《空間圖形的體積》名師課件

柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和展開圖復(fù)習(xí)引入蘇教版同步教材名師課件空間圖形的體積學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)知道柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積的計(jì)算公式數(shù)學(xué)運(yùn)算能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的研究,掌握柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積公式.2.能運(yùn)用柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.學(xué)科核心素養(yǎng)在空間圖形體積公式和球的表面積公式的學(xué)習(xí)與推導(dǎo)過(guò)程中充分感受數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想、類比思想、極限思想,提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.思考1:你還記得正方體、長(zhǎng)方體和圓柱的體積公式嗎？它們可以統(tǒng)一為一個(gè)什么公式？思考2:推廣到一般的棱柱和圓柱,你猜想柱體的體積公式是什么？

探究新知

思考3:關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理:

(1)相同的幾何體的體積相等;

(2)一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積之和;(3)等底面積等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等;(4)體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體.

探究新知將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三棱錐,那么這三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？

123123探究新知思考4:推廣到一般的棱錐和圓錐,你猜想錐體的體積公式是什么？

探究新知

思考5:根據(jù)棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義,如何計(jì)算臺(tái)體的體積？

探究新知

探究新知

我們知道柱體的體積公式是

探究新知

圓柱的體積公式就是

錐體的體積公式是

探究新知

圓錐的體積公式就是

臺(tái)體的體積公式是

探究新知

圓臺(tái)的體積公式就是

圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的體積公式之間有什么關(guān)系？探究新知

上底擴(kuò)大

上底縮小探究新知球的體積和面積

探究新知球的體積和面積

探究新知球的體積和面積設(shè)想一個(gè)球由許多頂點(diǎn)在球心,底面都在球面上的“準(zhǔn)錐體”組成,這些“準(zhǔn)錐體”的底面并不是真正的多邊形,但只要這些“準(zhǔn)錐體”的底面足夠地小,就可以把它們近似地看成棱錐.探究新知球的體積和面積

所以

探究新知球的體積和面積

典例講解

解析

典例講解

解析(3)補(bǔ)體法:將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體,如棱錐補(bǔ)成棱柱,三棱柱補(bǔ)成四棱柱等．求幾何體體積的常用方法(1)公式法:直接代入公式求解．(2)等積法:例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可．(4)分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積．方法歸納典例講解解析

思路分析

等體積轉(zhuǎn)化法主要用于解決三棱錐的體積問(wèn)題,運(yùn)用時(shí)注意以下兩點(diǎn):(1)三棱錐的“等積性”,即計(jì)算三棱錐的體積時(shí)可以用任意一個(gè)面作為三棱錐的底面.(2)求三棱錐的體積時(shí),可選擇容易計(jì)算高(或底面三角形的面積)的方式來(lái)計(jì)算.方法歸納典例講解例3、如圖,一圓柱被一平面所截,已知被截后幾何體的最長(zhǎng)母線長(zhǎng)為4,最短母線長(zhǎng)為1,且圓柱底面半徑為2,求該幾何體的體積.解析分割法如圖,該幾何體的體積等于下面的圓柱的體積與上面的圓柱體積的一半之和下面的圓柱的高就是該幾何體的最短母線長(zhǎng)1,而上面的圓柱的高為3.

典例講解例3、如圖,一圓柱被一平面所截,已知被截后幾何體的最長(zhǎng)母線長(zhǎng)為4,最短母線長(zhǎng)為1,且圓柱底面半徑為2,求該幾何體的體積.解析補(bǔ)形法

如圖,將一個(gè)與已知的幾何體完全相同的幾何體與已知的幾何體拼在一起組成一個(gè)高為5的圓柱,那么所求幾何體的體積就是這個(gè)大圓柱體積的一半.(3)補(bǔ)體法:將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體,如棱錐補(bǔ)成棱柱,三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.求幾何體體積的常用方法(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等積法:例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可.(4)分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積.方法歸納補(bǔ)形常見情況如下:a.將正四面體補(bǔ)為正方體,如圖.b.將相對(duì)棱長(zhǎng)相等的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,如圖.

方法歸納d.將三棱錐補(bǔ)成三棱柱或平行六面體,如圖.e.將三棱柱補(bǔ)成平行六面體,如圖.f.將臺(tái)體補(bǔ)成錐體,如圖.

解析

變式訓(xùn)練典例講解例3、圓錐的高和底面半徑相等,它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等,求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比及體積之比.

解析

方法歸納典例講解解析

典例講解

解析當(dāng)兩個(gè)截面在球心同側(cè)時(shí),如圖所示:

典例講解當(dāng)兩個(gè)截面在球心異側(cè)時(shí),如圖所示

解析1.球的軸截面是一個(gè)圓面,它的半徑與球的半徑相等.2.未明確球心與兩平行截面間的位置關(guān)系時(shí),需分兩截面在球心同側(cè)、異側(cè)進(jìn)行討論.3.與球有關(guān)的問(wèn)題常常借助于球的軸截面性質(zhì)列方程(組)求球的半徑.軸截面為空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面幾何問(wèn)題創(chuàng)造了條件.方法歸納解析

D變式訓(xùn)練

解析

變式訓(xùn)練

變式訓(xùn)練

解析2.在幾何體的體積計(jì)算中,注意體會(huì)“分割思想”“補(bǔ)體思想”及“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”.1.計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積,關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體