第三章：一元函數的導數及其應用（模塊綜合調研卷）（A4版-教師版）-2025版高中數學一輪復習考點幫

Page第三章：一元函數的導數及其應用（模塊綜合調研卷）（19題新高考新結構）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若曲線在處的切線也是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求出的導數，求得切線的斜率為1，可得切線方程，再設與曲線相切的切點為，求得函數的導數，由導數的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得的值，進而得到的值.【詳解】由曲線，得，在處的切線斜率為，當時，，曲線在處的，即，曲線，導數為，設切點為，則，解得，切點在切線上，即有，得.故選：A.2．已知函數則在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據分段函數結合導函數求出，再根據點斜式得出直線方程.【詳解】當時，，當時，，則，所以，．則所求的切線方程為，即．故選：B.3．某學校組織學生到一個木工工廠參加勞動，在木工師傅指導下要把一個體積為的圓錐切割成一個圓柱，切割過程中磨損忽略不計，則圓柱體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出圓柱的體積解析式，構造函數，利用導數求出圓柱體的最大體積【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，圓柱的底面半徑為，高為，則，所以，所以.設，則.令，得或（舍去），當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以的最大值為，所以的最大值為.故選：C.4．已知則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】比較大小，構造，結合單調性即可比較大?。槐容^大小，構造，結合單調性即可比較大小.【詳解】令，則，所以單調遞增，又，所以，即，所以，所以，即，所以，設，則，所以單調遞減，，即，故，，即，所以，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是結合的特點，，構造；結合的特點，，構造；從而得解.5．若函數有兩個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將函數有兩個零點，轉化為函數的圖象有兩個不同交點問題；由此設，利用導數判斷其單調性，作出其圖象，數形結合，即可求得答案.【詳解】由題意知函數有兩個零點，即有兩個不等實數根，即函數的圖象有兩個不同交點；設，則，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減；當時，，當時，，作出的圖象如圖：當直線與圖象相切時，設切點為，此時，則，故此時，結合圖象可知，要使函數的圖象有兩個不同交點，需滿足，故，故選：D6．已知定義在上且無零點的函數滿足，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將題設條件轉化為，從而得到，進而得到，利用導數求出函數的單調區(qū)間，進而可得出答案.【詳解】由變形得，從而有，，所以，因為，所以，則，則，故當時，，當時，，所以在上單調遞增，在單調遞減，所以，，又，而，所以，綜上，.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：利用，由到得，是解決本題的關鍵.7．已知函數與是定義在上的函數，它們的導函數分別為和，且滿足，且，則（

）A．1012 B．2024 C． D．【答案】D【分析】根據得到，故，求導得到，兩邊求導得到，從而得到，故，故是的一個周期，其中，根據周期性求出答案.【詳解】由于，則，兩式相加得，故，所以，故，即，其中兩邊求導得，，故，故，將替換為得，又，故，將替換為得，則，故是的一個周期，其中，故，故.故選：D【點睛】結論點睛：設函數，，，．（1）若，則函數的周期為2a；（2）若，則函數的周期為2a；（3）若，則函數的周期為2a；（4）若，則函數的周期為2a；（5）若，則函數的周期為；（6）若函數的圖象關于直線與對稱，則函數的周期為；（7）若函數的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；（8）若函數的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則函數的周期為；（9）若函數是偶函數，且其圖象關于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數是奇函數，且其圖象關于直線對稱，則的周期為4a．8．設函數，點，其中，且，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，令，所以，利用不等式可得答案.【詳解】不等式，證明如下，即證，令，設，，可得在上單調遞減，所以恒成立，所以成立，即.因為，令，因為，所以，所以，由，得，即，則有，所以.故選：A.【點睛】方法點睛：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．已知函數，則（

）A．有兩個極值點B．有一個零點C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】BC【分析】利用導數y與零點存在性定理求解三次函數的極值點，零點，對稱中心，切線問題.【詳解】選項A：則恒成立，故單調遞增，故不存在兩個極值點，故選項A錯誤.選項B:又單調遞增，故有一個零點，故選項B正確，選項C：故點是曲線的對稱中心，故選項C正確，選項D：令，即，令，則令，則當則當切線斜率為切點為則切線方程為：與不相等，當時同樣切線方程不為，故選項D錯誤.故選：BC.10．已知函數．若過原點可作函數的三條切線，則（

）A．恰有2個異號極值點 B．若，則C．恰有2個異號零點 D．若，則【答案】BD【分析】利用函數導數的符號可判斷AC，設切點，利用導數求出切線方程，代入原點方程有三解，轉化為利用導數研究函數極值，由數形結合求解即可判斷BD.【詳解】因為，所以在上單調遞增，故AC錯誤；設過原點的函數的切線的切點為，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因為過原點，所以，化簡得，即方程有3個不等實數根，令，則，當時，或時，，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以極大值，極小值為，如圖，所以與相交有三個交點需滿足，故B正確；同理，當時，可知極大值，極小值為，如圖，

可得時，與相交有三個交點，故D正確.故選：BD11．已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由為偶函數，得，兩邊求導化簡后可得為奇函數，然后逐個賦值分析判斷即可.【詳解】對于，∵為偶函數，則兩邊求導得:,∴，為奇函數，,令，則，，所以不正確對于，令，可得，則,

所以正確;

