陜西省十七校聯考2024-2025學年高三上學期11月期中考試數學試題 含解析

2025屆高三第一學期期中考試檢測卷數學全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內容：高考范圍．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的除法運算求出，再利用共軛復數及復數的意義即可得解.【詳解】依題意，，則，所以的虛部為.故選：A2.已知集合，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據交集、并集的定義計算可得.【詳解】因為集合，集合，集合，所以，，，，故正確的只有D.故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用角的變換，代入兩角差的正切公式即可求解.【詳解】．故選：B.【點睛】本題主要考查了角的變換，兩角差的正切公式，屬于基礎題.4.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題根據指數函數、對數函數的性質借助中間值1比較可得.【詳解】因為，所以，即，又，即，又，所以，所以；因為，所以，所以，所以所以.故選：A.5.是一種由60個碳原子構成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結構由12個正五邊形和20個正六邊形組成．如圖，將足球烯上的一個正六邊形和相鄰正五邊形展開放平，若正多邊形的邊長為1，為正多邊形的頂點，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】運用數量積定義計算即可.【詳解】如圖所示，連接，，由對稱性可知，，取的中點，則，，又因為正六邊形的邊長為1，所以，所以，故選：B．6.已知某圓錐的側面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設相應長度，根據圓錐的側面積和軸截面面積列式可得，再結合線面夾角運算求解.【詳解】設圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.故選：C.7.將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若點是函數圖象的一個對稱中心，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出平移后函數解析式，再由圖象的對稱中心，可得，從而得出結論．【詳解】由已知得，所以，解得，又，當時，．故選：C.【點睛】本題考查三角函數的圖象平移變換，考查函數的對稱性，掌握誘導公式是解題關鍵．平移變換時要注意平移單位是對自變量而言，屬于中檔題．8.已知函數最小值為，則的最小值為（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】由二次函數的性質可知，令，運用導數可求得的最小值，進而可得結果.【詳解】因為，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，，故選：B．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在的展開式中，下列命題正確的是（）A.二項式系數之和為64 B.所有項系數之和為C.常數項為60 D.第3項的二項式系數最大【答案】AC【解析】【分析】對于A：根據二項式系數之和為分析判斷；對于B：令，可得所有項系數之和；對于C：結合二項展開式的通項分析求解；對于D：根據二項式系數的最值分析求解.【詳解】對于選項A：因為，可知二項式系數之和為，故A正確；對于選項B：令，可得所有項系數之和為，故B錯誤；對于選項C：因為展開式的通項為，令，可得，所以常數項為，故C正確；對于選項D：因為，可知二項式系數最大值為，為第4項，故D錯誤；故選：AC.10.已知a，b均為正實數，且，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據基本不等式結合對數與指數的運算性質逐一分析即可得出答案.【詳解】對于A，，∴，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤：對于D，，故D正確．故選：ABD.11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數在上單調遞增B.是函數的極值點C.過原點僅有一條直線與曲線相切D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】求導根據導函數即可得出函數的單調性以及極值，進而判斷A、B項；設出切點坐標，根據已知列出關系式，構造函數，根據導數研究函數的性質得出函數零點的個數，即可判斷C項；根據函數的單調性，得出，整理即可構造，利用導函數求出函數的最小值，即可得出D項.【詳解】對于A項，由已知可得，令，則.解可得，，所以在上單調遞增；解可得，，所以在上單調遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，恒成立，即恒成立，所以函數在上單調遞增，故選項A正確；對于B項，由A可知，在上單調遞增，故B項錯誤；對于選項C，設切點的坐標為，根據導數的幾何意義可知，切線的斜率，所以過的切線方程為.又切線經過原點，所以有，整理為.令，有，當時，，有；當時，，有.所以恒成立，函數單調遞增.又由，，根據零點存在定理可得函數在區(qū)間內有且僅有一個零點.故過原點僅有一條直線與曲線相切，選項C正確；對于D選項，若，有，由函數單調遞增，有，.令，有．令，有（當且僅當時取等號），可得恒成立，所以函數單調遞增.又由，所以時，，，所以在上單調遞減；時，，，所以在上單調遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，故成立，選項D正確．故選：ACD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.有一座六層高的商場，若每層所開燈的數量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所開燈的數量為______盞.【答案】30【解析】【分析】根據給定條件，構造等比數列，再利用等比數列列n項和公式計算即得.