第06講 權(quán)方和不等式（含柯西不等式的應(yīng)用）（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第06講權(quán)方和不等式（含柯西不等式的應(yīng)用）（高階拓展、競(jìng)賽適用）本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問(wèn)題，常在高考及競(jìng)賽中做到類型題的秒解！知識(shí)講解一、柯西不等式

1.二維形式的柯西不等式

a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R,當(dāng)且僅當(dāng)權(quán)方和不等式:若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.(注：熟練掌握這個(gè)足以應(yīng)付高考中的這類型最值問(wèn)題可以實(shí)現(xiàn)對(duì)一些問(wèn)題的秒殺)廣義上更為一般的權(quán)方和不等式:設(shè),若或,則;若,則;上述兩個(gè)不等式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等注意觀察這個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)特征,分子分母均為正數(shù),且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)多1,出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵,特別的,高考題中以最為常見(jiàn),此時(shí)這個(gè)不等式是大家熟悉的柯西不等式.考點(diǎn)一、權(quán)方和不等式全解析例1：若正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________例2：若，，，則的最小值為_(kāi)_____________例3：已知正數(shù)滿足，則的最小值為例4：若，，，則的最小值為_(kāi)_____________例5：若，，則的最小值為_(kāi)_____________例6：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________例7：已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________例8：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________例9：求的最小值為_(kāi)_____________例10：求的最小值為_(kāi)_____________例11：權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．例12：已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_____________例13：已知，求的最小值為_(kāi)_____________例14：已知，，，求的最大值為_(kāi)_____________例15：求的最大值為_(kāi)_____________例16：已知正數(shù)，，滿足，求的最大值為_(kāi)__________考點(diǎn)二、柯西不等式全解析例1：用柯西不等式求函數(shù)的最大值為A． B．3 C．4 D．5例2：由柯西不等式，當(dāng)時(shí)，求的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．例3：已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是．例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式）例5：已知正實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值是．例6：已知非負(fù)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足，求證：一、單選題1．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．2．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．3．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．34．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑的圓上，則的最小值為（

）A． B． C． D．16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．（高三上·浙江寧波·期中）設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最大值和最小值之和為（

）A．2 B． C． D．99．（2024·遼寧·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．二、填空題11．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為.12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．13．（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為．14．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，且，則的最小值為.15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值是．16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為．17．（21-22高三上·天津南開(kāi)·期中）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為.18．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．19．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.20．（23-24高三上·上海黃浦·開(kāi)學(xué)考試）已知，則的最小值為.21．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為．22．（22-23高一上