第10講 卡根思想在導數(shù)中的應用（高階拓展、競賽適用）（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page根思想在導數(shù)中的應用（高階拓展、競賽適用）（核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年全國甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用.求在曲線上一點處的切線方程用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)極值求參數(shù)由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)2023年全國乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究不等式恒成立問題2022年新I卷，第22題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用利用導數(shù)研究方程的根由導數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2022年全國乙卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用求在曲線上一點處的切線方程(斜率利用導數(shù)研究函數(shù)的零點2021年全國甲卷理數(shù)，第21題,12分卡根思想在導數(shù)中的應用利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究方程的根2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導數(shù)解決函數(shù)基本問題2能用卡根思想結(jié)合零點存在性定理綜合解題【命題預測】在零點個數(shù)及方程的根等綜合問題研究中，參變分離和數(shù)形結(jié)合都是解題的方法，但也都有局限性，同時對函數(shù)圖像畫法要求較高；包括在零點個數(shù)研究中還有放縮方法，但是放縮的不等式變化較多，這樣對學生又提出了比較嚴苛能力要求。此時卡根法是此類題型的另一方法。同時卡根法也常應用于導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的過程中，其本質(zhì)是虛設零點（設而不求），利用零點滿足的關(guān)系式化簡，從而得到范圍或符號。高考中常用的解題方法，需要學生復習中綜合掌握知識講解“卡根”問題的一般方法，其具體步驟如下根據(jù)函數(shù)的增長速度判斷函數(shù)值變化的趨勢，以便確定是否存在零點;根據(jù)函數(shù)表達式的特點進行拆分，一般拆分成和或乘積形式;根據(jù)函數(shù)的增長速度，將指、對數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)及其和的形式;根據(jù)相關(guān)不等式的解集，利用零點存在定理來確定零點存在的區(qū)間零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點，即，使得注：零點存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點不一定存在考點一、卡根思想在導數(shù)中的綜合應用1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．1．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)a的最大值．參考數(shù)據(jù)：，2．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．3．已知函數(shù)，．(1)函數(shù)的圖象與的圖象無公共點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)m，使得對任意的，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，求出整數(shù)m的最大值；若不存在，請說明理由．1．（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，求的值2．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)，，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，對，，求正整數(shù)的最大值.3．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當a＝0時，若存在使得關(guān)于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）4．（2023·江西上饒·一模）已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，試討論在內(nèi)的零點個數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）5．（2024·浙江紹興·二模）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，，求實數(shù)的取值范圍.6．（2024·河南信陽·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)試比較與的大??；(2)若恒成立，求的取值范圍．7．（2024·安徽安慶·三模）已知函數(shù)在點處的切線平行于直線．(1)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是函數(shù)的極值點，求證：．8．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的零點個數(shù)；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.9．（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，，曲線和在原點處有相同的切線l．(1)求b的值以及l(fā)的方程；(2)判斷函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由．10．（2023·海南?？凇ざ＃┮阎?(1)若在處取到極值，求的值；(2)直接寫出零點的個數(shù)，結(jié)論不要求證明；(3)當時，設函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.11．（2021·四川南充·模擬預測）已知函數(shù)，，，令．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．12．（2024·四川遂寧·模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)當時，，求a的取值范圍.(2)若，證明：有三個零點，，（），且，，成等比數(shù)列.1．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．2．（2020·全