30.3 由不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù) 同步練習(xí)

第三十章二次函數(shù)30.3由不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式1.已知三點(diǎn)(-1，6)、(0，3)、(1，2)，由這三點(diǎn)所確定的二次函數(shù)表達(dá)式是()A.y=2x2+3x-1 B.y=x2+4x C.y=x2-2x+3 D.y=2x2+4x+32.如圖，拋物線的表達(dá)式是()A.y=x2-x+2 B.y=x2+x+2 C.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x+23.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，則下列判斷不正確的是()x-2-1012y-2.501.521.5A.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大 B.當(dāng)x=4時(shí)，y=-2C.其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2) D.a=-12，c=4.如圖，拋物線C1：y=-x2+3x+4與拋物線C2：y=ax2+bx+c組成一個(gè)開口向下的“月牙”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A，B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè))，與y軸的交點(diǎn)分別為C，D.如果AD=2OD，那么拋物線C2的表達(dá)式是能力提升全練5.(2023廣東中考)如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為()A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 6.(2023廣東汕頭一模)拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(-1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，交y軸的負(fù)半軸于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D點(diǎn).有下列結(jié)論：①2a+b<0；②2c>3b；③3a+2b+c>0；④當(dāng)△ABD是等邊三角形時(shí)，拋物線解析式為y=32x2-3x-332A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.(2023浙江杭州中考)設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a≠0，b是實(shí)數(shù)).已知函數(shù)值y和自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…-10123…y…m1n1p…(1)若m=4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減??；(2)若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍.8.(2023河北石家莊橋西質(zhì)檢)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線P：y=-x2+bx+c與x軸相交于A(-3，0)，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，3).(1)求拋物線P的解析式；(2)如圖2，拋物線P的頂點(diǎn)為D，連接DA，DC，AC，BC，求證：△ACD∽△COB；(3)如圖3，坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出拋物線P的一段記為P'，將該膠片向下平移h(h≠0)個(gè)單位長(zhǎng)度，使拋物線P'與△OAC三條邊有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出h的取值范圍. 素養(yǎng)探究全練9.(2022湖南衡陽中考)如圖，已知拋物線y=x2-x-2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖像記為“圖像W”，圖像W交y軸于點(diǎn)C.(1)寫出圖像W位于線段AB上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y=-x+b與圖像W有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖像，直接寫出b值；(3)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖像W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第三十章二次函數(shù)30.3由不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C把點(diǎn)(-1，6)、(0，3)、(1，2)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a-b+c=6,c=3,方法解讀已知三點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式的方法叫做一般式法.其步驟如下：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)；②三點(diǎn)坐標(biāo)代入后得到一個(gè)三元一次方程組；③解方程組得到a，b，c的值；④寫出函數(shù)表達(dá)式.2.D解法一：根據(jù)題意，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)，拋物線過點(diǎn)(-1，0)，(0，2)，(2，0)，所以a-b所以這個(gè)拋物線的表達(dá)式為y=-x2+x+2.解法二：根據(jù)題意，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+1)·(x-2)(a≠0)，把(0，2)代入上式，得2=a(0+1)·(0-2)，解得a=-1，所以這個(gè)拋物線的表達(dá)式為y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.故選D.3.B把x=?1,y=0,x=0,y∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式為y=-12x2+x+32=-12(x-1)∴其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，選項(xiàng)C、D正確，不符合題意；∵a=-12，∴函數(shù)圖像開口向下，∴x<1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴x<0時(shí)，y隨x的增大而增大，選項(xiàng)A正確，不符合題意當(dāng)x=4時(shí)，y=-12×(4-1)2+2=-2.5，選項(xiàng)B不正確，4.y=-14x2+3解析令-x2+3x+4=0，解得x1=-1，x2=4，∴A(-1，0)，B(4，0)，∴OA=1.