信息光學(xué)-第3章-標(biāo)量衍射的角譜理論

第三章標(biāo)量衍射理論概述信息光學(xué)為什么要研究光的傳播？

信息光學(xué)主要是研究光波作為載波，實(shí)現(xiàn)信息的傳遞、變換、記錄、和再現(xiàn)問題。這些研究問題都涉及對(duì)光的傳播規(guī)律的描述，所以要研究光的傳播規(guī)律。

光的傳播規(guī)律應(yīng)該用什么理論進(jìn)行描述？

在課程范疇內(nèi)，認(rèn)為光屬于電磁波，它的傳播規(guī)律是用電磁波理論來描述的。概述

什么是標(biāo)量衍射理論？光的衍射

幾何光學(xué)：不能用反射或折射來解釋的光線對(duì)直線光路的任何偏離。 信息光學(xué)：衍射是由光波的橫向?qū)挾仁艿较拗贫鸬?，?dāng)限制的尺度與所用的輻射波長(zhǎng)在一個(gè)量級(jí)時(shí)，衍射現(xiàn)象最顯著。光的標(biāo)量衍射理論的條件（1）衍射孔徑比波長(zhǎng)大很多；（2）觀察點(diǎn)離衍射孔不靠太近。 標(biāo)量衍射理論是一種近似理論，當(dāng)衍射場(chǎng)能量分布與光的偏振狀態(tài)密切相關(guān)時(shí)，必須采用矢量衍射理論。概述

標(biāo)量衍射理論的發(fā)展歷程1665年格里馬蒂首次報(bào)道和精確描述了衍射現(xiàn)象；1678年惠更斯提出子波的假設(shè)；1804年托馬斯楊認(rèn)為在適當(dāng)條件下，光與光干涉疊加可以產(chǎn)生暗斑；1818年菲涅耳引入干涉的概念補(bǔ)充了惠更斯原理；1860年麥克斯韋認(rèn)為光等同于一個(gè)電磁波；1882年基爾霍夫利用格林定理，采用球面波作為求解波動(dòng)方程的格林函數(shù)，導(dǎo)出了嚴(yán)格的標(biāo)量衍射公式；瑞利-索末菲公式的提出與完善。概述

本章主要研究?jī)?nèi)容和特點(diǎn)主要研究?jī)?nèi)容：

從基爾霍夫衍射理論和角譜衍射理論出發(fā)，討論衍射問題。特點(diǎn)：光的衍射將利用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行重新解釋；將衍射現(xiàn)象看做線性不變系統(tǒng)，分別討論光學(xué)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)。第三章標(biāo)量衍射的角譜理論光場(chǎng)隨時(shí)間的變化關(guān)系:由頻率n表征。單色光場(chǎng)中某點(diǎn)

P(x,y,z)在時(shí)刻t的光振動(dòng)可表為:可見光:

n

~1014Hz嚴(yán)格單色光:

n為常數(shù)光場(chǎng)隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在：

(1)空間各點(diǎn)的振幅可能不同(2)空間各點(diǎn)的初位相可能不同，由傳播引起。光場(chǎng)變化的空間周期為l。光場(chǎng)變化的時(shí)間周期為1/n。由于u(P,t)必須滿足波動(dòng)方程，可以導(dǎo)出a(P)、n、j(P)必須滿足的關(guān)系§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

一、光振動(dòng)的復(fù)振幅表示振幅初位相頻率§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

一、光振動(dòng)的復(fù)振幅表示光場(chǎng)隨時(shí)間的變化e

-j2pnt：

u(P,t) =a(P){cos[2pnt-j(P)]} =

e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hzn為常數(shù)，線性運(yùn)算后不變對(duì)于攜帶信息的光波，空間變化部分需要詳細(xì)分析。 故引入復(fù)振幅U(P):為了導(dǎo)出a(P)、n、j(P)必須滿足的關(guān)系，將光場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示，以利于簡(jiǎn)化運(yùn)算=

e{a(P)e

jj(P).

e

-j2pnt}復(fù)數(shù)表示有利于將時(shí)空變量分開U(P)=a(P)e

jj(P)則

u(P,t)=

e{

U(P)e

-j2pnt

}§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

一、光振動(dòng)的復(fù)振幅表示

U(P)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù)，描寫光場(chǎng)的空間分布，

與時(shí)間無關(guān)；U(P)=a(P)e

jj(P)U(P)同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的振幅

|U(P)|=|a(P)|

和相對(duì)位相

arg(U)=j(P)

