數學學案：學習導航集合與集合的表示方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章集合1.1集合與集合的表示方法自主整理1.與集合有關的概念一般地,把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合（或集）。常用大寫字母A、B、C、D……表示；構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員)，常用小寫字母a、b、c、d……表示。2。元素與集合的從屬關系a是集合A的元素,記作a∈A，讀作“a屬于A”;a不是集合A的元素，記作aA，讀作“a不屬于A”。3?？占话愕?我們把不含任何元素的集合叫做空集,記作。4.集合元素的特征（1)確定性:對于一個給定的集合，其元素的意義是明確的.（2）互異性：對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的。(3）無序性：對于一個給定的集合，它的任何兩個元素的位置都是可以交換的。5。集合的分類集合按照元素個數可以分為有限集和無限集。(1）有限集——含有有限個元素的集合。（2)無限集--含有無限個元素的集合.6.一些常見的數集及其記法全體非負整數組成的集合，叫做非負整數集(或自然數集）,記作N;所有正整數組成的集合，叫做正整數集,記作N＊或N+;全體整數組成的集合，叫做整數集,記作Z；全體有理數組成的集合，叫做有理數集，記作Q；全體實數組成的集合,叫做實數集,記作R.7.集合的表示方法(1）列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并置于花括號“{}"內，元素之間用逗號分隔，但列舉時與元素的次序無關。注意:如果兩個集合所含的元素完全相同，則稱這兩個集合相等。（2）特征性質描述法:如果在集合I中，屬于集合A的任一元素x都具有性質P（x），而不屬于集合A的元素都不具有性質P（x）,則性質P(x)叫做集合A的一個特征性質。于是，集合A可以用它的特征性質P(x)描述為｛x∈I|P（x）｝，它表示集合A是由集合I中具有性質P(x)的所有元素構成的。高手筆記1.集合是一個原始的、不加定義的概念。我們現(xiàn)在剛開始接觸集合，最好還是要通過一些實例了解集合的含義。了解集合的含義時要考慮集合元素的三個性質即確定性、互異性和無序性，這有助于我們對集合的理解.2。元素、集合的字母表示，以及元素與集合之間的屬于或不屬于關系，可在具體運用中逐漸熟悉。3。學習列舉法時，要知道集合中元素的列舉與元素次序無關，即集合元素的無序性。學習特征性質描述法時,可針對具體的集合，先用自然語言表示集合的元素具有的共同屬性,再用描述法來表示集合。4.列舉法和描述法在表示集合時各有優(yōu)點，一般情況下,對有限集，在元素不太多的情況下,宜采用列舉法,它具有直觀明了的特點;對無限集,一般采用描述法。5。對于含參數的集合問題,要注意元素的互異性、分類討論思想的應用.名師解惑1。怎樣正確地理解集合、元素及其關系？剖析：（1）集合是由元素構成的,認識集合應該從認識它的元素開始：①不能把整數集與｛整數集}看作是相同的集合，因為前一個集合的元素是整數,而后一個集合中的元素是集合;②a與｛a｝不同，a表示一個元素,{a｝表示由一個元素a構成的集合,一般稱｛a｝為單元素集；③｛0｝是含有一個元素0的集合，同理，{｝是含有一個元素的集合，而卻是不含有任何元素的集合，三者都表示集合，但卻是三個不同的集合。（2)研究集合還應著眼對元素構成的“全體”的整體研究.集合可以由離散型元素構成（例如{π，2π，3π｝），也可以由連續(xù)型元素構成(例如｛x｜—3≤x〈7}),還可以由有序實數對構成（{（x，y）|5x+6y=3，x、y∈R｝）等等,有時還要研究不給出具體元素的抽象集合.(3）元素與集合是“屬于”與“不屬于”的關系.符號“∈,”只能用于集合與元素之間，表示元素與集合之間的從屬關系,不能用來表示集合與集合之間的關系，這一點千萬要記準.2.集合的表示法常見的有描述法和列舉法，通過本節(jié)學習你能歸納如何選擇這兩種方法嗎？剖析：(1）當集合中元素的個數有限但公共屬性難以概括時,只能用列舉法,如｛x,x2+1,x-y}。(2）當集合中元素的個數無法一一列出時，可先抽象出元素的特征性質，用描述法描述它。