專項01 圓的切線的證明

專項01圓的切線的證明類型一切線的判定之見半徑證垂直1.(2023北京通州一模)如圖，△ABC是☉O的圓內(nèi)接三角形，過圓心O作OF⊥AC于點F，連接OA，OC，OA交BC于點E，過點C作CD∥AO，交BA的延長線于點D，∠COF=45°.(1)求證：DC是☉O的切線；(2)如果BC·CE=8，求☉O的半徑.2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，AD是☉O的直徑，AD，BC的延長線交于點E，P是CB延長線上一點，連接AP，且∠BAP+∠DCE=90°.(1)求證：PA是☉O的切線；(2)連接AC，sin∠BAC=13，BC=2，則AD的長為類型二切線的判定之連半徑證垂直3.如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線，∠BAD+∠ACB=90°.O是BC的垂直平分線與AC的交點，以點O為圓心，OC長為半徑作☉O.求證：AB為☉O的切線.4.如圖，AC與☉O相切于點C，AB經(jīng)過☉O上的點D，BC交☉O于點E，DE∥OA，CE是☉O的直徑.(1)求證：AB是☉O的切線；(2)若BD=8，CE=12，求AC的長.5.(2023河北石家莊四十二中一模)如圖，在半徑為10cm的☉O中，AB是☉O的直徑，CD是過☉O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，點E是BC的中點，OE=6cm.(1)求證：CD是☉O的切線；(2)求AD的長.6.(2023湖北十堰中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的半圓分別交AC，BC，AB于點D，E，F(xiàn)，且點E是弧DF的中點.(1)求證：BC是☉O的切線；(2)若CE=2，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).類型三切線的判定之作垂直證半徑7.如圖，O為菱形ABCD對角線上一點，☉O與BC相切于點M.求證：CD與☉O相切.8.(2023河北石家莊裕華質(zhì)檢)如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O為底邊BC的中點，AB切☉O于點D，連接OD，☉O交BC于點M，N.(1)求證：AC是☉O的切線.(2)已知∠B=42°，①若OD=4，求劣弧DM的長；②如圖2，連接DM，若DM=4，直接寫出OD的長.(參考數(shù)據(jù)：sin24°取0.4，cos24°取0.9，tan24°取0.4)

專項01圓的切線的證明答案全解全析1.解析(1)證明：∵∠COF=45°，OA=OC，OF⊥AC，∴∠AOC=2∠COF=90°，∴∠OAC=12×(180°-90°)=45°，∵CD∥AO∴∠OCD=180°-∠AOC=90°，即CD⊥OC，∵OC是☉O的半徑，∴DC是☉O的切線.(2)由(1)可知∠AOC=90°，∠OAC=45°，∴∠ABC=12∠AOC=45°，∴∠ABC=∠OAC∵∠BCA=∠ACE，∴△ABC∽△EAC，∴BCAC=ACCE，即AC2=BC·CE，∵BC·CE=8，∴AC2由勾股定理得2OC2=AC2=8，解得OC=2(負值舍去)，∴☉O的半徑為2.2.解析(1)證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BAD=∠DCE，∵∠BAP+∠DCE=90°，∴∠BAP+∠BAD=90°，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∵AD是☉O的直徑，∴PA是☉O的切線.(2)延長DC交AB的延長線于點F，如圖，∵AD是☉O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ACF=180°-∠ACD=90°，∴△ACF是直角三角形，∴sin∠BAC=CFAF=1∵四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∵∠BCD+∠BCF=180°，∴∠FCB=∠FAD，又∵∠F=∠F，∴△FCB∽△FAD，∴CBAD=CFAF，∴2AD=CFAF3.證明連接BO，并延長BO交CD于E，如圖，∵O在BC垂直平分線上，∴OB=OC，∴OB是☉O的半徑，∠ACB=∠CBE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，∠ABE=∠BEC，∵∠BAD+∠ACB=90°，∴∠BAC+∠DAC+∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCA+∠CBE=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=180°-(∠BCE+∠CBE)=90°，∴∠ABE=90°，∴OB⊥AB，又∵OB是☉O的半徑，∴AB為☉O的切線.4.解析(1)證明：連接OD.∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∵DE∥OA，∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，∴∠AOC=∠AOD.在△AOD和△AOC中，AO=AO∴∠ADO=∠ACO.∵AC與☉O相切于點C，∴∠ADO=∠ACO=90°，又∵OD是☉O的半徑，∴AB是☉O的切線.(2)∵CE=12，∴OE=OD=OC=6，在Rt△ODB中，BD=8，OD=6，BD2+OD2=BO2，∴BO=10，∴BC=BO+OC=16.∵△AOD≌△AOC，∴AD=AC.在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，即AC2+162=(AC+8)2，解得AC=12，即AC的長為12.5.解析(1)證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是☉O的半徑，∴CD是☉O的切線.(2)∵E是BC的中點，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位線，∴AC=2OE=12cm，∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC=ACAB，即AD12=12206.解析(1)證明：連接OE，OD，如圖，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠OAD=∠B=45°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO=45°，∴∠AOD=90°，∵點E是弧DF的中點，∴∠DOE=∠EOF=12∠DOF=45°∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°，∴OE⊥BC，∵OE為☉O的半徑，∴BC是☉O的切線.(2)∵OE⊥BC，∠B=45°，∴△OEB為等腰直角三角形，設BE=OE=x，則OB=2x，∴AB=x+2x，∵AB=2BC，BC=CE+BE=2+x，∴x+2x=2(2+x)，∴x=2，∴S陰影=S△OEB-S扇形EOF=12×2×2-45°π×227.證明如圖，連接OM，過點O作ON⊥CD，垂足為N，∵☉O與BC相切于點M，∴OM⊥BC，OM為☉O的半徑，又ON⊥CD，∴∠OMC=∠ONC=90°，∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠ACB=∠ACD，又∵OC=OC，∴△OMC≌△ONC(AAS)，∴ON=OM，∴ON是☉O的半徑，∵∠ONC=90°，∴CD與☉O相切.8.解析(1)證明：過點O作OE⊥AC于點E，連接OA，如圖，∵AB=AC，O為底邊BC的中點，∴AO為∠BAC的平分線，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE，∵OD為☉O的半徑，∴OE為☉O的半徑，∴圓心O到直線AC的距離等于圓的半徑，∴AC是☉O的切線.(2)①∵AB切☉O于點D，∴∠ODB=9