第15講 導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（8類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國(guó)甲卷理，第21題,12分導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題恒成立問題、零點(diǎn)問題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2021年新I卷，第22題,12分導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的基本問題2能理解并掌握極值點(diǎn)偏移的含義3能結(jié)合極值點(diǎn)偏移的形式綜合證明及求解【命題預(yù)測(cè)】極值點(diǎn)偏移問題在高考中很常見，此類問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強(qiáng)，能力要求較高，需要綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn).如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏；若，則稱為極值點(diǎn)右偏.如函數(shù)的極值點(diǎn)剛好在方程的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱之為極值點(diǎn)左偏.極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.極值點(diǎn)偏移的判定定理對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏.證明：（1）因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）對(duì)數(shù)平均不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．只證：當(dāng)時(shí)，．不失一般性，可設(shè)．證明如下：（I）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立；（II）再證：……②不等式②（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系.考點(diǎn)一、極值點(diǎn)偏移高考真題鑒賞1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.考點(diǎn)二、含對(duì)數(shù)型極值點(diǎn)偏移1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.1．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.2．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得，證明：．考點(diǎn)三、含指數(shù)型極值點(diǎn)偏移1．（22-23高二上·重慶沙坪壩·期末）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若存在極小值，且極小值等于，求證：．1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)若，求證：．2．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）設(shè)，為函數(shù)（）的兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．考點(diǎn)四、加法型極值點(diǎn)偏移1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)證明：．2．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)若，且，證明：．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且，求證：．考點(diǎn)五、減法型極值點(diǎn)偏移1．（23-24高二下·云南·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，證明：.1．（23-24高三上·河南·開學(xué)考試）有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)時(shí)，求的范圍；(2)且時(shí)，求證：．2．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且存在，使得的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)；①求證：；②求證：．考點(diǎn)六、平方型（立方型）極值點(diǎn)偏移1．（22-23高三上·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若存在，，使得，則．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；2．（22-23高二下·遼寧·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.3．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.考點(diǎn)七、乘積型極值點(diǎn)偏移1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.2．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.1．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若有唯一極值，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若，，求證：.2．（23-24高三上·四川遂寧·階段練習(xí)）設(shè)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若有恒成立，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若，求證：.3．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．考點(diǎn)八、商式型極值點(diǎn)偏移1．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)?，且，求證：.2．（福建省寧德市2021屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最大值.3．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.(1)若對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且，求的最大值.2．（21-22高二上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.6．（2023·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像與直線交于不同的兩點(diǎn)，，求證：．2．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且，證明：，且．3．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.4．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍并證明.5．（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.6．（22-23高二下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)令，設(shè)函數(shù)，且，求證：．7．（2023·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的值：(2)若，，，證明：．8．（2023·江西南昌·二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，求證：．9．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：10．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.11．（22-23高三下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，證明.12．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為，且.若，證明：.13．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.14．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．15．（23-24高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知函數(shù)，a為實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：．16．（23-24高三上·重慶渝中·期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是減函數(shù)，求的取值范圍；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．17．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),證明：.18．（2023·遼寧阜新·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若時(shí)，求的最值；(2)若函數(shù)，且為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：19．（2