(3)當集合的元素不是實數或式子,常采用自然語言表示，當用自然語言來描述集合中元素的特征和性質時,分隔號及前面的部分常常省去。如“所有四邊形組成的集合”記為{x｜x是四邊形}。在不致混淆的情況下,可以省去“｜”及其左邊的部分,直接寫成{四邊形}。(4)對于用自然語言描述的集合,要試著分別用列舉法和描述法去表示它，如B={大于10且小于20的整數},可以寫作B={x∈Z｜10<x〈20}或B=｛11，12，13，14,15，16,17，18，19}.這說明描述法、列舉法也可相互轉化,同時也可轉化成自然語言表示.(5)在不致引起混淆的情況下，所有的非負數組成的集合可記為｛x｜x≥0｝。當集合是數集時,在沒有標明x范圍的前提下,我們認為x的值是使式子有意義的所有x的值.如{y｜y=},此時我們認為x∈R且x≠0，由反比例函數的性質,可知該集合可化為{y｜y∈R且y≠0｝。3.為何說用描述法表示的集合，認識它要看清集合的代表元素是什么?在使用描述法時,應注意什么?剖析：(1）描述法是將所給集合中全部元素的共同特征和性質用文字或符號語言描述出來的方法,它反映了集合元素的形式.如｛y|y=x2—2x+3｝與｛y|y≥2}、{x｜x≥2｝均為同一集合；又如,集合A={y｜y=x2-2x+3，x∈R｝,B=｛y|y=x2—2x+3，x〉2}與C={(x，y）｜y=x2-2x+3｝不是同一集合。這是因為集合A={y｜y=x2-2x+3，x∈R}中的代表元素是“y”,它代表一個數，所以集合A是個數集,且A={y|y=（x—1)2+2｝={y｜y≥2｝;集合B同樣也是一個數集，但由于x的取值不一樣,所以有B=｛y｜y=(x—1）2+2,x>2｝=｛y|y〉3}，與A并不是同一集合;而集合C中的代表元素為“（x，y）”,代表直角坐標平面上的點，因此集合C是個點集,表示坐標平面上拋物線y=x2-2x+3上的所有點。（2）在使用描述法時,應注意以下五點：①寫清楚該集合中元素的代表符號;②說明該集合中元素的特征；③多層描述時，應當準確使用“或”“且”“非"等邏輯聯(lián)結詞；④所有描述的內容都要寫在集合括號內；⑤用于描述的語句力求簡明、確切,如｛x|x為中國的直轄市｝.講練互動【例題1】下列各組對象能構成集合嗎？(1）你所在班級的男生;(2）美麗的小鳥；（3)關于x的方程ax2+1=0的實數解；（4）從1988年到2004年所有舉辦過奧林匹克運動會的城市；（5）所有小的正數;（6)到兩定點距離的和等于兩定點間的距離的點。分析：“美麗”和“小”沒有確定的標準，因此（2）(5)的對象不能構成集合，(3)中的方程可能有實數解,也可能沒有實數解,但一旦a給定后,其方程解的情況就是確定的.解：(1）(3）（4)（6)可以構成集合；（2）（5）不能構成集合.綠色通道看一組對象能否構成一個集合，只要看這組對象是否是確定的，即任何一個對象，要么在這一組中,要么不在這組之中,而沒有第三種情況出現(xiàn).變式訓練1.下列各組對象中不能構成集合的是（)A。高一年級開設的課程B.高一年級任教的老師C.高一年級1992年出生的學生D。高一年級比較聰明的學生解析：依據集合元素的確定性判斷。答案:D【例題2】已知x2∈{1,0,x｝，求實數x的值。分析:根據集合與元素關系，可知x2=0，1或x,但考慮元素的互異性,則有x≠0,1.解:若x2=0，則x=0，此時集合為{1,0,0｝，不符合集合元素的互異性;若x2=1,則x=1或—1，易知x=1應舍去，故x=—1；若x2=x，則x=0或1，都應舍去.綜上，可知x為—1。綠色通道此類問題求解時，注重對集合元素互異性的檢驗和分類討論思想的應用.要先由集合與元素的關系討論x2=0，1或x時，x所對應的取值，然后去建立集合,注意用集合元素的互異性判斷集合的成立與否.變式訓練2.設-5∈{x｜x2—ax—5=0｝，則集合{x|x2-4x-a=0｝中所有元素之和為__________.解析：∵—5∈{x｜x2—ax-5=0｝,∴-5是方程x2—ax-5=0的解?！啵ā?）2—a（-5)-5=0?！郺=—4?！鄘x|x2-4x—a=0｝={x｜x2-4x+4=0}={2}.答案：23.已知由“x，xy,"組成的集合與由“0，｜x|，y”組成的集合是同一個集合,則x，y的值是否是確定的？若確定，請求出來；若不確定,則說明理由。分析：兩個集合是同一個集合,必須是兩個集合的元素完全相同，而后一個集合出現(xiàn)元素“0”,因而第一個集合中也必出現(xiàn)元素“0"，它有三種情況.