2024北京十五中高一（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京十五中高一（上）期中數(shù)學(xué)2024.11本試卷共6頁，150分．考試時(shí)長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡和答題紙上，在試卷上作答無效．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集或，則集合（）A. B. C.或 D.2.方程組的解集是（）A. B.C. D.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.4.下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.函數(shù)f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A.（2，+∞） B.（1，2） C.（0，1） D.（﹣1，0）6.已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7.設(shè)奇函數(shù)在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，則下列圖象錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.9.在函數(shù)①，②，③，④中，以2為最小值的函數(shù)的序號(hào)為（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④10.設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；②函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；③當(dāng)時(shí)，存在，使得有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；④存在，使得函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．其中，真命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域是______．12.不等式的解集是________．13.已知“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．14.已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，總有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15.設(shè)函數(shù)若,則的單調(diào)遞增區(qū)間是___________;若的值域?yàn)?則的取值范圍是_____________．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知全集，集合，其中．（1）化簡集合A，并求集合；（2）若，求集合；（3）若，都有或，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17.已知函數(shù)，滿足下列兩個(gè)條件條件①：；條件②：；（1）求，的值；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的正數(shù)零點(diǎn)．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，求的值．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)是否具有奇偶性，并證明；（2）當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．19.某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)S中的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？（2）設(shè)該地上班族總?cè)藬?shù)為，求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；并求的最小值，指明相應(yīng)的的值．20.已知二次函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．（2）求關(guān)于的不等式的解集．21.如果是定義在R上的函數(shù)，且對任意的x∈R，都有，則稱該函數(shù)是“函數(shù)”．（1）分別判斷下列函數(shù)：①；②；③是否為“函數(shù)”？（直接寫出結(jié)論）（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)“函數(shù)”在R上單調(diào)遞增，求所有可能的集合A與．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】B【分析】根據(jù)題意利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)槿?，則，所以.故選：B.2.【答案】C【分析】直接求出方程組的解，再用列舉法表示即可.【詳解】由，消去得，解得，所以方程組的解為或，所以方程組的解集.故選：C3.【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定式特稱命題分析判斷.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：C.4.【答案】D【分析】對于ABC：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：例如，則，故A正確；對于選項(xiàng)B：例如則，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：例如，滿足，但，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若，則，可得a?1ab>b?1ab故選：D.5.【答案】B【分析】求出，即得解.【詳解】由題得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的連續(xù)函數(shù)，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在性定理，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.6.【答案】B【分析】由題可得恒成立，由即可求出.【詳解】因?yàn)槊}“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．7.【答案】D【分析】根據(jù)單調(diào)性和奇偶性分析的符號(hào)，進(jìn)而解不等式即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，則或，可得或，所以不等式的解集為.故選：D.8.【答案】D【分析】確定的圖象，然后根據(jù)圖象變換確定各選項(xiàng)．【詳解】當(dāng)時(shí)，，表示一條線段，且線段經(jīng)過和兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，表示一段曲線．函數(shù)的圖象如圖所示．的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位長度得到，故A正確；的圖象可由的圖象關(guān)于軸對稱后得到，故B正確；由于的值域?yàn)椋剩实膱D象與的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中的圖象不正確．故選：D．9.【答案】B【分析】對于①：舉反例說明即可；對于②③：利用基本不等式分析判斷；對于④：換元令，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于①：例如，則，可知的最小值不為2，故①錯(cuò)誤；對于②：因?yàn)椋瑒t，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，故②正確；對于③：因?yàn)?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，故③正確；對于④：令，則，可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以的最小值不為2，故④錯(cuò)誤；故選：B10.