高等應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件：隨機(jī)事件及概率

第8章隨機(jī)事件及概率教學(xué)要求:掌握隨機(jī)事件的運(yùn)算、概率的加法公式和乘法公式、條件概率和全概公式、二項(xiàng)概型.熟悉事件獨(dú)立性概念、古典概型的條件,會求解較簡單的古典概型問題.事物確定因素隨機(jī)因素不確定因素微積分理論

概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)線性

代數(shù)模糊

數(shù)學(xué)三大因素與數(shù)學(xué)現(xiàn)象必然現(xiàn)象：必然發(fā)生的現(xiàn)象。如同性相斥隨機(jī)現(xiàn)象：隨時(shí)都發(fā)生，也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。如抽一件商品檢查結(jié)果為次品。試驗(yàn)E：研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律而進(jìn)行的各種試驗(yàn)或觀察統(tǒng)計(jì)

規(guī)律樣本空間U每一個可能發(fā)生的結(jié)果（基本事件）隨機(jī)事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件A必然事件：在一定條件下必定發(fā)生的事件

不可能事件：在一定條件下絕對不發(fā)生的事件

事件間的關(guān)系UBA包含:A

BUBA和事件:A+B包含、和事件UBA積事件:ABUBA差事件:A-B積事件、差事件UBAA與B互不相容

AB=UA

逆事件

非A互不相容、逆事件交換律結(jié)合律分配律摩根律事件的運(yùn)算性質(zhì)例設(shè)A、B、C為三個事件，試用A、B、C分別表示下列事件：（1）

A、B、C中至少有一個發(fā)生一個發(fā)生二個發(fā)生三個發(fā)生事件的描述（2）

A、B、C中只有一個發(fā)生（3）

A、B、C中至多有一個發(fā)生一個發(fā)生一個都未發(fā)生（4）

A、B、C中至少有兩個發(fā)生二個發(fā)生三個發(fā)生（5）

A、B、C中不多于兩個發(fā)生同（3）

概率:表達(dá)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小的數(shù)值P(A),稱為事件A的概率。任意事件A:0

P(A)1,P(

)=0,P(U)=1

A

B

P(A)

P(B),A=B

P(A)=P(B)

AB=

P(A+B)=P(A)+P(B)

B

A

P(A-B)=P(A)-P(B)事件的概率及性質(zhì)若基本事件組A1,A2,···,An

滿足：（1）等概性（2）完全性（3）兩兩互斥則稱A1,A2,···,An為等概基本事件組，若n為有限數(shù)，則稱此概率模型為古典概型。若則古典概型定義

例110個燈泡中有3個次品，現(xiàn)從中任取4個，求至少有2個次品的概率。解：設(shè)B={取出的4個燈泡中至少有2個次品}

A1={取出的4個燈泡中恰有2個次品}

A3={取出的4個燈泡中恰有3個次品}

因B=A1+A2

且A1A2=,所以，

P(B)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)10個燈泡中任取4個，沒有順序，應(yīng)是組合數(shù)分兩步，第1步3個次品中取2個；第2步7個正品中取2個

例2將張三、李四、王五三個等可能地分配到三間房中去，試求每一個房間恰有一人的概率。

解：首先將張三分配到三間房中的任意一間去，有3種分法；然后將李四分配到三間房中的任意一間去，也有3種分法；最后分王五，仍有3種分法。由乘法原理，共有3×3×3=33種分法。

設(shè)A={每個房間恰有一人}，首先分張三，有3種分法；再分李四時(shí)，只有兩間空房，故只有2種分法；最后一間空房分給王五，只有1種分法，由乘法原理，共有3×2×1=3！種分法。于是

解：首先將張三分配到三間房中的任意一間去，有3種分法；然后將李四分配到三間房中的任意一間去，也有3種分法；最后分王五，仍有3種分法。由乘法原理，共有3×3×3=33種分法。

設(shè)A={每個房間恰有一人}，首先分張三，有3種分法；再分李四時(shí)，只有兩間空房，故只有2種分法；最后一間空房分給王五，只有1種分法，由乘法原理，共有3×2×1=3！種分法。于是概率的運(yùn)算及法則B發(fā)生的條件下A發(fā)生加法乘法全概率A與B

獨(dú)立對于任意兩個集合A、B，有UBA證明：因A+B=A+(B-AB)且A(B-AB)=,

又AB

B,

所以,P(B-AB)=P(B)-P(AB)

從而,P(A+B)=P(A)+P(B-AB)

=P(A)+

P(B)-P(AB)加法公式及應(yīng)用例擲兩個均勻骰子,設(shè)A表示“第一個骰子出現(xiàn)奇數(shù)”,B表示“第二個骰子出現(xiàn)偶數(shù)”,求P(A+B)36

999一等品3件二等品4件次品3件例110件產(chǎn)品中，有次品3件，7件正品中有一等品3件、2等品4件，如圖求從10件中任取1件為一等品的概率？條件概率和乘法公式條件概率：事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率P(A|B)UBA乘法公式現(xiàn)在我們來解前例設(shè)：A={取到一等品}，B={取到正品}，則求從10件中任取1件為一等品的概率為P(A|B)例2已知100件產(chǎn)品中有4件次品，無放回地從中抽取2次，每次抽取1件，求下列事件的概率：（1）第一次取到次品，第二次取到正品；100件正品96件次

品

4

件（3）兩次抽取中恰有一

次取到正品。（2）兩次都取到正品：例2已知100件產(chǎn)品中有4件次品，無放回地從中抽取2次，每次抽取1件，求下列事件的概率：（3）兩次抽取中恰有一

次取到正品。設(shè)：A={第一次取到次品}，B={第二次取到正品}第一次取走1件次品，剩下只有99件（1）（2）第一次取走1件正品，剩下只有95件正品（3）兩次抽取中恰有一次取到正品，即是說：第一次取到次品而第二次取到正品（AB），或第一次取到正品而第二次取到次品（）兩次抽取中恰有一次取到正品，即是說：第一次取到次品而第二次取到正品（AB），或第一次取到正品而第二次取到次品（）理解：某一事件A發(fā)生有各種可能的原因Ai，如果A是原因Ai所引起的，則A發(fā)生的概率與P(AAi)有關(guān)，且等于它們的總和?！叭本褪恰翱偤汀钡囊馑?。設(shè)A1+A2+···+An=U,AiAj=,A

U,則

P(A)=P(Ai)P(A|Ai)全概率公式例某廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量外別占產(chǎn)量的15%,20%,30%,35%,各流水線的次品率分別為0.05,0.04,0.03,0.02從出廠

產(chǎn)品中隨機(jī)拙取一件，求此產(chǎn)品為次品的概率是多少?P(A1)

=15%P(A2)=20%P(A3)=30%P(A4)=40%A1A2A3A4解設(shè)A={任取一件產(chǎn)品為次品},Ai={任取一件產(chǎn)品是第條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品},

(i=1,2,3,4)獨(dú)立重復(fù)n次每次投中的概率每次未投

中的概率n次試驗(yàn)投中k次的概率結(jié)果只有中

A或未中貝努里概型例某種產(chǎn)品的次品率為5％，現(xiàn)從大批該產(chǎn)品中抽出