方便運(yùn)算，滿足疊加原理

實(shí)際物理量是實(shí)量，要恢復(fù)為真實(shí)光振動(dòng)：

光強(qiáng)分布：I=UU*

光強(qiáng)是波印廷矢量的時(shí)間平均值，正比于電場(chǎng)振幅的平方

u(P,t)=

e{U(P)exp(-j2pnt)}

即可§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

一、光振動(dòng)的復(fù)振幅表示電磁波的傳播：電場(chǎng)和磁場(chǎng)緊密聯(lián)系，相互激發(fā)形成統(tǒng)一的場(chǎng)——電磁場(chǎng)，交變電磁場(chǎng)在空間以一定的速度由近及遠(yuǎn)的傳播形成電磁波。波動(dòng)方程：

波動(dòng)方程是線性的，也就是說滿足該方程的基本解的線性組合都是方程的解?？梢宰C明，球面波和平面波都是波動(dòng)方程的基本解。任何復(fù)雜的波都可以用球面波和平面波的線性組合表示，也都是波動(dòng)方程的解。

拉普拉斯算符傳播速度§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

一、光振動(dòng)的復(fù)振幅表示可導(dǎo)出復(fù)振幅滿足的方程為：將U(P)exp(j2pnt)代入波動(dòng)方程即亥姆霍茲（Helmholtz)方程

——不含時(shí)間變量的波動(dòng)方程

稱為波數(shù)或傳播常數(shù)，表示單位長(zhǎng)度上產(chǎn)生的相位變化

在自由空間傳播的任何單色光擾動(dòng)的復(fù)振幅都必須滿足亥姆霍茲方程。也就是說，可以用不含時(shí)間變量的復(fù)振幅分布完善地描述單色光波場(chǎng)。

§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

二、球面波的復(fù)振幅表示點(diǎn)光源或會(huì)聚中心球面波：等相面為球面，且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l

,為波數(shù)。表示由于波傳播,在單位長(zhǎng)度上引起的位相變化,也表明了光場(chǎng)變化的“空間頻率”(P(x,y,z))0zyx源點(diǎn)S(rk設(shè)觀察點(diǎn)P(x,y,z)與發(fā)散球面波中心的距離為r,k:傳播矢量球面波的等位相面：以S為中心的球面，r=const則P點(diǎn)處的復(fù)振幅：j(P)=k.rk:傳播矢量球面波:k//ra0:單位距離處的光振幅§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

二、球面波的復(fù)振幅表示

會(huì)聚球面波會(huì)聚球面波(P(x,y,z))會(huì)聚點(diǎn)S(r0zyxk§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

二、球面波的復(fù)振幅表示

球面波的空間分布距離r

的表達(dá)若球面波中心在原點(diǎn):

若球面波中心在

S(x0,y0,z0):P點(diǎn)處的復(fù)振幅:取決于k與r是平行還是反平行§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

二、球面波的復(fù)振幅表示

球面波在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為z軸，光沿z軸正方向傳播。所考察的平面垂直于z軸。令點(diǎn)光源位于z=0的平面上坐標(biāo)(x0,y0)處?？疾炫c其距離為z的x

-y平面上的光分布需要作近軸近似§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

二、球面波的復(fù)振幅表示

球面波：近軸近似只考慮x

-y平面上對(duì)源點(diǎn)S張角不大的范圍，即可以作泰勒展開(1+D)1/21+D/2一級(jí)近似二級(jí)近似對(duì)振幅中r

的可作一級(jí)近似。但因?yàn)閗很大，對(duì)位相中的r須作二級(jí)近似§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

二、球面波的復(fù)振幅表示--近軸近似已將球面波中心取在z=0的平面，且光波沿z

軸正方向傳播。如果

z>0，上式代表從S發(fā)散的球面波。如果z<0，上式代表向S會(huì)聚的球面波。對(duì)給定平面是常量隨x,y變化的二次位相因子球面波特征位相球面波中心在原點(diǎn)：x-y

平面上等位相線方程為:§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

三、平面波的復(fù)振幅表示等相面為平面，且這些平面垂直于光波傳播矢量

k。等相平面的法線方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦均為常量§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

三、平面波的復(fù)振幅表示等相面為平面，且這些平面垂直于光波傳播矢量

k。等相平面的法線方向

k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均為常量以

k表示的等相平面方程為

k

.r=const.故平面波復(fù)振幅表達(dá)式為：線性位相因子常量振幅§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

