新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章 第13講 拓展六 泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 精講（學(xué)生版）

第13講拓展六：泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用超越不等式比較大小高頻考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式高頻考點(diǎn)三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、泰勒公式形式：泰勒公式是將一個(gè)在SKIPIF1<0處具有SKIPIF1<0階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法.若函數(shù)SKIPIF1<0在包含SKIPIF1<0的某個(gè)閉區(qū)間SKIPIF1<0上具有SKIPIF1<0階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間SKIPIF1<0上具有SKIPIF1<0階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0，成立下式：SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的SKIPIF1<0階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的泰勒展開式，剩余的SKIPIF1<0是泰勒公式的余項(xiàng)，是SKIPIF1<0的高階無窮小量.2、麥克勞林(Maclaurin)公式SKIPIF1<0雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取SKIPIF1<0的特殊結(jié)果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會(huì)涉及到.3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0（6）SKIPIF1<04、兩個(gè)超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）4.1對(duì)數(shù)型超越放縮：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0上式（1）中等號(hào)右邊只取第一項(xiàng)得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)論①用SKIPIF1<0替換上式結(jié)論①中的SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)論②對(duì)于結(jié)論②左右兩邊同乘“SKIPIF1<0”得SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0替換“SKIPIF1<0”得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0結(jié)論③4.2指數(shù)型超越放縮：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0上式（2）中等號(hào)右邊只取前2項(xiàng)得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)論①用SKIPIF1<0替換上式結(jié)論①中的SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)論②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)論③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)論④第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用超越不等式比較大小1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·安徽·毛坦廠中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（其中自然對(duì)數(shù)的底數(shù)SKIPIF1<0）則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南洛陽·高二期末（文））下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．A．0 B．1 C．2 D．35．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，給出以下結(jié)論，正確的個(gè)數(shù)是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③存在無窮多個(gè)SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．4 B．3 C．2 D．17．（2022·安徽·六安一中高二開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0高頻考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－SKIPIF1<0.(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝SKIPIF1<0，對(duì)?x1SKIPIF1<0(0，＋∞)，?x2SKIPIF1<0(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋…＋SKIPIF1<0(n∈N*，n≥2).2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.3．（2022·陜西咸陽·二模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)證明：SKIPIF1<0.4．（2022·陜西咸陽·二模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)證明：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0).5．（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，證明：SKIPIF1<0；(3)求證：對(duì)任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有：SKIPIF1<0…SKIPIF1<0．（其中SKIPIF1<0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）6．（2022·內(nèi)蒙古·元寶山平煤高中高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：SKIPIF1<0.7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；(2)證明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.高頻考點(diǎn)三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，證明：SKIPIF1<0.2．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．3．（2022·浙江省諸暨市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍：(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，記SKIPIF1<0，