【答案】C【分析】對于①：根據(jù)奇函數(shù)定義分析判斷即可；對于②：根據(jù)中心對稱的定義分析判斷；對于③：整理可得，構(gòu)建，結(jié)合函數(shù)圖像分析判斷；對于④：取，代入解方程即可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽，對于①：當(dāng)時(shí)，，則，所以為奇函數(shù)，故①正確；對于②：因?yàn)椋院瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故②正確；對于③：若，令，可得，構(gòu)建，可得其圖像如圖所示，可知y=gx在R上單調(diào)遞增，且y=gx的值域?yàn)閯ty=gx與恒有一個(gè)交點(diǎn)，即有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對于④：例如，則，令，解得x=0或，所以存在，使得函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故④正確；綜上所述：真命題的個(gè)數(shù)為3.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】根據(jù)分式、根式的意義列式求解即可.【詳解】令，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：.12.【答案】【分析】把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，由此求得原不等式的解集．【詳解】解：不等式等價(jià)于，解得，故答案為：．13.【答案】【分析】分析可知是的真子集，結(jié)合包含關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】由，可得，由，可得，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，可知是的真子集，則，且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.【答案】【分析】分析可知在上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.【詳解】由題意可知：在上單調(diào)遞增，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.【答案】①.②.【分析】(1)將代入解析式,分析各段單調(diào)性,即可得出結(jié)果;(2)先求出上的值域,由的值域?yàn)?只需在上的值域包含,分析該二次函數(shù)的開口方向,對稱軸及值域即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題知當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故的單調(diào)遞增區(qū)間是;由于在上的值域?yàn)?若的值域?yàn)?只需在上的值域包含即可,故需,即,此時(shí)在上的值域?yàn)?故需,即,綜上:.故答案為:;三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）化簡見解析，（2）或（3）【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式求集合A，進(jìn)而可得其補(bǔ)集；（2）可得，進(jìn)而可得交集；（3）分析可知，結(jié)合交集運(yùn)算求解.【小問1詳解】由，解得或，可得或，所以.【小問2詳解】若，則，所以或.【小問3詳解】由題意可知：，且或，，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.【答案】（1），（2）；【分析】（1）由條件①可得：；由條件②可得：關(guān)于直線對稱，結(jié)合對稱性可得；（2）（i）分析可知有兩根不相等的正實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理結(jié)合判別式求的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)題意利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】由條件①可得：；由條件②可得：關(guān)于直線對稱，則，解得；所以，.【小問2詳解】（i）由（1）可知：，則，若函數(shù)有兩個(gè)不同的正數(shù)零點(diǎn)，即有兩根不相等的正實(shí)數(shù)根，則Δ=解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（ⅱ）因?yàn)?，所以，解?18.【答案】（1）為定義在上的奇函數(shù)，證明見詳解（2）在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，證明見詳解（3）【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合奇偶性的定義分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（3）可證在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合（2）可得：，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)求值域.【小問1詳解】為定義在上的奇函數(shù)，證明如下：由題意可知：的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為定義在上的奇函數(shù).【小問2詳解】若，則在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，由（2）可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，任取，且，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減.則，且，由（1）可知：為定義在上的奇函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，；綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)?19.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，有最小值分鐘【分析】（1）解不等式即可；（2）分、兩種情況求出分段函數(shù)的表達(dá)式，再求各段上的最小值，最后得出在整個(gè)定義域上最小值.【小問1詳解】由已知可得fx當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由不等式組30<x<1002x+1800x-90>40所以當(dāng)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)；當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減、在上單調(diào)遞增，此時(shí)；且，可知當(dāng)時(shí)，有最小值分鐘.20.【答案】（1）；（2）答案見詳解【分析】（1）分析可知二次函數(shù)在處取到最小值，即可得，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性求；（2）整理可得，分類討論最高項(xiàng)系數(shù)以及兩根大小解不等式.【小問1詳解】由題意可知：二次函數(shù)在處取到最小值，則，即，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為；若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則的最小值為；若時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；綜上所述：【小問2詳解】因?yàn)?，即，可得，（i）若，則，解得，原不等式解集為；（ⅱ）若，令，解得或，原不等式解集為；（ⅲ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，原不等式解集為；②當(dāng)，即時(shí)，原不等式解集為；③當(dāng)，即時(shí)，原不等式解集為；綜上所述：若，原不等式解集為；若，原不等式解集為；若時(shí)，原不等式解集為；若時(shí)，原不等式解集為；若時(shí)，原不等式解集為.21.【答案】（1）①③為“函數(shù)”，②不為“函數(shù)”（2）（3），【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義結(jié)合方程思想逐項(xiàng)分析求解即可；（2）分析可知原題意等價(jià)于無解，即可得結(jié)果；（3）根據(jù)單調(diào)性以及“函數(shù)”的定義可知，，并代入檢驗(yàn).【小問1詳解】對于①：令，即，可得不成立，即恒成立，所以為“函數(shù)”；對于②：令，即，整理可得，解得，即不恒成立，所以不為“函數(shù)”；對于③：令，即，可得不成立，即恒成立