第六章 圖形的相似（壓軸14題專練）

第六章圖形的相似（壓軸題專練）一、動點相似問題1．如圖，在中，，，，動點P從點B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動，同時動點Q從點B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動．設的面積為，運動時間為，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關系的是（

）

A． B．C． D．

2．如圖，已知矩形，長，寬，P、Q分別是、上運動的兩點．若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿方向運動，則經(jīng)過秒，以P、B、Q為頂點的三角形與相似．

3．如圖，在菱形中，，動點從點出發(fā)，沿以每秒個單位的速度運動，到達點停止運動，過點作，設點的運動時間為，點到的距離為．

(1)直接寫出與的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)在給出的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)___________；(3)根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出不等式的解集是___________．二、格點問題4．在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個），這樣的格點三角形一共有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個5．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，C為格點，點B為所在小正方形邊長的中點．（1）BC的長為；（2）若點M和N在邊BC上，且，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺作圖，并簡要說明點M和N的位置是如何找到的（不要求證明）．6．圖、圖均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留適當?shù)淖鲌D痕跡．

(1)在圖中的線段上找一點，連接，使．(2)在圖中的線段上找一點，連接，使．(3)在圖中的線段上找一點，連接，使．7．如圖，在長方形的網(wǎng)格中，每個小正方形邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，C都為格點，請分別僅用一把無刻度的直尺畫圖：(1)直接寫出的形狀___________；(2)在圖1作出邊上的高；(3)P為格點，在圖2中作，且，若繞某一點旋轉(zhuǎn)得到，在圖中標出旋轉(zhuǎn)中心O．8．如圖是由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格，各個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的頂點在格點上，邊BC上的點D也是一個格點．僅用無刻度的直尺在定網(wǎng)格中畫圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．(1)在圖1中，先畫出AC的平行線DE交AB邊于點E，可在BC邊上畫點F，使；(2)在圖2中，先在邊AB找點M，使△MDC與△MAC的面積相等，再在AC上畫點N，使△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一．相似綜合壓軸題9．如圖，點為正方形邊上的一個動點（點不與點、點重合），連接，作關于的對稱點，連接交于點，作的角平分線交射線于點，交于點，連接，則下列結論：①；②；③為定值；④當為中點時，．其中結論正確的有．

10．圖，矩形中，點P在邊上，并且與C、D不重合，過點A作的垂線與的延長線相交于點Q，連接，M為的中點．

(1)求證：；(2)若，點P在邊CD上運動，設，①點M恰好在線段上時，試求x的值；②設，試求y與x的函數(shù)關系式，并求線段長的最小值．11．如圖，在中，，，，點，分別在，上，，．把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，點落在線段上．(1)求證：；(2)若點在的平分線上，求的長；(3)①當點落在上時，則的長為___________；②設與重疊部分面積為，試求關于的函數(shù)關系式．12．如圖1，在中，，，垂足為點．過點作射線，點是邊上任意一點，連接并延長與射線相交于點，設、兩點間的距離為．

(1)如圖2，如果四邊形是平行四邊形，求的值．(2)過點作直線的垂線，垂足為，當為何值時，與相似？(3)設的面積為，求關于的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．13．如圖，點E為矩形ABCD中AD邊中點，將矩形ABCD沿CE折疊，使點D落在矩形內(nèi)部的點F處，延長CF交AB于點G，連接AF．（1）求證：AF∥CE；（2）探究線段AF，EF，EC之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若BC＝6，BG＝8，求AF的長．14．如圖，在邊長為9的正方形中，動點E、F分別在邊、上，將正方形沿直線折疊，使點B的對應點始終落在邊上（點不與點A、D重合），點C落在點處，與交于點P，連接，作點H．

(1)感知：①當時，的大小為________．②求的長．(2)探究：當在邊上位置變化時，的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值．(3)應用：若，直接寫出五邊形的周長．

第六章圖形的相似（壓軸題專練）一、動點相似問題1．如圖，在中，，，，動點P從點B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動，同時動點Q從點B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動．設的面積為，運動時間為，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)題意，進行分類討論：當點P在上時，，根據(jù)，得出；當點P在上時，過點P作于點H，易證，得出，根據(jù)，即可得出．【詳解】解：∵，，，∴，∴點P經(jīng)過的路程為：，點Q經(jīng)過的路程為，∴點P到達點C時間為，點Q到達點C時間為，即點P和點Q同時到達點C，當點P在上時，，

