2.5無窮小與無窮大

§2.1數(shù)列的極限§2.2函數(shù)的極限§2.3極限的性質(zhì)與運(yùn)算§2.4兩個重要極限§2.5無窮小與無窮大§2.6連續(xù)函數(shù)第二章極限與連續(xù)第五節(jié)無窮小與無窮大無窮小無窮大五窮小與無窮大的關(guān)系無窮小比較等價無窮小替換一、無窮小1、定義:極限為零的變量稱為無窮小.例如,注意（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.不是無窮大．無界，證三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.四、無窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義:例如，例1解例2常用等價無窮小:特別:證明:例3解五、等價無窮小代換定理２(等價無窮小代換定理)證例4解若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限．不能濫用等價無窮小代換.切記，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.注意例5解例6解解錯小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小(大)的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮??；（3）無界變量未必是無窮大.3、無窮小的比較反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.4、等價無窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.思考題任何兩個無窮小都可以比較嗎？思考題解答不能．例當(dāng)時都是無窮小量但不存在且不為無