2025屆湖南省邵陽(yáng)市邵東縣第三中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆湖南省邵陽(yáng)市邵東縣第三中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．4．已知雙曲線(xiàn)的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．6．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（）A． B． C． D．7．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A． B．C． D．8．已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．10．若，，則的值為（）A． B． C． D．11．一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球（除顏色外無(wú)區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．12．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，線(xiàn)段與交于點(diǎn).若，則的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓，，若橢圓上存在點(diǎn)使得為等邊三角形（為原點(diǎn)），則橢圓的離心率為_(kāi)________．14．已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0，b>0)與拋物線(xiàn)y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|FP|=5，則點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)____.15．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足公比，為其前項(xiàng)和，，，構(gòu)成等差數(shù)列，則_______．16．圓心在曲線(xiàn)上的圓中，存在與直線(xiàn)相切且面積為的圓，則當(dāng)取最大值時(shí)，該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）已知外接圓半徑,求的周長(zhǎng).18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M、N兩點(diǎn)。（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程：（2）若成等比數(shù)列，求a的值。19．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．20．（12分）如圖，過(guò)點(diǎn)且平行與x軸的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)M且斜率為正的直線(xiàn)交橢圓于段C、D，直線(xiàn)AC、BD分別交直線(xiàn)于點(diǎn)E、F，求證：是定值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人（大小不計(jì)）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度,例如：該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置．記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為．（1）分別求、、的值；（2）求的表達(dá)式．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)和交點(diǎn)的交點(diǎn)為，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個(gè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)椋?，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

對(duì)分類(lèi)討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.4、A【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】解：由雙曲線(xiàn)可知，焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，由于焦距是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.5、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，，解得故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線(xiàn)，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.7、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，故選C．8、A【解析】

畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案．【詳解】畫(huà)出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)，化為直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題．其中解答中正確畫(huà)出不等式組表示的可行域，利用“一畫(huà)、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過(guò)某一點(diǎn)曲線(xiàn)切線(xiàn)斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為：原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知，直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過(guò)點(diǎn)的曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題；涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線(xiàn)切線(xiàn)斜率的求解問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱(chēng)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)確定直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解.10、A【解析】

取，得到，取，則，計(jì)算得到答案.【詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.11、A【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程，求出參數(shù)m的值，再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得，將其代入橢圓方程得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬于中檔題.14、【解析】

設(shè)點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)定義知，，求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程得到的關(guān)系式，求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2=8x上，|FP|=5，設(shè)點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線(xiàn)-=1，得-=1，又因?yàn)閍2+b2=4，解得a=1，b=，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±x，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程及其幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.15、0【解析】

利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由，，是等差數(shù)列可知因?yàn)?，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意可得圓的面積求出圓的半徑，由圓心在曲線(xiàn)上，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)，到直線(xiàn)的距離等于半徑，再由均值不等式可得的最大值時(shí)圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，由題意設(shè)圓心，由題意可得，由直線(xiàn)與圓相切可得，所以，而，，所以，即，解得，所以的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可得，所以圓心坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及均值不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意驗(yàn)正等號(hào)成立的條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)整理并結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周長(zhǎng)．【詳解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周長(zhǎng)a+b+c=3+3．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18、（1）l的普通方程；C的直角坐標(biāo)方程；（2）.【解析】

（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用消去參數(shù)即可得到直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線(xiàn)的參數(shù)方程，代入曲線(xiàn)的方程，利用參數(shù)的幾何意義即可得出，從而建立關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】（1）由直線(xiàn)l的參數(shù)方程消去參數(shù)t得,，即為l的普通方程由，兩邊乘以得為C的直角坐標(biāo)方程.（2）將代入拋物線(xiàn)得由已知成等比數(shù)列，即，，，整理得（舍去）或.【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線(xiàn)的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．19、（1）a＝1；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值，分別求得x的范圍即可求出a的值．（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式，基本不等式證得f（x）≥2．．【詳解】（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），當(dāng)x≥a時(shí)，x﹣a≥4x，解得x，這與x≥a＞0矛盾，故不成立，當(dāng)x＜a時(shí)，a﹣x≥4x，解得x，又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝1．（2）證明：f（x）＝|x﹣a|+|x||x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，∴|a|＝a22，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)，故f（x）．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，基本不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）由題意求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程，可得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出的坐標(biāo)，分別求出直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程，從而求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系可化簡(jiǎn)證得為定值.【詳解】（1）由已知可得：，代入橢圓方程得：橢圓方程為；（2）設(shè)直線(xiàn)CD的方程為，代入，得：設(shè)，，則有，則AC的方程為，令，得BD的方程為，令，得，證畢.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考