，即，當點P在上時，過點P作于點H，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，整理得：，∴，即，

綜上：當點P在上時，，是開口向上的二次函數(shù)；當點P在上時，，是開口向下的二次函數(shù)，故選：B．2．如圖，已知矩形，長，寬，P、Q分別是、上運動的兩點．若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿方向運動，則經(jīng)過秒，以P、B、Q為頂點的三角形與相似．

【答案】或【分析】要使以P、B、Q為頂點的三角形與相似，則要分兩種情況進行分析．分別是或，利用相似的性質(zhì)得出比例線段并建立方程即可．【詳解】解：設經(jīng)x秒后，以P、B、Q為頂點的三角形與相似，則，，∴，∵四邊形是矩形，∴，，，

①當時，有，∴，即，解得；②當時，有，∴，即，解得，∴經(jīng)過2秒或秒時,以P、B、Q為頂點的三角形與相似．故答案為：2或．3．如圖，在菱形中，，動點從點出發(fā)，沿以每秒個單位的速度運動，到達點停止運動，過點作，設點的運動時間為，點到的距離為．

(1)直接寫出與的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)在給出的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)___________；(3)根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出不等式的解集是___________．【答案】(1)，(2)畫圖見解析，圖象關于直線對稱，(3)或．【分析】（）連接與交于點，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，利用勾股定理求出的長，最后通過相似三角形的性質(zhì)即可求解．（）根據(jù)畫圖象的方法即可求解；（）根據(jù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接與交于點，，∵四邊形是菱形，∴，，，，∴，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∴，∴，∵,∴，∴，∴，同理：當在上時，故答案為：，（2）畫圖如下：

根據(jù)圖象可知：圖象關于直線對稱，（3）解：如圖，

當時，，解得：，，解得：，當時∴或，故答案為：或．二、格點問題4．在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．如圖，△ABC是格點三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點三角形△ADE只算一個），這樣的格點三角形一共有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】C【分析】根據(jù)題意，得出ABC的三邊之比，并在直角坐標系中找出與ABC各邊長成比例的相似三角形，并在直角坐標系中無一遺漏地表示出來．【詳解】解：ABC的三邊之比為，如圖所示，可能出現(xiàn)的相似三角形共有以下六種情況：所以使得△ADE∽△ABC的格點三角形一共有6個，故選：C．5．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A，C為格點，點B為所在小正方形邊長的中點．（1）BC的長為；（2）若點M和N在邊BC上，且，請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺作圖，并簡要說明點M和N的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】取格點G、H，分別連結AG、AH交邊BC于點M、點N，即為所求【分析】（1）格點C向下平移，格點B向右平移，交點處為直角三角形的直角頂點，用勾股定理計算即可；（2）根據(jù)三角形全等，三角形相似的思想，分別取格點G、H，分別連結AG、AH交邊BC于點M、點N，即為所求【詳解】（1）根據(jù)題意，得BC==；（2）根據(jù)三角形全等，取格點G，連接AG交BC于點M，利用三角形相似，取格點H，連接AH，交BC于點N，則M，N為所求．理由如下：∵CF=AE=3，AF=EG=1，∠F=∠E=90°，∴△AFC≌△GEA，∴AC=GA，∠FCA=∠EAG，∵CF∥AP，∴∠FCA=∠CAP=∠EAG，∵∠FAC+∠FCA=90°，∴∠FAC+∠GAE=90°，∴∠GAC=90°，連接HC,HG，則HC=HG=，CR=HT=2，GT=HR=1，∴△HRC≌△GTH，∴∠GHT=∠HCR，∵∠RHC+∠HCR=90°，∴∠RHC+∠GHT=90°，∴∠RHC+∠GHT+∠THR=180°，∴C，H，G三點共線，∵AG=AC，HG=HC，∴∠MAN=∠NAC==45°，∵AQ：QB=2,AP：PH=2,∠AQB=∠APH=90°，∴△BAQ∽△HAP,∴∠BAQ=∠HAP，∴∠BAQ+∠EAG=∠HAP+∠FCA，∴∠BAM=∠NAC=45°，∴．6．圖、圖均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留適當?shù)淖鲌D痕跡．

