數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解函數(shù)的單調(diào)性的概念．2．會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷和證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性．3．能從給定的函數(shù)圖象上直觀得出函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．4．掌握函數(shù)單調(diào)性的一些簡單應(yīng)用.1．函數(shù)單調(diào)性的概念一般地,設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域為A，區(qū)間M?A.如果取區(qū)間M中的任意兩個值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1＞0,則當(dāng)Δy＝f（x2）－f（x1)＞0時,就稱函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間M上是增函數(shù)，如圖（1）所示．圖(1)當(dāng)Δy＝f（x2）－f(x1）＜0時，就稱函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間M上是減函數(shù)，如圖(2)所示．圖(2）如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性（區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間）．思考1若把增、減函數(shù)定義中的“任意x1，x2"改為“存在x1，x2"可以嗎？提示:不可以，如圖：雖然Δx＝2－(－1）＞0，Δy＝f(2）－f（－1）＞0，但f（x)在[－1，2］上并不是單調(diào)函數(shù)．因此“任意”兩字不能忽視，更不能用“特殊”取代．為了方便也可將定義改為:如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1≠x2時，總有＞0（＜0)，那么就說函數(shù)f（x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)．思考2“函數(shù)y＝在區(qū)間（－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)"是否正確？提示：不正確,函數(shù)y＝的單調(diào)區(qū)間不能取并集,應(yīng)寫為（－∞，0)，(0，＋∞）或(－∞,0）和（0，＋∞）．思考3“函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減）區(qū)間是D”與“函數(shù)f（x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)"是否相同？提示:不相同．函數(shù)f（x)的單調(diào)增（減)區(qū)間是D，這一說法意味著除D之外，函數(shù)f（x)再無其他單調(diào)增（減)區(qū)間．函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增（減）函數(shù),則意味著區(qū)間D是函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減）區(qū)間的子區(qū)間，即除區(qū)間D外，函數(shù)f（x）還可能有其他的單調(diào)增(減)區(qū)間．2．判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間M上的單調(diào)性的一般步驟：(1）任取x1，x2∈M，且Δx＝x2－x1＞0；(2）作差：Δy＝f（x2）－f(x1)；(3）變形（通常所用的方法有：因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通