三、平面波的復(fù)振幅表示

平面波:在給定平面的分布在x-y平面上的等位相線

xcosa+ycosb

=const為平行直線族在與原點(diǎn)相距為z

的平面上考察平面波的復(fù)振幅:隨x,y線性變化的位相因子常數(shù)幅相因子,

A§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

三、平面波的復(fù)振幅表示－－平面波的空間頻率在與原點(diǎn)相距為z

的平面上考察平面波的位相分布。等位相線是平行直線族。為簡(jiǎn)單計(jì)，先看k在x-z平面內(nèi)：cosb

=0等位相面是平行于y軸的一系列平面，間隔為l復(fù)振幅分布:沿x方向的等相線間距：等位相面與x-z平面相交形成平行直線z等位相面與x-y平面相交形成平行于y軸的直線§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

三、平面波的復(fù)振幅表示－－平面波的空間頻率復(fù)振幅分布:定義復(fù)振幅分布在x方向的空間頻率：復(fù)振幅分布可改寫為:Y=∞，

fy=0對(duì)于在x-z平面內(nèi)傳播的平面波，在y方向上有：§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

三、平面波的復(fù)振幅表示

平面波的空間頻率一般情形定義:復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為平面波的空間頻率平面波在x和y方向的空間頻率分別為:cosa,cosb

為波矢的方向余弦若波矢在x-z

平面或y-z

平面中,

a(b)

又常用它們的余角qx

(qy)表示，故：引入空間頻率概念后，單色平面波在xy

平面的復(fù)振幅分布可以表示為光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念單位振幅的單色平面波，波矢量k與x軸夾角為30

，與y軸夾角為60。(1)畫出z=z1平面上間隔為2p的等相線族,并求出Tx、Ty、T和fx

、fy和f。(2)畫出y=y1平面上間隔為2p的等相線族,

并求出Tx、Tz

和fx

、fz.練習(xí)1光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念如果平面波傳播方向在xz平面(或yz平面),與z軸夾角為q，則此平面波復(fù)振幅沿x方向(或y方向)的空間頻率為:

光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念對(duì)于傳播方向與z軸夾角為-30

的情況，再解上題。練習(xí)

3振幅為1,波長(zhǎng)為l=500nm

的單色平面波，傳播方向在xz平面內(nèi)，并與z軸夾角為30

。寫出其復(fù)振幅表達(dá)式，并求出z=z1平面上復(fù)振幅在x方向和y方向的空間周期Tx和Ty，以及相應(yīng)的空間頻率fx

和fy.練習(xí)

2§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念空間頻率的單位:cm-1,mm-1,周/mm,條數(shù)/mm等空間頻率的正負(fù):表示傳播方向與x(或y)軸的夾角小于或大于90

在給定的座標(biāo)系,任意單色平面波有一組對(duì)應(yīng)的fx和fy,它僅決定于光波的波長(zhǎng)和傳播方向。反之,給定一組fx和fy,對(duì)于給定波長(zhǎng)的單色平面波就能確定其傳播方向cosa

=l,fx,cosb

=l,fy

要與光的時(shí)間頻率嚴(yán)格區(qū)分開空間比時(shí)間更具體，更直觀，是有形的如果在xy

平面上的復(fù)雜的復(fù)振幅分布可以分解為許多簡(jiǎn)單的周期分布，則復(fù)雜的光振動(dòng)可以分解成許多簡(jiǎn)單平面波的疊加。二維F.T.在光學(xué)上的意義:§3-1光波的數(shù)學(xué)描述

平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念這樣平面波的復(fù)振幅即平面波方程可以寫為：三個(gè)空間頻率不能相互獨(dú)立：因此

在任一距離z的平面上的復(fù)振幅分布，由在z=0平面上的復(fù)振幅和與傳播距離及方向有關(guān)的一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)的乘積給出。這說明了傳播過程對(duì)復(fù)振幅分布的影響，已經(jīng)在實(shí)質(zhì)上解決了最基礎(chǔ)的平面波衍射問題?！?-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

1、復(fù)振幅分布的角譜即:把U(x,y,z)看作不同空間頻率的一系列基元函數(shù)exp[j2p(fxx+fyy)]

之和,各分量的疊加權(quán)重是A(fx,fy,z)。稱為x-y平面上復(fù)振幅分布的頻譜

對(duì)在z處的x-y平面上單色光場(chǎng)的復(fù)振幅分布U(x,y,z)作傅里葉變換:

物理上，exp[j2p(fxx+fyy)]