(1)在圖中的線段上找一點，連接，使．(2)在圖中的線段上找一點，連接，使．(3)在圖中的線段上找一點，連接，使．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格在圖中的線段上找中點，連接，即可使；（2）結合（1）在圖中的線段上找一點，連接，，即可使；（3）在圖中的線段上找一點，連接，根據(jù)網(wǎng)格可得，所以，即可使．【詳解】（1）解：如圖，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴點即為所求；

（2）解：如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，則，由（1）可知，，∴，∴，∴點即為所求；

（3）解：如圖，∵，∴，∴，∴，∵，∴．∴點即為所求；

7．如圖，在長方形的網(wǎng)格中，每個小正方形邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，C都為格點，請分別僅用一把無刻度的直尺畫圖：(1)直接寫出的形狀___________；(2)在圖1作出邊上的高；(3)P為格點，在圖2中作，且，若繞某一點旋轉(zhuǎn)得到，在圖中標出旋轉(zhuǎn)中心O．【答案】(1)等腰三角形(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由勾股定理求出、、長，即可求解；（2）作，使，，再作即可；（3）利用格點作出線段，分別作及中點連線的中垂線，即可交于點O．【詳解】（1）解：由勾股定理，得，，，，是等腰三角形；（2）解：如圖所示，即為所要畫的．（3）解：如圖，和點O即為所要畫的．8．如圖是由邊長為1的小正方形構成的網(wǎng)格，各個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的頂點在格點上，邊BC上的點D也是一個格點．僅用無刻度的直尺在定網(wǎng)格中畫圖．畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．(1)在圖1中，先畫出AC的平行線DE交AB邊于點E，可在BC邊上畫點F，使；(2)在圖2中，先在邊AB找點M，使△MDC與△MAC的面積相等，再在AC上畫點N，使△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)格點特點畫出AC的平行線即可；根據(jù)格點特點作MA⊥AC，連接MC，則△AMC為等腰直角三角形，連接MC、NB，MC與NB交于點O，根據(jù)矩形性質(zhì)可知，O為MC的中點，連接AO，則AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延長AO，與BC交于一點，即為點F；（2）連接AD，則AD正好過格點O，連接CO，并延長與AB交于一點M，連接MD，此時△MDC與△MAC的面積相等；連接PQ，交BC于點G，連接GH，交AC于點N，連接DN，則△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一．【詳解】（1）解：根據(jù)格點特點連接GD，則GD∥AC，GD與AB的交點即為E點；根據(jù)格點特點作MA⊥AC，連接MC，則△AMC為等腰直角三角形，連接MC、NB，MC與NB交于點O，根據(jù)矩形性質(zhì)可知：O為MC的中點，連接AO，∵AM=AC，∴AO平分∠MAC，∴∠OAC=45°，∴延長AO，與BC交于一點，即為點F，，∠ACB=∠ACF，∴△ACF∽△BCA．（2）連接AD，則AD正好過格點O，連接CO，并延長與AB交于一點M，連接MD，此時△MDC與△MAC的面積相等；∵AC=DC，O為AD的中點，∴CM平分∠ACD，∴點M到AC，CD的距離相等，∴△MDC與△MAC的面積相等；連接PQ，交BC于點G，連接GH，交AC于點N，連接DN，則△CDN的面積是△ABC的面積的三分之一；∵在△PBG和△QCG中，∴，∴，∴CG=，∵AH∥GC，，，設△GCN邊CG上的高為h1，△HAN邊AH上的高為h2，則，∵，∴，∴，∵，∴．相似綜合壓軸題9．如圖，點為正方形邊上的一個動點（點不與點、點重合），連接，作關于的對稱點，連接交于點，作的角平分線交射線于點，交于點，連接，則下列結論：①；②；③為定值；④當為中點時，．其中結論正確的有．

【答案】①②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，軸對稱的性質(zhì)，即可判斷①，證明，即可判斷③，過點作于點，證明，可得，即可證明共圓，根據(jù)圓周角定理可得，進而即可得出是等腰直角三角形，即可判斷②；證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可判斷④．【詳解】由對稱可得：，∵四邊形為正方形，∴，∵平分，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，故①正確；∴，∴，故③正確；如圖所示，過點作于點，

∵，∴又∵∴∴∵∴如圖所示，連接

則共圓，∴∴是等腰直角三角形，∴∵，則，故②正確；如圖所示，當為的中點時，

∵∴，又∵∴，∴由（2）可得，當為的中點時，設，則，∴，∴，∴故④正確，故答案為：①②③④．10．圖，矩形中，點P在邊上，并且與C、D不重合，過點A作的垂線與的延長線相交于點Q，連接，M為的中點．

