湖南省祁陽市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年祁陽一中第一學(xué)期期中考試試題高三數(shù)學(xué)2024.11.13注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．3.已知和的夾角為，且，則（）A.9 B. C.3 D.94.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.5．已知，都是銳角，，，則（）A． B． C． D．6.設(shè)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的離心率為（）A. B.C.D.7.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，，則一定正確的是（）A.的周期為2 B.圖象關(guān)于直線對稱C.為偶函數(shù) D.為奇函數(shù)8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.466 B.467 C.932 D.9339．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（

）A．不共線，且，則.B．若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C．已知，則在上的投影的坐標(biāo)為D．已知點(diǎn)為的垂心，則10．某中學(xué)積極組織學(xué)生參加課外體育活動(dòng).現(xiàn)操場上甲、乙兩人玩投籃游戲，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則繼續(xù)投籃，若未投中，則換另一人投籃.假設(shè)甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由擲兩枚硬幣的方式確定第一次投籃的人選（一正一反向上是甲投籃，同正或同反是乙投籃），以下選項(xiàng)正確的是（

）A．第一次投籃的人是甲的概率為B．已知第二次投籃的人是乙的情況下，第一次投籃的人是甲的概率為C．第二次投籃的人是甲的概率為D．設(shè)第次投籃的人是甲的概率為，則11.如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與所成角余弦值為B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為C當(dāng)且面時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是.13．已知，且，則.14．點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，且，使得，則的離心率為______．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．（本題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.16．（本題滿分15分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）求；（2）若角的平分線交邊于點(diǎn)，，求面積的最小值．17．（本題滿分15分）在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且（且）.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（本題滿分17分）己知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，在的圖像上有一點(diǎn)列，直線的斜率為，求證：．19．（本題滿分17分）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為、是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．（i）若點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)：（ii）若直線與直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．2024-2025學(xué)年祁陽一中第一學(xué)期期中考試試題2024.11一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．A2．B3．D4．C5．D6．C7．D8．B二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分．9．BD10．BCD11．ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12．87.5 13．2或6414．2四、解答題：本大題共6小題，共70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）解：（1）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，為等邊三角形，， …………..2分又面垂直于底面，交線為，得面， …………..3分又面. …………..4分底面為直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得， …………..5分又，得面，面，所以. …………..6分（2）由（1）知面，不妨設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， …………..7分得，B1,0,0，C1,1,0，… …………..8分，，； …………..9分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，可??； …………..10分設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x則，即，可取. …………..11分設(shè)平面與平面夾角為，則， …………..12分所以平面與平面夾角的正弦值為. …………..13分16．（本小題滿分15分）解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得? …………..2分則，即， …………..4分又，所以，所以，又，所以， …………..6分所以，所以； …………..7分（2）如圖，由題意及第（1）問知，，且， …………..8分∴，∴，化簡得，∵，，∴由基本不等式得， …………..10分∴， …………..11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立， …………..12分∴， …………..13分∴， …………..14分故的面積的最小值為. …………..15分17．（本小題滿分15分）（1）因?yàn)椋?，整理得? …………..2分所以， …………..4分以上個(gè)式子相乘得，. …………..6分當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以. …………..7分（2）. …………..9分所以，① ………….10分，② ………….11分①②得，， …………..12分所以. …………..13分由得：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立， …………..14分所以，即的取值范圍是. …………..15分18．（本小題滿分17分）解：（1）在上單調(diào)遞減，理由如下：當(dāng)時(shí)，， …………..1分，，…..2分所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以， …………..3分所以，所以在上單調(diào)遞減. …………..4分（2）當(dāng)時(shí)，fx=sinx當(dāng)時(shí)，②，，設(shè)ux=cosx+3ax2時(shí)，，設(shè)， …………..6分當(dāng)時(shí)，，， …………..7分要使①恒成立，由于②，則需恒成立，所以恒成立，所以，. …………..8分此時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，u'ux=cosx+3在0,+∞上單調(diào)遞增， …………..9分使得fx=綜上所述，的取值范圍是. …………..10分（3）由（2）可知，當(dāng)，時(shí)，fx=sin即時(shí)，恒成立， …………..12分下證：，時(shí)，， …………..13分由上述分析可知，，即，則，所以==1-16?22ii，即得證....17分19．（本小題滿分17分）解：（1）由題意得，解得…………3分橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為… ………4分（2）（i）由（1）可得，連接，因?yàn)椋?，所以，? …………5分，所以， …………6分所以直線的方程為， …………7分聯(lián)立，解得或（舍去），. …………8分（ii）設(shè)直