結合元素的特性對它進行討論即可.解：若x=0,則xy=0，這與元素互異性矛盾，∴x≠0.若x≠0,xy=0，則y=0,則第二個集合的元素中出現(xiàn)了兩個“0”，這與元素互異性矛盾,∴xy≠0。綜上，可知=0，即y=x。由兩個集合是同一個集合,可知xy=|x|，即x2=|x｜.∴x=±1.當x=1時，y=1，這與元素互異性矛盾.∴x=y=-1.故x，y是確定的,x=y=—1?！纠}3】比較并說明下列兩個集合之間的差異：(1)A=｛（x,y)|y=x2，x∈R},B={y|y=x2，x∈R};（2）A={x|x2-6x-7=0｝，B=｛（x,y)｜｝.分析：要確定一個集合,必須從這個集合中的元素入手,只有確定了這個集合中元素的特征,才可以確定這個集合。對于本例中給出的每組集合中兩個集合的元素，可以發(fā)現(xiàn)：一個是數，一個是實數對(點)。解：(1）集合A是一個點集,是由函數y=x2圖象上的所有的點構成的集合;集合B是數集，是由所有實數的完全平方構成的集合。兩個集合的元素顯然是不同的.(2）化簡兩個集合可以得到:A=｛-1,7｝,B={（-1，7）}.集合A、B分別是方程、方程組解的集合，但A中有兩個元素-1,7,而B中只有一個元素（—1，7）.綠色通道比較兩個集合間的關系關鍵在于清楚代表元素的形式是點、數還是代數式……另外要注意理解元素所具備的特征性質描述的意義及新字母的取值范圍,即代表元素形式一樣時,注意區(qū)分它的“來源”.如:集合A=｛x｜y=x2｝,B=｛y|y=x2｝，兩個集合中的元素都是數,但是A描述的對象為x，它是y=x2中x的范圍所構成的集合，此時x∈R;B描述的對象為y，它是y=x2中y的范圍所構成的集合，此時y∈R+，所以兩個集合是不一樣的.變式訓練4。下面各集合中，可以表示方程組的解集的是______.①｛x=1，y=2}②｛1,2｝③｛(1,2)｝④{(x,y）｜x=1或y=2｝⑤｛(x，y）｜x=1且y=2｝⑥{（x，y)|｝⑦｛(x，y)｜（x—1）2+(y-2)2=0}解析：方程組的解是一組數對（1，2),所以解集可用列舉法表示為{（1,2）}，也可用特征性質描述法表示為{(x,y)|｝并且③⑤⑥⑦相互等價。所以可以表示方程組解集的集合為③⑤⑥⑦;①中兩個元素是兩個方程;②中兩個元素是兩個數,它們都不能表示方程組的解集;④中的元素雖也是數對(x，y),也能表示直角坐標平面上的點集,問題是x=1和y=2之間用“或"連接,表示的卻是直線x=1與直線y=2上所有點的集合。答案：③⑤⑥⑦【例題4】設集合A=｛x｜∈Z,x∈N},試用列舉法表示該集合。分析：由∈Z，可知3-x必為6的因數，且3-x取遍6的諸因數，然后再驗證x∈N即可。解：∵∈Z，∴3-x可取±1、±2、±3、±6.又x∈N,∴A={0,1，2,4,5,6，9}.黑色陷阱本題可能會有如下錯誤解法：∵x∈N,∈Z,∴可取2,3,6，—6，—3,-2,—1.故A={-6,-3，—2，-1，2,3,6｝。這是因為解題者沒有弄清集合A所描述的對象。要注意A的對象是x.還有一種錯誤是認為6的因數只有1,2,3，6，從而遺漏了6的負因數的情況.變式訓練5。對于集合A=｛2，4,6},若a∈A,則6-a∈A，那么a的值是_________。解析:若a=2,則6—a=4∈A;若a=4,則6—a=2∈A;若a=6,則6—a=0A答案：2或46。集合M的元素為自然數,且滿足：如果x∈M，則8—x∈M。試回答下列問題：(1)寫出只有1個元素的集合M；(2）寫出元素個數為2的所有集合M;（3）滿足題設條件的集合M共有多少個？分析：此題關鍵在于理解“如果x∈M,則8-x∈M”,并要注意集合中元素的互異性。解:（1）因為M中只有1個元素，根據已知條件，x必須滿足x=8—x.所以x=4.故只含1個元素的集合M為{4｝.（2）當M中只含有2個元素時，其元素只能是x和8-x，從而含有2個元素的集合M應為{0，8},｛1，7}，｛2，6｝，{3,5｝.（3)滿足題設條件的M是由集合{4}，{0，8｝，{1,7｝，{2，6},｛3,5｝中的元素組合而成。以上5個集合中任取1個集合有5種;5個集合中任取2個集合有10種；5個集合中任取3個集合有10種；5個集合任取4個集合有5種；5個集合都取，只有1種.故滿足已知條件的集合M共有5+10+10+5+1=31種.教材鏈接1.［思考與討論］你能否確定，你所在班集體中高個子同學