(1)求證：；(2)若，點P在邊CD上運動，設，①點M恰好在線段上時，試求x的值；②設，試求y與x的函數(shù)關系式，并求線段長的最小值．【答案】(1)見解析(2)①；②；的最小值為【分析】（1）由進行轉(zhuǎn)換，即可求證．（2）①由，得，再由，M為的中點進而可求．②過點M作，垂足為點N，由為的中位線，得，進而得，，將數(shù)據(jù)代入，進而可求解．【詳解】（1）解：證明：如圖，∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．

（2）①∵，∴，∵，∴，又∵，∴，當點M恰好在線段上時如圖，∵，又∵M為的中點．∴，∴，∴．

②過點M作，垂足為點N，如圖，∵M為的中點．∴為的中位線，∴，又∵，則，∴，，∴在中，，即：，∵，∴有最小值，即當時，，∴的最小值為．

11．如圖，在中，，，，點，分別在，上，，．把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，點落在線段上．(1)求證：；(2)若點在的平分線上，求的長；(3)①當點落在上時，則的長為___________；②設與重疊部分面積為，試求關于的函數(shù)關系式．【答案】(1)見解析(2)(3)①，②【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)計算可知，結合定理兩邊成比例且夾角相等的三角形相似證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，由此可得出；（2）連接，根據(jù)和點在的平分線上可證，由此可得＝，分別表示和由此可得方程，解出，即可求出；（3）①當點在上時，得出，則，解方程，即可求解；②當＜時，根據(jù)，即可求解；當＜＜時，設交于點，交于，作，垂足為，可得，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進而表示出，即可求解．【詳解】（1）證明：在中，，，，，把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，，，，（2）連接，

，．點在的平分線上，，，．在中，，，．，，，．（3）①當點在上時，，，，把繞點旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，②解：當點在上時，由①知，．當時，；當時，設交于點，交于，作，垂足為，，，，，，，，∴，．綜上所述，S=．

12．如圖1，在中，，，垂足為點．過點作射線，點是邊上任意一點，連接并延長與射線相交于點，設、兩點間的距離為．

(1)如圖2，如果四邊形是平行四邊形，求的值．(2)過點作直線的垂線，垂足為，當為何值時，與相似？(3)設的面積為，求關于的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．【答案】(1)(2)當，或時，與相似(3)【分析】（1）首先根據(jù)等腰三角形的三線合一定理，得到再由相似三角形的判定，得到比例線段，問題即可得解；（2）分情況當或5時易證及，當時，根據(jù)相似的性質(zhì)然后可求得的長；（3）首先證明，再根據(jù)，得到，根據(jù)勾股定理求出的長，即可得到的面積，因為，所以，根據(jù)即可求出最后結果．【詳解】（1）解：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，；（2）如圖，當時，即與重合時，，

此時，，；如圖，當時，即與重合時，，

，，；如圖，當時，，且，相似只有一種，即，，，，，，，，，，，即，當，或時，與相似；（3）如圖，，，，，，在中，，，，，，，，即．13．如圖，點E為矩形ABCD中AD邊中點，將矩形ABCD沿CE折疊，使點D落在矩形內(nèi)部的點F處，延長CF交AB于點G，連接AF．（1）求證：AF∥CE；（2）探究線段AF，EF，EC之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）若BC＝6，BG＝8，求AF的長．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）【詳解】（1）由對稱的性質(zhì)可得出相等的邊與角，通過等腰三角形的性質(zhì)及等量代換可得出∠EAF＝∠DEC，即可證明AF∥CE；（2）連接DF，證△AFD、△EDC相似，根據(jù)相似的性質(zhì)可推出線段AF，EF，EC之間的數(shù)量關系；（3）根據(jù)（2）中的數(shù)量關系：，先求出EC、EF的長，進而可求出AF的長.（1）證明：由折疊矩形ABCD可得，EF＝ED，CF＝CD∠DEC＝∠FEC，∠EFG＝∠EFC＝∠EDC＝90°∵點E為AD的中點∴AE＝ED＝EF∴∠EAF＝∠EFA∵∠DEF＝∠EAF＋∠EFA＝∠DEC＋∠FEC∴∠EAF＝∠DEC∴A