對于，，可得，，兩式相加的令，即可得，所以正確;對于，∵，則，又，可得，所以是以為周期的函數，所以，所以正確.故選：【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數的奇偶性和周期性的應用，考查導數的應用，解題的關鍵是根據已知條件判斷為奇函數，考查計算能力，屬于較難題.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若函數在上存在最小值，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】根據題意，函數的極小值點在內，再結合即可求出實數的取值范圍.【詳解】因為，所以，令得，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，有極小值，因為函數在上存在最小值，又，所以，解得，所以實數a的取值范圍是.故答案為：.13．已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】對已知不等式進行變形，通過構造函數法，利用導數的性質、參變量分離法進行求解即可.【詳解】由題意，不等式即，進而轉化為，令，則，當時，，所以在上單調遞增.則不等式等價于恒成立.因為，所以，所以對任意恒成立，即恒成立.設，可得，當時，單調遞增，當時，單調遞減．所以時，有最大值，于是，解得．故答案為：.【點睛】關鍵點睛：解本題的關鍵是，將已知條件轉化為恒成立，通過構造函數，利用導數結合函數的單調性得到，進而構造函數，計算求得結果.14．定義：設函數在上的導函數為，若在上也存在導函數，則稱函數在上存在二階導函數，簡記為.若在區(qū)間上，則稱函數在區(qū)間上為“凸函數”.已知在區(qū)間上為“凸函數”，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】根據題意對函數求二階導函數，令在區(qū)間恒成立，分離參數，解得實數的取值范圍即可.【詳解】在區(qū)間上為“凸函數”在上恒成立上恒成立設，，則當且僅當時取得最大值，故答案為：.【點睛】本題考查了新定義“凸函數”，考查了分離參數法解決恒成立問題和基本不等式，屬于中檔題.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數．(1)，求函數的最小值；(2)若在上單調遞減，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用二次求導法進行求解即可；（2）運用常變量分離法，結合導數的性質進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以，令，則有，當時，單調遞減，當時，單調遞增，因此當時，則有，因此當時，則有，當時，顯然，于是有當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，所以；（2）由，因為在上單調遞減，所以在上恒成立，由，設，則有，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，要想在上恒成立，只需，因此的取值范圍為.16．已知函數．(1)討論的單調性；(2)若存在唯一的極值點，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求導，分，，三種情況討論，綜合可得；（2）由（1）得，表示出得的范圍，并代入所證不等式，消去a得關于的不等式，構造函數判單調性得最值即可證明.【詳解】（1）因為，當時，，此時在上恒成立，所以在上單調遞減；當時，在上單調遞減，所以在上有唯一零點，當時，，在上單調遞增，當時在上單調遞減；當時，在上有零點，當和時，，所以在和上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增．綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞減，在上單調遞增．（2）由題意可知，若存在唯一的極值點，由（1）可知且．因為，要證，只需證①．因為，所以．將代入①整理可得，只需證．令，則，所以在上單調遞減，所以，所以，即原不等式成立．17．已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若有兩個零點，求實數a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求函數的導數，再分和兩種情況討論函數的單調性；（2）首先根據（1）的結果可知且，再結合零點存在性定理，即可證明.【詳解】（1）根據條件則當時，在定義域內恒成立，因此在遞減；當時，由，解得；，解得因此：當時，的單調減區(qū)間為，無增區(qū)間；時，的單調減區(qū)間為，增區(qū)間為；注：區(qū)間端點處可以是閉的（2）若有兩個零點，有（1）可知且則必有即，解得又因，即，當時，恒成立，即在單調遞減，可得，也即得在恒成立，從而可得在，區(qū)間上各有一個零點，綜上所述，若有兩個零點實數a的范圍為18．已知函數，.(1)若，求函數的極值；(2)若關于的不等式恒成立，求整數的最小值；(3)若，正實數滿足，證明：.【答案】(1)極大值為，無極小值；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)根據f(1)＝0求出a的值，確定f(x)并求出，根據正負判斷f(x)單調性，從而可求f(x)在定義域(0，＋)的極值；(2)參變分離不等式，構造函數問題，問題轉化為.利用導數研究g(x)單調性和最大值即可求出整數a的最小值；(3)化簡方程為，令，構造函數，研究的最小值，得到關于整體的不等式，解不等式即可得結論.【詳解】（1）∵，∴，此時，，，，由得，由得，∴的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為，∴有極大值為，無極小值；（2）由恒成立，得在上恒成立，問題等價于在上恒成立.令，只要.∵.令，∵，∴在上單調遞減.∵，，∴在(0，＋)上存在唯一的，使得，即，∴.∴當時，，g(x)單調遞增，當時，，g(x)單調遞減，∴，即，∵，∴整數的最小值為；（3）由題可知，.當時，，.∵，∴，∴，令，則由得，，易知在上單調遞減，在上單調遞增，∴，∴，解得成立.【點睛】本題第二問關鍵是討論函數的零點和單調性和，從而參變分離后函數的最小值，解題過程中零點無法求出，屬于隱零點，可以設而不求，利用隱零點將對數式轉換為冪式進行計算.第三問的關鍵是將方程變形，把看成整體進行求解.19．曲率是曲線的重要性質，表征了曲線的“彎曲程度”，曲線曲率解釋為曲線某點切線方向對弧長的轉動率，設曲線具有連續(xù)轉動的切線，在點處的曲率，其中為的導函數，為的導函數，已知．(1)時，求