在Rt△ADO中，∵AD=2OD，∴OD=OA=1，解法一：將A(-1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線C2的表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+1中，得a-b+1=0,16a+4b+1=0,解得a=?解法二：由拋物線C2過x軸上A，B兩點(diǎn)，設(shè)拋物線C2的另一個(gè)表達(dá)式為y=a(x+1)(x-4)=ax2-3ax-4a，∴-4a=c=1，∴a=-14，∴拋物線C2的表達(dá)式是y=-14x2+能力提升全練5.B本題綜合考查了正方形的性質(zhì)和求拋物線的系數(shù).連接AC，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即OB=c，∵四邊形OABC是正方形，∴AC=OB=2AD=2OD=c，AC⊥OB，∴Ac2,c2，∴c2=a×c24+c(*).由圖可知a<0，6.A本題結(jié)論④結(jié)合解直角三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入解析式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系求拋物線解析式.∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)是A(-1，0)，B(3，0)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1+32=1∴-b2a=1，∴b=-2a，即2a+b=0，∵A(-1，0)在拋物線上，∴a-b+c=0，∴a-(-2a)+c=0，∴c=-3a，∴2c=-6a=3b，故②錯(cuò)誤；3a+2b+c=3a+2(-2a)+(-3a)=-4a，∵拋物線開口向上，∴a>0，∴3a+2b+c=-4a<0，故③錯(cuò)誤；當(dāng)△ABD是等邊三角形時(shí)，如圖，過D點(diǎn)作DH⊥x軸于H點(diǎn)，則∠HBD=60°，又∵HB=AH=2，∴H(1，0)，HD=HB·tan∠HBD=2×tan60°=23，∴D(1，-23).將D點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，得a+b+c=-23，又b=-2a，c=-3a，∴a+(-2a)+(-3a)=-23，∴a=32，∴b=-3，c=-332，∴拋物線解析式為y=32x2-3x-332，故④正確.綜上所述7.解析(1)①把(-1，4)，(2，1)代入y=ax2+bx+1，得a-b∴y=x2-2x+1.②∵點(diǎn)(0，1)，(2，1)在y=ax2+bx+1的圖像上，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=0+22=1又∵a=1>0，∴當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減小，故此小問答案不唯一，所給范圍在x<1范圍內(nèi)即可.(2)把(2，1)代入y=ax2+bx+1，得1=4a+2b+1，∴b=-2a，∴y=ax2+bx+1=ax2-2ax+1，把(-1，m)代入y=ax2-2ax+1，得m=a+2a+1=3a+1，把(1，n)代入y=ax2-2ax+1，得n=a-2a+1=-a+1，把(3，p)代入y=ax2-2ax+1，得p=9a-6a+1=3a+1，∴m=p，∵在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，∴-a+1>08.解析(1)由A，C兩點(diǎn)在拋物線上，可得-(-3)2∴拋物線P的解析式為y=-x2-2x+3.(2)證明：x=--22×(?1)=-1時(shí)，y=-1-2×(-1)+3=4，∴D(-1，4)令-x2-2x+3=0，解得x1=-3，x2=1，∴B(1，0).由勾股定理得AD=25，CD=2，AC=32，BC=10，∴ADBC=2510=2，ACOC=323=2，∴ADBC=ACOC=∴△ACD∽△COB.(3)94詳解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m(k≠0)，∵A(-3，0)，C(0，3)，∴-3k+∴直線AC的解析式為y=x+3，根據(jù)題意可知：移動(dòng)前拋物線P'的解析式為y=-x2-2x+3，向下平移h(h≠0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，解析式為y=-x2-2x+3-h，當(dāng)平移后的拋物線P'：y=-x2-2x+3-h與直線AC：y=x+3相切時(shí)，令-x2-2x+3-h=x+3，整理，得x2+3x+h=0，根據(jù)相切可知方程有兩個(gè)相等的解，∴Δ=32-4h=0，∴h=94，拋物線P'與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為0,3拋物線繼續(xù)往下移動(dòng)，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在OA上時(shí)，拋物線P'與△OAC三條邊有一個(gè)交點(diǎn).根據(jù)(2)可知：移動(dòng)前拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，4)，∴拋物線頂點(diǎn)在OA上時(shí)，移動(dòng)的距離h=4，∴拋物線P'與△OAC三條邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，h的取值范圍為94素養(yǎng)探究全練9.解析(1)由題意和翻折的性質(zhì)可知C(0，2).令x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，∴A(-1，0)，B(2，0)，設(shè)圖像W中線段AB上方部分對(duì)應(yīng)的解析式為y=a(x+1)(x-2)，代入(0，2)，解得a=-1，∴y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2(-1<x<2).(2)b=2或3.詳解：當(dāng)直線與(1)中所求部分的圖像相切時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立解析式，得y整理，得x2-2x+b-2=0，由Δ=(-2)2-4(b-2)=0，得b=3，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.由圖像可知，當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)B(2，0)時(shí)，直線與圖像W有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)b=2.綜上，當(dāng)b=2或b=3時(shí)，直線y=-x+b與圖像W有三個(gè)交點(diǎn).(3)存在.由C(0，2)，B(2，0)可知△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45°.如圖1，當(dāng)CN∥OB時(shí)，△OBC∽△NMC，此時(shí)，N與