代表傳播方向余弦為cosa=lfx,cosb=lfy

的單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布，U(x,y,z)是不同平面波分量分布的線性疊加。每個(gè)分量的相對(duì)振幅和初位相由頻譜A(fx,fy,z)決定。其逆變換為：§3-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

1、復(fù)振幅分布的角譜根據(jù)可將頻譜函數(shù)A(fx,fy,z)用表示各平面波傳播方向的角度為宗量：稱為xyz平面上復(fù)振幅分布的角譜，表示不同傳播方向(a,b)的單色平面波的振幅(|A|)和初位相(arg{A})角譜是xyz平面上復(fù)振幅分布U(x,y,z)的空間頻譜，其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示復(fù)振幅分布的角譜：例在x-y平面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布為余弦型:可以分解為：U(x,y)的空間頻譜函數(shù):U(x,y)的空間角譜函數(shù):§3-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

2、平面波角譜的傳播光場(chǎng)分布U0(x,y,0)光場(chǎng)分布U

(x,y,z)孔徑平面（z=0）P(x,y,0)觀察平面（z=z）P(x,y,z)U0(x,y,0)與U

(x,y,z)的關(guān)系如何？——傳播的問題先找到相應(yīng)的角譜A(fx,fy,0)和A(fx,fy,z)之間的關(guān)系——角譜的傳播角譜是xy平面上復(fù)振幅分布U(x,y)的空間頻譜，其空間頻率宗量用傳播矢量的方向余弦表示按角譜的觀點(diǎn)：孔徑平面和觀察平面上的光場(chǎng)，均看成許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合。每一平面波的相對(duì)振幅和位相取決于相應(yīng)的角譜2、平面波角譜的傳播

傳播現(xiàn)象作為線性空不變系統(tǒng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù):把光波的傳播現(xiàn)象看作一個(gè)帶寬有限的空間濾波器。在頻率平面上的半徑為1/l的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對(duì)各頻率分量的振幅沒有影響。但要引入與頻率有關(guān)的相移。在這一圓形區(qū)域外，傳遞函數(shù)為零。對(duì)空域中比波長(zhǎng)還要小的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或者說空間頻率大于1/l的信息，在不能沿z方向向前傳遞。光在自由空間傳播時(shí)，攜帶信息的能單色光照明下力是有限的?！?-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

3、衍射孔徑對(duì)角譜的作用孔徑的復(fù)振幅透過率：t(x0,y0)=1在∑內(nèi)0其它光場(chǎng)通過衍射屏后的變化：Ut(x0,y0)=Ui(x0,y0)t(x0,y0)角譜的變化：At(fx,fy)=Ai(fx,fy)

T(fx,fy)F.T.由于卷積運(yùn)算具有展寬帶寬的性質(zhì)，因此，引入衍射孔徑使入射光波在空間上受到限制，其效應(yīng)就是展寬了光波的角譜?！?-2復(fù)振幅分布的角譜及角譜的傳播

3、衍射孔徑對(duì)角譜的作用例:單位振幅平面波垂直入射照明一矩孔,求角譜的變化At(fx,fy)=d(fx,fy)

T(fx,fy)

=T(fx,fy)角譜展寬孔徑限制了入射波面的范圍，展寬了入射角譜故角譜的展寬就是在出射波增加了與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的波，這就是衍射波。Ai(fx,fy)=d(fx,fy)Ui(x0,y0)=1T(fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t(x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)(2)衍射理論要解決的問題是：光場(chǎng)中任意一點(diǎn)為P的復(fù)振幅U(P)能否用光場(chǎng)中各源點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來?！?-3標(biāo)量衍射的角譜理論衍射現(xiàn)象幾何陰影區(qū)平面波入射§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式

1.惠更斯包絡(luò)作圖法(1678)：從某一時(shí)刻的波陣面求下一時(shí)刻波陣面的方法。把波陣面上每一面元作為次級(jí)子波的中心，后一時(shí)刻的波陣面是所有這些子波的包絡(luò)面?；莞乖聿粌H能解釋光的反射和折射，也能預(yù)見光在通過簡(jiǎn)單孔徑時(shí)的衍射現(xiàn)象。但它只能判斷光的傳播方向，不能定量計(jì)算。衍射理論要解決的問題是：光場(chǎng)中任意一點(diǎn)為P的復(fù)振幅U(P)能否用光場(chǎng)中其它各點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來?！?-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式2.菲涅耳子波干涉說（1818）:子波間應(yīng)當(dāng)互相干涉，并且應(yīng)當(dāng)考慮不同方向子波的差異—惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理：波陣面上任意未受阻擋的點(diǎn),產(chǎn)生一個(gè)與原波頻率相同的子波.此后空間任何一點(diǎn)的光振動(dòng)是這些子波疊加的結(jié)果.其數(shù)學(xué)表述為：常數(shù)幅相因子傾斜因子球面子波表達(dá)式源點(diǎn)光擾動(dòng)U(P0)ds:球面子波的振幅相干疊加觀察點(diǎn)(場(chǎng)點(diǎn))復(fù)振幅

