數(shù)學(xué)蘇教版自我小測(cè)：數(shù)學(xué)歸納法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測(cè)1．?dāng)?shù)列1，1＋3,1＋3＋5，1＋3＋5＋7，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n＞n2成立時(shí)，n應(yīng)取的第一個(gè)值為________．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n3＋1≥4n＋1時(shí)，n所取的第一個(gè)值n0為__________．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，且n＞1）”時(shí),由n＝k（k＞1)不等式成立,推證n＝k＋1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是________．5．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形的對(duì)角線條數(shù)f（n＋1）與f（n)之間的關(guān)系為．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n＋1≥n2＋n＋2（n∈N)時(shí)，第一步的驗(yàn)證為____________________．7．已知x＞－1且x≠0,n∈N＊,且n≥2，求證：（1＋x）n＞1＋nx。8．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3）＝2n2－n.9．求證：an＋1＋（a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除,n∈N*。10．已知函數(shù)(x≥0）．設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＋1＝f（an),數(shù)列｛bn}滿足bn＝｜an－｜，用數(shù)學(xué)歸納法證明。

參考答案1答案：n22答案：53答案：24答案：2k解析：增加的項(xiàng)數(shù)為(2k＋1－1)－（2k－1)＝2k。5答案：f（n＋1）＝f（n）＋n－1解析：如圖，設(shè)凸n＋1邊形為A1A2…AnAn＋1，連結(jié)A1An，則凸n＋1邊形的對(duì)角線是由凸n邊形A1A2…An的對(duì)角線加上A1An，再加上從An＋1點(diǎn)出發(fā)的n－2條對(duì)角線，即f(n＋1）＝f(n)＋1＋n－2＝f（n）＋n－1.6答案:當(dāng)n＝0時(shí)，20＋1＝2≥02＋0＋2＝2，結(jié)論成立7答案:證明：（1)當(dāng)n＝2時(shí),左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，∵x≠0，∴1＋2x＋x2＞1＋2x.∴左邊＞右邊，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即（1＋x）k＞1＋kx成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝（1＋x)k＋1＝（1＋x)k(1＋x）?！選＞－1，∴1＋x＞0?！啵?＋x）k(1＋x)＞（1＋kx）(1＋x）＝1＋(k＋1)x＋kx2?！選≠0,∴1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1）x?！啵?＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x成立，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立。由(1）(2）可知,不等式對(duì)于所有的n≥2的正整數(shù)都成立.8答案：證明：（1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，命題成立.(2）假設(shè)n＝k（k≥1)時(shí)，命題成立，即1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋（4k＋1)＝2k2－k＋（4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1）?！喈?dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立.綜上所述，原命題成立.9答案：證明:(1)當(dāng)n＝1時(shí),a1＋1＋（a＋1）2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立。（2)假設(shè)n＝k時(shí),ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí),ak＋2＋（a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋（a＋1)2·（a＋1）2k－1＝a［ak＋1＋（a＋1)2k－1]＋（a＋1)2(a＋1)2k－1－a（a＋1）2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1）2k－1]＋（a2＋a＋1)（a＋1）2k－1。由歸納假設(shè)知，上式中的兩部分均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1時(shí)命題成立。根據(jù)(1）(2）知，對(duì)任意n∈N＊，命題成立.10答案：證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x）＝1＋＞1。因?yàn)閍1＝1，所以an≥1(n∈N＊)。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。(1)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝－1，不等式成立。(2)