數(shù)學課堂導學：同角三角函數(shù)的基本關系式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、對基本關系的理解（1)公式sin2α+cos2α=1(平方關系)和=tanα（商數(shù)關系）,稱為同角三角函數(shù)的基本關系式.這里，“同角”有兩層含義，一是“角相同",二是對“任意”一個角（在使得函數(shù)有意義的前提下)關系式都成立。（2)sin2α是(sinα)2的簡寫,讀作“sinα的平方”，不能將sin2α寫成sinα2，前者是α的正弦的平方,后者是α的平方的正弦，兩者是不同的.應弄清它們的區(qū)別,并能正確書寫.(3)公式sin2α+cos2α=1,=tanα的應用極為廣泛,它們還有如下等價形式:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=cosαtanα,cosα=?！纠?】若sinθ+cosθ=-1(θ≠,k∈Z),則θ所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C。第三象限D.第四象限解析：記f(θ）=sinθ+cosθ。(1)當θ在第一象限時，sinθ〉0，cosθ>0.∴f(θ）=1；（2）當θ在第二象限時，sinθ〉0,cosθ<0?！鄁（θ)=sin2θ—cos2θ;(3)當θ在第三象限時,sinθ<0,cosθ〈0?！鄁(θ)=—1；(4)當θ在第四象限時，sinθ<0，cosθ〉0.∴f（θ）=—sin2θ+cos2θ.答案:C各個擊破類題演練1若β∈［0,2π),且=sinβ-cosβ，則β的取值范圍是（）A.［0，］B.［，π］C。［π，］D。［,2π]解析:由已知得|sinβ|+｜cosβ|=sinβ—cosβ,則又β∈［0,2π），∴β∈［,π].答案:B變式提升1設函數(shù)y=(tanx+sinx）·（cotx+cosx），且x≠（k∈Z），則關于y的取值范圍的判定正確的是（)A.y的值恒大于零B。y的值恒小于零C。有時大于零，有時等于零，但不小于零D.有時小于零，有時等于零，但不大于零解析:y=（tanx+sinx）·(cotx+cosx)=（+sinx）·(+cosx）==（1+cosx）(1+sinx),又∵x≠(k∈Z），∴—1〈cosx<1，-1<sinx〈1.∴(1+cosx)(1+sinx）>0，即y〉0.答案：A二、求一個角的三角函數(shù)值的問題已知角α的一個三角函數(shù)值，求α的其余三角函數(shù)值時，要特別注意角所在的象限，以確定三角函數(shù)值的符號.一般有以下三種情況:(1)已知三角函數(shù)值且角在某一確定象限，這時只有一組解。如sinα=,α在第二象限，求cosα，tanα;(2）已知三角函數(shù)值，但沒有給出角所在象限,這時一般有兩組解,需對角所在象限分兩種情況討論.如sinα=，求cosα，tanα;(3）所給三角函數(shù)值為字母,這時必須對字母的各種取值情況進行分類討論。如sinα=m,求cosα，tanα。當已知一個三角函數(shù)式的值,求另外一個三角函數(shù)式的值時,要對已知和結論進行化簡,使兩者聯(lián)系起來?！纠?】已知tanα=2，求下列各式的值:（1)sin2α-3sinαcosα+1;（2)；(3)。解析:（1）原式==.(2)原式==—1。(3）原式=。溫馨提示(1）已知tanα的值,求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，可將1=sin2α+cos2α代入,轉化為關于tanα的函數(shù)后，再求值.（2）已知tanα的值，求關于sinα、cosα的齊次式的值，需注意以下兩點:①被求式必須是關于sinα，cosα的齊次式（或能化為齊次式）的三角函數(shù)式;②由cosα≠0,可用cosnα（n∈N＊)除之.這樣可以將被求式化為關于tanα的式子，整體代入tanα=m，就能求出被求式的值。類題演練2已知cosα=，且α為第二象限角,求tanα的值。思路分析：由于α為第二象限角,故tanα的值一定為負值.解：∵α為第二象限角，∴sinα=?！鄑anα==.溫馨提示已知正弦、余弦、正切中的某一個三角函數(shù)值，且角所在象限已經(jīng)確定，求另外兩個三角函數(shù)值,只有一組結果。變式提升2已知sinα=,求tanα的值.思路分析：由于α可以有兩種情況，故應分兩種情況討論。解:∵sinα=>0，∴α是第一象限或第二象限的角.若α是第一象限角，則cosα>0,tanα>0?！郼osα=，tanα==.若α是第二象限角，則cosα<0,tanα<0∴cosα=，tanα==。溫馨提示（1）要注意根據(jù)問題需要運用sin2α+cos2α=1的變形sin2α=1—cos2α或cos2α=1—sin2α；（2）已知一個角的某一個三角函數(shù)值，但不知其終邊位置，要先根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定終邊位置，然后分不同情況求解。三、三角函數(shù)式的化簡與證明【例3】化簡下列各式：（1）;(2).思路分析:對(1)應用公式想方設法將無理式化為有理式，將結果化為最簡形式.對(2)遇到高次,要通過基本關系式降次，將1代換為sin2θ+cos2θ，再因式分解。解：(1)原式=（2)原式==。溫馨提示（1)去掉絕對值符號時,一般需要進行分類討論。(2）注意公式sin2α+cos2α=1具有“降冪"的作用.類題演練3化簡：sin2αtanα+cos2α·+2sinαcosα.解法一：原式=sin2α·+cos2α·+2sinαcosα=解法二：原式=（sin2αtanα+sinαcosα)+（+sinαcosα）=tanα(sin2α+cos2α)+(cos2α+sin2α）=tanα+=+.溫馨提示化簡三角函數(shù)的目的是為了簡化運算.本題兩種解題思路不同，但都用到了公式tanα=。法一是順用公式。法二是逆用，即sinα=tanα·cosα，cosα=。解題時要注意靈活運用公式。變式提升3如果=tanα-，那么角α的范圍是（）A。｛α｜2kπ+<α〈2kπ+，k∈Z｝B。｛α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}C。{α|2kπ<α〈(2k+1)π，k∈Z}D。{α｜2kπ—〈α〈2kπ+，k∈Z｝解析：。tanα—=。由已知=tanα-,得｜cosα｜=—cosα。又cosx≠0(否則tanα無意義），∴cosα〈0?！?kπ+<α〈2kπ+,k∈Z.故選A.答案:A【例4】求證:。思路分析：本題可以從5種不同的角度分析.證法一：左邊==右邊.證法二:∵=-secα—tanα===0。∴.證法三:左邊==tanα+secα==右邊。證法四:∵==1∴。證法五：∵tan2α-sec2α=-1，即(tanα+secα)(tanα-secα)=-1?！?由等比定理可得?！?類題演練4證明下列三角恒等式。（1）.(2).分析：(1)切化弦；(2)左邊入手,利用平方差公式.證明：（1)左邊==右邊。所以原命題成立.（2)左邊=.所以原命題成立.變式提升4求證：證法一：左邊==右邊.證法二：右邊==左邊。所以等式成立.溫馨提示三角恒等式的證明有以下方法：(1)從一邊開始，證得它等于另一邊，一般由繁到簡.(2)左