專項07 相似、解直角三角形中的難點模型

專項07相似、解直角三角形中的難點模型類型一射影模型1.(2022福建漳州期末)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，AD=3，CD=4，則BD的長為()A.94 B.34 C.2.(2023安徽合肥包河期中)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，有下列條件：①∠A=∠BCD；②∠A+∠BCD=∠ADC；③BDCD=BCACA.0個 B.1個 C.2個 D.3個3.(2022四川廣元中考改編)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的☉O交AB于點D.若AD=4，BD=9，則☉O的半徑為.

類型二胡不歸模型專題解讀如圖，動點P在定直線上，求形如“PA+kPB”(0<k<1)型的最值(最小值)問題(A、B為定點，B在定直線MN上)，構(gòu)造射線BQ，使得sin∠QBN=k，作PC⊥BQ于C，可得PC=kPB，將問題轉(zhuǎn)化為求PA+PC的最小值.4.(2023安徽合肥一模)如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，AB=2，點E為BD上一動點，連接AE，則AE+12A.1 B.2 C.3 D.5.(2023山東濟寧任城期末)如圖，△ABC中，AB=AC=15，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+55A.35 B.65 C.53 D.6.(2023天津和平期末)如圖，?ABCD中∠A=60°，AB=6，AD=2，P為邊CD上一動點，則3PD+2PB的最小值為.類型三“12345”模型7.(2022山西大同三模)已知銳角α與β滿足tanα=12，tanβ=13，求α+β的度數(shù).小明經(jīng)過思考后，畫出如圖所示的網(wǎng)格并把α和β畫在網(wǎng)格中，連接AD得到△ABD，且AB=ADA.數(shù)形結(jié)合思想 B.分類思想 C.統(tǒng)計思想 D.方程思想8.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE=35，且∠ECF=45°，則CF的長為()A.210 B.35 C.539.(2023四川涼山州中考)閱讀材料：如圖①，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα=12，則tanβ=1證明：設(shè)BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易證△AEB≌△EFC(AAS)，∴EC=2k，CF=k，∴FD=k，AD=3k，∴tanβ=DFAD=k3k=13同理，當(dāng)α+β=45°時，若tanα=13，則tanβ=1根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖②，直線y=3x-9與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象交于點A，與x軸交于點B.直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后與y軸交于點E，過點A作AM⊥x軸于點M，過點A作AN⊥y軸于點N，(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出tan∠BAM、tan∠NAE的值；(3)求直線AE的解析式.類型四阿氏圓模型專題解讀如圖，動點P在定圓上，求形如“PA+kPB”(0<k<1)型的最值(最小值)問題(A、B為定點，定圓O的半徑r滿足r=kOB)，可在OB上取一點C，使得OCOP=OPOB=k，此時△OPC∽△OBP(母子型相似)，可得PC=kPB10.(2022河南南陽西峽期末)如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，點P是以A為圓心，以AE長為半徑的圓弧上的動點，則12PB+PC的最小值為11.如圖，四邊形ABCD為邊長為4的正方形，☉B(tài)的半徑為2，P是☉B(tài)上一動點，則PD+12PC的最小值為

專項07相似、解直角三角形中的難點模型答案全解全析A∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，∴△BDA∽△ADC，∴BDAD模型歸納如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，那么有：①CD2=AD·BD；②AC2=AB·AD；③BC2=AB·BD.2.D①∵∠A=∠BCD，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，故①符合題意；②條件不足，無法判定△ABC是直角三角形，故②不符合題意；③∵BD∶CD=BC∶AC，∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB，∴∠ACD=∠B，∵∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACB=90°，故③符合題意；④∵BC2=BD·BA，∴BCBA=BDBC，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD3.13解析如圖，連接CD，∵AC是☉O的直徑，∴∠ADC=90°，∵AD=4，BD=9，∴AB=AD+BD=4+9=13，∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，∴ACAD=ABAC，∴AC2=AD·AB=4×13=52，∴AC=2134.C如圖，過E作EM⊥BC于M，過A作AH⊥BC于H，交BD于E'.∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴∠EBM=30°，∴EM=12BE,∴AE+12BE=AE+EM，當(dāng)AE+12BE最小時，AE+EM最小，此時E與E'重合，M與H重合，則AE+12BE的最小值為AH的長度，在Rt△ABH中5.B如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE=2，∴設(shè)AE=a，BE=2a，則有152=a2+4a2，∴a2=45，∴a=35(舍負)，∴BE=2a=65，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=65，∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴△BHD∽△BEA，∴DHBD=AEAB=55,∴DH=55BD,∴CD+55BD=CD+DH，∵CD+DH≥CM6.63解析如圖，過點P作PH⊥AD，交AD的延長線于H，過點B作BN⊥AH于N，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠CDH=60°.∵HP⊥AD，∴∠DPH=30°，∴DH=12DP,HP=3DH=32DP,∵3PD+2PB=232PD+PB=2(HP+PB)，∴當(dāng)點H，點P，點B共線時，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，且最小值為2BN的值.∵BN⊥AH，7.A本題結(jié)合正切的定義，利用幾何網(wǎng)格圖進行分析，屬于數(shù)形結(jié)合思想.故選A.模型歸納α和β是兩個銳角，α+β=45°、tanα=12、tanβ=13中8.A解法一(利用“半角”模型)：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接CG，EF.四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，CB=CD,∠CBE=∠CDG,BE=DG,∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠BCE+∠DCF=45°，在△GCF與△ECF中，GC=EC,∠GCF=∠ECF,CF=CF,∴△GCF≌△ECF(SAS)，∴GF=EF，∵CE=35,CB=6,∴BE=CE2-CB2=解法二(利用“12345”模型)：∵CE=35,CB=6,∴BE=CE2-BC2=(35)2-62=3，∴tan∠BCE=9.解析(1)設(shè)A(t，3t-9)，則OM=t，AM=3t-9，∵OA=5，∴t2+(3t-9)2=52，解得t=4或t=1.4，∴A(4，3)或A(1.4，-4.8)(不合題意，舍去)，把A(4，3)代入y=mx，得3=m4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=12x(2)在y=3x-9中，令y=0，得0=3x-9，解得x=3，∴B(3，0)，∴OB=3.由(1)知A(4，3)，∴OM=4，AM=3，∴BM=OM-OB=4-3=1，∴tan∠BAM=BMAM∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°，∴∠MAN=90°，∵∠BAE=45°，∴∠BAM+∠NAE=45°.由當(dāng)α+β=45°時，若tanα=13，則tanβ=1tan∠NAE=12(3)由(2)知tan∠NAE=12∵A(4，3)，∴AN=4，ON=3，∴NE4=1∴OE=ON-NE=3-2=1，∴E(0，1)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，把A(4，3)，E(0，1)代入，得4∴直線AE的解析式為y=1210.17解析如圖，在AB上截取AQ=1，連接AP，PQ，CQ，∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，點P是以