球面子波源§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式原波陣面源點(diǎn)處的面元法線場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離所考慮的傳播方向與面元法線的夾角源點(diǎn)成功:可計(jì)算簡(jiǎn)單孔徑的衍射圖樣強(qiáng)度分布。局限:難以確定K(q

)。無法引入-p/2的相移惠-菲原理基爾霍夫衍射公式基爾霍夫邊界條件§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式在單色點(diǎn)光源照明平面孔徑的情況下:∑P0nP’Prr'常數(shù)幅相因子1/jl自動(dòng)出現(xiàn)，K（q）函數(shù)形式確定§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式隨近似程度的不同,將衍射現(xiàn)象分為菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射。在傍軸近似下基爾霍夫衍射公式§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

1、從惠更斯-菲涅耳原理到基爾霍夫衍射公式

菲涅耳衍射公式略去(x-x0)/z和(y-y0)/z的二次以上的項(xiàng)，則在振幅部分取r的一級(jí)近似，位相因子用r的二級(jí)近似，代入基爾霍夫公式，即得菲涅耳衍射公式在菲涅耳衍射公式基礎(chǔ)上再做遠(yuǎn)場(chǎng)近似，可得夫瑯禾費(fèi)衍射公式?！?-3標(biāo)量衍射的角譜理論

2、基于平面波角譜的衍射理論從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題xyz平面的光場(chǎng)分布的角譜與x0y00平面角譜的關(guān)系（角譜傳播）：注意

fx=cosa

/l,fy=cosb

/l

，上式可寫為:這就是衍射現(xiàn)象的頻域（角譜）表達(dá)式。衍射現(xiàn)象的傳遞函數(shù)：§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

2、基于平面波角譜的衍射理論從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題xyz平面的光場(chǎng)分布按其角譜展開：xyz平面的光場(chǎng)分布的角譜與x0y00平面角譜的關(guān)系（角譜傳播）：綜合得到（注意fx=cosa

/l,fy=cosb

/l

）:§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

2、基于平面波角譜的衍射理論從頻域的角度即用平面波角譜方法來討論衍射問題xyz平面的光場(chǎng)分布與x0y00平面光場(chǎng)分布的關(guān)系：即為普遍的衍射公式。使用時(shí)需要化簡(jiǎn)。在不同的近似條件下，可以得到菲涅耳衍射公式和夫瑯禾費(fèi)衍射公式§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式近似條件：孔徑和觀察平面之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔徑的線度只對(duì)軸附近的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行觀察適合于菲涅耳衍射區(qū)§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式衍射公式變?yōu)椋豪酶咚购瘮?shù)的傅里葉變換和F.T.的縮放性質(zhì)：得到菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式：卷積形式菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：可以寫為：其中,脈沖響應(yīng)函數(shù)為:或?qū)懗删矸e式:§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式由菲涅耳衍射的空域表達(dá)式：把指數(shù)中的二次項(xiàng)展開，還可表示為

即為菲涅耳衍射的傅里葉變換表達(dá)式：§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

3、菲涅耳衍射公式：頻域形式由衍射現(xiàn)象的頻域（角譜）表達(dá)式：

衍射現(xiàn)象的傳遞函數(shù)：在菲涅耳近似下，傳遞函數(shù)可寫為:得到菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式：§3-3標(biāo)量衍射的角譜理論

菲涅耳衍射公式菲涅耳近似或傍軸近似條件:即觀察距離z滿足：孔徑的最大尺寸觀察的最大區(qū)域FresnelDiffraction:Summary

菲涅耳衍射的三種表示U(x0,y0)

*

hF

(x,y) = U(x,y)

F.T.F.T.F.T.A0(fx,fy)

HF(fx,fy) = A

(fx,fy)

F.T.表達(dá)

U(x,y)F.T.空域孔徑平面

脈沖響應(yīng)

