麻是尸口的中點.GF//AP,?r/Pu平面尸48,bGU平面P48,

GF//平面PAB,

同理可得GE//平面尸48,

■：GE^GF=G,GEu平面GEP,GFcGEF,

二.平面GM//平面尸48,EFu平面GEF,

EF//平面PAB；

(2)以點/為原點，AB,4D所在的直線分別為x,y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

由題意可得/(0,0,0),8(4,0,0),D(0,4,0),C(2,4,0),

PA=2,直線尸4與平面N8C。所成的角為30。,

.,.點P的豎坐標為z=1,

又?.?/P/8=60。，.?.點P的橫坐標為x=l,縱坐標夕=收，V2,1),

設(shè)平面P48的一個法向量為沅=(x,y,z),

則<_,令y=l,貝=m=(0,1,-V2),

m-AP=x+yJ2y+z=0

設(shè)平面尸ND的一個法向量h=(“，b,c),

.n-AD=4b=0.

則n《_廠，令a=l,6=0,c=-l,.?.萬=(1,0,-1),

n-AP=a+y/2b+c=0

_一m-nV2V3

cos<m,n>=----------=—j=-----尸=—,

\m\-\n\V3xV23

也

平面PAB與平面PAD夾角的余弦值