【詳解】依題意，從下往上每層燈的數據構成等比數列，公比，，前6項和，于是，解得，所以底層所開燈的數量為30盞.故答案為：3013.已知，，若，則的最小值為_________.【答案】3【解析】【分析】合理分析題意，利用同構得到，再利用導數確定的單調性，消元后把目標式變?yōu)橐辉瘮?，利用基本不等式求解即?【詳解】因為，所以，所以，易得定義域為，而，所以在上單調遞增，故，所以，，當且僅當時取等，此時解得.故答案為：3【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數，解題關鍵是利用同構思想得到，然后化簡目標式，由基本不等式得到所要求的最值即可．14.設為雙曲線的一個實軸頂點，為的漸近線上的兩點，滿足，，則的漸近線方程是______．【答案】【解析】【分析】由角平分線定理，結合余弦定理，求得，再求的正切值，進而即可求得漸近線方程.【詳解】根據題意，作圖如下：依題意，為的角平分線，且，設，由角平分線定理可得：，則；在中，由余弦定理；在中，由余弦定理可得，，即，解得故，，所以的漸近線方程是．故答案為：.【點睛】方法點睛：求雙曲線的漸近線方程，常見有三種方法：①直接求出，從而得解；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，從而得解；③求得其中一個漸近線的傾斜角（或斜率），從而得解.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟．15.已知命題：“，”為假命題，設實數的所有取值構成的集合為.（1）求集合；（2）設集合，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）為假命題時，既可轉化為關于一元二次方程無解，然后利用判別式即可；（2）由是的必要不充分條件可得，然后分為空集和非空集兩種情況討論即可.【小問1詳解】因為命題為假命題，故關于的一元二次方程無解，即，解得，故集合；【小問2詳解】由是的必要不充分條件，可知，當時，既，解得，此時滿足，當時，如圖所示，故且等號不同時成立，解得，綜上所述，取值范圍是.16.在中，A，B，C分別為邊a，b，c所對的角，且滿足.（1）求的大?。?）若，，求面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，求解角度即可.（2）利用余弦定理求出邊長，結合三角形面積公式求解面積即可.【小問1詳解】因為，且在中，，所以，由正弦定理得，所以，，故，，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，解得(負根舍去)，所以.17.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，點是棱上的一點，且.（1）求證：四邊形為正方形；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證，再由條件推導平面，得到即可證得；（2）依題建系，寫出相關點坐標，求得相關向量的坐標，利用空間向量的夾角公式計算即得.【小問1詳解】如圖，連接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以四邊形為正方形；【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，所以，故可取，設直線與平面所成角的大小為，所以即直線與平面所成角的正弦值為.18.駕駛員考試（機動車駕駛員考試）是由公安局車管所舉辦的資格考試，只有通過駕駛員考試才能取得駕照，才能合法的駕駛機動車輛．考試內容和合格標準全國統一，根據不同準駕車型規(guī)定相應的考試項目．機動車駕駛人考試內容分為道路交通安全法律、法規(guī)和相關知識考武科目（以下簡稱“科目一”）、場地駕駛技能考試科目（以下簡稱“科目二”）、道路駕駛技能和安全文明駕駛常識考試科目（以下簡稱“科目三”）．申請人科目一、科目二、科目三考試均合格后，就可以領取駕駛證．某駕校經統計，駕駛員科目一考試平均通過的概率為，科目二：平均通過的概率為，科目三平均通過的概率為．該駕校王教練手下有4名學員參加駕駛員考試．（1）記這4名學員參加駕駛員考試，通過考試并領取駕駛證的人數為X，求X的分布列和數學期望及方差；（2）根據調查發(fā)現，學員在學完固定的學時后，每增加一天學習，沒有通過考試拿到駕駛證的概率會降為原來的0.4，請問這4名學員至少要增加多少天的學習，才能保證這4名學員都能通過考試并領取駕駛證?（我們把概率超過0.99的事件稱為必然事件，認為在一次試驗中必然事件一定會發(fā)生）參考數據：，【答案】（1）分布列見解析，，（2）6【解析】【分析】（1）根據題意可知，分步計算即可；（2）增加k（k為正整數）天學習后，每位學員通過考試拿到駕駛證的概率為，若這4名學員都能通過考試并領取駕駛證，有，利用用對數運算求解不等式.【小問1詳解】1名學員通過考試并領取駕駛證的概率為，根據題意可知，X的取值分別為0，1，2，3，4，，，，，，故X的分布列為：X01234P，；【小問2詳解】增加k（k為正整數）天學習后，每位學員通過考試拿到駕駛證的概率為，若這4名學員都能通過考試并領取駕駛證，有，有，有，有，又由．可得，故這4名學員至少要增加6天的學習，才能保證這4名學員都能通過考試并領取駕駛證．19.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）已知有兩個極值點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求導，結合導數的幾何意義求切線方程；（2）（?。┓治隹芍}意等價于有兩個不同的正實數根，結合基本不等式分析求解；（ⅱ）設有兩個不同的正實數根，根據單調性可知的極值點，結合零點代換可得，構建，結合單調性分析可得，則，即可得取值范圍.【小問1詳解】當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率，所以曲線在處的切線方程為，即.【小問2詳解】（?。┯深}意可知：的定義域為，，令，可得，原題意等價于有兩個不同的正實數根，因為，當且僅當，即時，等號成立，可知，所以的取值范圍；（ii）由（i）可知：有兩個不同的正實數根，，不妨設，可知，當時，；當或時，；可知在，上單調遞增，在上單調遞減，所以為