觀察平面頻域菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為

式中，d為光柵周期，a>b>0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下列各數(shù)值時(shí)，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。（式中zT稱作泰伯距離）（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)：此傳遞函數(shù)對(duì)平面波分量只引起相移菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)解：采用菲涅耳衍射的頻域表達(dá)式輸入頻譜：菲涅耳衍射的傳遞函數(shù):此傳遞函數(shù)對(duì)平面波分量只引起相移輸出頻譜：故：菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)觀察平面的復(fù)振幅分布：在泰伯距離：與原物的復(fù)振幅分布只差一個(gè)常數(shù)位相因子——自成像像強(qiáng)度分布：與原物的強(qiáng)度分布完全相同菲涅耳衍射：例題—泰伯效應(yīng)思考:在兩個(gè)自成像位置的中間位置,光強(qiáng)度分布如何變化?自成像發(fā)生在泰伯距離的整數(shù)倍上。泰伯距離:原物：像：菲涅耳衍射：例題單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為a的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強(qiáng)度分布。提示:1.用F.T.表達(dá)式,并取x

=y

=0,2.用極坐標(biāo),積分可求出.圓孔的復(fù)振幅透過率軸上強(qiáng)度分布:取a=1mm,l=0.633mm,作出I(0,0)z隨z變化的曲線z/a>>1不滿足時(shí),菲涅耳近似失效。當(dāng)時(shí)，I(0,0)z=0為極小值當(dāng)時(shí),I(0,0)z=4為極大值m的最小值為0，當(dāng)時(shí)，過渡到夫瑯和費(fèi)近似?！?-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換1、夫瑯和費(fèi)衍射公式及其成立的條件此條件容易滿足。例如,

=632.8nm,Rmax=31mm

z>>1.2m菲涅耳衍射的F.T.表達(dá)式:上式成立的條件:如果進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)施加限制,

使得則衍射過渡到夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)d為孔徑的最大線度§3-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

夫瑯和費(fèi)衍射公式除了一個(gè)與傳播距離z及觀察面坐標(biāo)有關(guān)的位相因子以外，在給定距離z的平面上衍射場(chǎng)的分布正比于衍射屏透射光場(chǎng)的傅里葉變換，其振幅及變換的尺度與距離z有關(guān)。衍射圖樣及光強(qiáng)的分布正比于孔徑透射函數(shù)的功率譜:§3-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

夫瑯和費(fèi)衍射公式:討論夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)的條件苛刻例:

=632.8nm,Rmax=31mm

菲涅耳衍射區(qū)z>>1.2m

夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)要求z>>6.3m

=532nm，夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)要求z>>7.5m與菲涅耳衍射的關(guān)系菲涅耳衍射區(qū)包括了夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)夫瑯和費(fèi)衍射是菲涅耳衍射的進(jìn)一步近似§3-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

2、一些簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射照明條件：振幅為A的單色平面波垂直照明孔徑：復(fù)振幅透過率

孔徑函數(shù)的頻譜

t(x0,y0)

T(fx,fy)F.T.屏后光場(chǎng)復(fù)振幅U(x0,y0)=A

t(x0,y0)衍射公式(觀察面的光場(chǎng)分布)：我們更關(guān)心衍射圖樣的強(qiáng)度分布：§3-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：圓孔AiryPattern第一暗環(huán)半徑：Dr2pa/lz=3.83,Dr=0.61lz/a

Dr/z=0.61l/a方向嚴(yán)格沿z方向傳播的無窮大平面波，在受到孔徑限制后，角度展寬為q=0.61l/a?？讖皆叫?，角度展寬越大。§3-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：矩孔ax/lzI/I(0)01-11中央亮斑寬度:Dx

=2lz/a,Dy

=2lz/b∴x,y方向的角展寬:與圓孔數(shù)量級(jí)相同?？壮叽缭叫。钦箤捲酱笕鬮>>a,成為單縫，可僅作一維處理§3-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換

簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射：雙縫fxasinc(afx)01/aa*

F.T.F.T.F.T.rect(x0/a)0a/2-a/21x00d/2-d/2d(x0-d/2)+d(x0-d/2)1x01x0t(x0)0d/2-d/22cos(pfxd)f02雙縫的頻譜是兩個(gè)單縫的頻譜以一定的位相關(guān)系互相干涉的結(jié)果§3-4夫瑯禾費(fèi)衍射與傅里葉變換衍射光柵（線光柵）有限縫數(shù)的線光柵復(fù)振幅透過率函數(shù)：?jiǎn)蝹€(gè)狹縫有限尺寸陣列函數(shù)觀察面上的復(fù)振幅分布(忽略了常數(shù)幅相因子)