1.4 充分條件與必要條件（教材完美復刻）課件 人教A版2019版必修一 原創(chuàng)

第一章集合與常用邏輯用語

高中數學/人教A版/必修一1.4充分條件與必要條件

在初中，我們已經對命題有了初步的認識．一般地，我們把語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．中學數學中的許多命題可以寫成“若p，則q”“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結論．本節(jié)主要討論這種形式的命題．下面我們將進一步考查“若p，則q”形式的命題中p和q的關系，學習數學中的三個常用的邏輯用語—充分條件、必要條件和充要條件．1.4.1充分條件與必要條件在命題（1）（4）中，由條件p通過推理可以得出結論q，所以它們是真命題．在命題（2）（3）中，由條件p不能得出結論q，所以它們是假命題．上述命題（1）（4）中的p是q的充分條件，q是p的必要條件．而命題（2）（3）中的p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．充分條件：有它就行必要條件：沒它不行

[圖1]

例：AC開關A閉合是燈泡亮的什么條件？

[圖2]AC[圖3]

A例：開關A閉合是燈泡亮的什么條件？判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）××√×方法規(guī)律：充分條件，必要條件的兩種判別方法思考例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？我們說p是q的充分條件，是指由條件p可以推出結論q，但這并不意味著只能由這個條件p才能推出結論q．一般來說，對給定結論q，使得q成立的條件p是不唯一的．例如，我們知道，下列命題均為真命題：①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形．所以，“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件．事實上，例1中命題（1）及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理．所以，平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即這個條件能充分保證四邊形是平行四邊形．類似地，平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個充分條件，例如“內錯角相等”這個條件就充分保證了“兩條直線平行”．一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．例2

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些q是p的必要條件？（1）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角線分別相等；（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；思考例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“這個四邊形的兩條對角分別相等”．這樣的必要條件是唯一的嗎？如果不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個其他必要條件嗎？我們說q是p的必要條件，是指以p為條件可以推出結論q，但這并不意味著由p只能推出結論q．一般來說，給定條件p，由p可以推出的結論q是不唯一的．例如，下列命題都是真命題．①若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；②若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等．③若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩條對角線互相平分．這表明，“四邊形的兩組對邊分別相等”“這個四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件．我們知道，例2中命題（1）及上述命題①②③均為平行四邊形的性質定理．所以，平行四邊形的每條性質定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件．類似地，平行線的每條性質定理都給出了“兩直線平行”的一個必要條件．例如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件，也就是說，如果同位角不相等，那么就不可能有“兩直線平行”．一般地，數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．練習（第20頁）(1)p是q的充分條件(2)p不是q的充分條件(3)p是q的充分條件(1)q是p的必要條件(2)q不是p的必要條件1.4.2充要條件將命題“若p，則q”中的條件p和結論q互換，就得到一個新的命題“若q，則p”，稱這個命題為原命題的逆命題．不難發(fā)現，上述命題中的命題（1）（4）和它們的逆命題都是真命題；命題（2）是真命題，但它的逆命題是假命題；命題（3）是假命題，但它的逆命題是真命題．例3

下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；探究通過上面的學習，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？

可以發(fā)現，“四邊形的兩組對角分別相等”“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形一組對邊平行且相等”和“四邊形的對角線互相平分”既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件，又是必要條件，所以它們都是“四邊形是平行四邊形”的充要條件．另外，我們再看平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，它表明“四邊形的兩組對邊分別平行”也是“四邊形是平行四邊形”的一個充要條件．上面的這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個概念，據此我們可以給出平行四邊形的其他定義形式．例如：兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形．類似地，利用“兩個三角形全等”的充要條件，可以給出“三角形全等”的其他形式，而且這些定義是相互等價的；同樣，利用“兩個三角形相似”的充要條件，可以給出“相似三角形”其他定義形式，這些定義也是相互等價的；等等．練習（第22頁）(1)p是q的充要條件(2)p不是q的充要條件(3)p不是q的充要條件2．分別寫出“兩個三角形全等”和“兩個三角形相似”的幾個充要條件．“兩個三角形全等”的充要條件：“這兩個三角形的三邊分別相等”或“這兩個三角形的兩邊和它們的夾角分別相等”或“這兩個三角形的兩角和它們的夾邊分別相等”或“這兩個三角形的兩角和其中一角的對邊分別相等”“兩個三角形相似”的充要條件：“這兩個三角形的三邊成比例”或“這兩個三角形的兩邊成比例且夾角相等”或“這兩個三角形的兩角分別相等”.EBCDAFBCDAEF(1)必要不充分條件(2)充要條件(3)充分不必要條件(4)必要不充分條件(5)既不充分也不必要條件(1)真命題(2)假命題(3)