數(shù)學(xué)《圓與相似三角形、三角函數(shù)綜合題》專題訓(xùn)練(含答案)

-2021學(xué)年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練講義（七）《圓與相似三角形、三角函數(shù)綜合題》專題訓(xùn)練班級姓名座號成績1.如圖，過正方形ABCD頂點(diǎn)B，C的⊙O與AD相切于點(diǎn)P，與AB，CD分別相交于點(diǎn)E、F，連接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，則PF的長為．2.如圖AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，連接AC并延長至點(diǎn)D，使CD＝AC，點(diǎn)E是OB上一點(diǎn)，且＝，CE的延長線交DB的延長線于F，AF交⊙O于點(diǎn)H，當(dāng)OB＝2時，則BH的長為．（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）3.如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交⊙O于B，連接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，則PO的長．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）如下左圖，過點(diǎn)D作弦DF⊥AB垂足為H，連接EF交AB于G，求證：EF∥AC；（2）如下右圖，在（1）的條件下，過點(diǎn)G作GN⊥BC垂足為N，若OG＝3，EN＝4，求線段DH的長．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，G為⊙O上一點(diǎn)，連接AG交CD于K，在CD的延長線上取一點(diǎn)E，使EG＝EK，EG的延長線交AB的延長線于F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）連接DG，若AC∥EF時．①求證：KG2＝KD?KE；②若cosC＝，AK＝，求BF的長．作業(yè)思考：1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且對角線AC⊥BD，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．（1）如圖①，連接EF，若EF平分∠AFG，求證：AE＝GE；（2）如圖②，連接CO并延長交AB于點(diǎn)H，若CH為∠ACF的平分線，AD＝3，且tan∠FBG＝，求線段AH長．參考答案：1．如圖，過正方形ABCD頂點(diǎn)B，C的⊙O與AD相切于點(diǎn)P，與AB，CD分別相交于點(diǎn)E、F，連接EF．（1）求證：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的長．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AD，由四邊形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEF＝∠OFE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）連接PF，由BF是⊙O的直徑，得到∠BPF＝90°，推出四邊形BCFP是矩形，根據(jù)tan∠FBC＝，設(shè)CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直徑，∵⊙O與AD相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AD，∵四邊形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）連接PF，∵BF是⊙O的直徑，∴∠BPF＝90°，∴四邊形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，設(shè)CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵點(diǎn)E是切點(diǎn)，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，連接AC并延長至點(diǎn)D，使CD＝AC，點(diǎn)E是OB上一點(diǎn)，且＝，CE的延長線交DB的延長線于點(diǎn)F，AF交⊙O于點(diǎn)H，連接BH．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）當(dāng)OB＝2時，求BH的長．【分析】（1）先判斷出∠AOC＝90°，再判斷出OC∥BD，即可得出結(jié)論；（2）先利用相似三角形求出BF，進(jìn)而利用勾股定理求出AF，最后利用面積即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位線，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴BD是⊙O的切線；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根據(jù)勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB?BF＝AF?BH，∴AB?BF＝AF?BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求出BF＝3是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交⊙O于B，連接BC，PB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）求證：E為△PAB的內(nèi)心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的長．【分析】（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，證明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根據(jù)切線的判定定理證明；（2）連接AE，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，證明EA平分∠PAD，根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念證明即可；（3）根據(jù)余弦的定義求出OA，證明△PAO∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【解答】（1）證明：連接OB，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA為⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切線；（2）證明：連接AE，∵PA為⊙O的切線，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB為⊙O的切線，∴PD平分∠APB∴E為△PAB的內(nèi)心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定，掌握切線的判定定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）如圖1，求證：AD＝CD；（2）如圖2，過點(diǎn)D作弦DF⊥AB垂足為H，連接EF交AB于G，求證：EF∥AC；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)G作GN⊥BC垂足為N，若OG＝3，EN＝4，求線段DH的長．【分析】（1）如圖1中，連接BD，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，連接BD，想辦法證明∠ADF＝∠DFE即可．（3）連接AE．設(shè)OA＝OB＝r，則AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行線分線段成比例定理，構(gòu)建方程求出r，即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖1中，連接BD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）證明：如圖2中，連接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如圖3中，連接AE．設(shè)OA＝OB＝r，則AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直徑，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍棄），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，解直角三角形，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，教育的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，G為⊙O上一點(diǎn)，連接AG交CD于K，在CD的延長線上取一點(diǎn)E，使EG＝EK，EG的延長線交AB的延長線于F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）連接DG，若AC∥EF時．①求證：△KGD∽△KEG；②若cosC＝，AK＝，求BF的長．【分析】（1）連接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，結(jié)合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根據(jù)CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，從而得出∠KGE+∠OGA＝90°，據(jù)此即可得證；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，結(jié)合∠DKG＝∠CKE即可證得△KGD∽△KGE；②連接OG，由設(shè)CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再設(shè)⊙O半徑為R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根據(jù)知，從而得出答案．【解答】解：（1）如圖，連接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切線．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②連接OG，∵，AK＝，設(shè)，∴CH＝4k，AC＝5k，則AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根據(jù)勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，則AH＝3，設(shè)⊙O半徑為R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及切線的判定等知識點(diǎn)．作業(yè)思考：1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且對角線AC⊥BD，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．（1）如圖①，連接EF，若EF平分∠AFG，求證：AE＝GE；（2）如圖②，連接CO并延長交AB于點(diǎn)H，若CH為∠ACF的平分線，AD＝3，且tan∠FBG＝，求線段AH長．【分析】（1）由垂直的定義，角平分線的定義，角的和差證明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四邊形的內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得∠FAE＝∠IGE，最后根據(jù)角角邊證明△AEF≌△GEI，其性質(zhì)得AE＝GE；（2）由圓周角定理，等角的三角函數(shù)值相等求出⊙O的半徑為，根據(jù)平行線的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，一元二次方程求出t的值為，最后求線段AH的長為．【解答】證明：（1）過點(diǎn)E作EI⊥EF交CF于點(diǎn)I，如圖①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）連接DO并延長，交⊙O于點(diǎn)P，連接AP，如圖②甲所示：∵∠ABD與∠P是⊙O上弧AD所對的圓周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP為⊙O的直徑，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，過點(diǎn)H作HJ⊥AC于點(diǎn)J，過點(diǎn)O作OK⊥AC于點(diǎn)K，設(shè)AJ＝3t，CF＝x，如圖②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分線，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