第4章5-7-數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計方法

第四章數(shù)字濾波器的原理和設(shè)計方法TheoryandDesignMethodofDigitalFilter4.5IIR數(shù)字濾波器的頻率變換前面的一些例子已經(jīng)說明了如何應(yīng)用沖激不變法和雙線性變換法，根據(jù)具有選頻特性的低通模擬系統(tǒng)函數(shù)來設(shè)計無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。下圖畫出了四種常見的選頻濾波器的理想頻率響應(yīng)，(a)、(b)、(c)和(d)分別表示低通、高通、帶通和帶阻濾波器的理想頻率響應(yīng)。設(shè)計這樣一些選頻濾波器的傳統(tǒng)方法有兩種。方法1：首先設(shè)計一個模擬原型低通濾波器，然后通過頻率變換把它變換成所需要的模擬高通、帶通或帶阻濾波器，最后再使用沖激不變法或雙線性變換法變換成相應(yīng)的數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器。方法2：先設(shè)計了一個模擬原型低通濾波器，然后采用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將它轉(zhuǎn)換成數(shù)字原型低通濾波器，最后通過頻率變換把數(shù)字原型低通濾波器變換成所需要的數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。方法1的缺點是，由于產(chǎn)生混疊失真，因此不能用沖激不變法來變換成高通或帶阻濾波器。因此本節(jié)只討論方法2。在方法2中，從模擬低通濾波器到數(shù)字低通濾波器的轉(zhuǎn)換，前面已經(jīng)討論過了，因此下面只討論數(shù)字低通濾波器到數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換問題。我們曾經(jīng)用雙線性變換將模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)，對于低通、高通、帶通和帶阻型選頻濾波器來說，也可以利用一種和雙線性變換非常相象的有理變換從低通數(shù)字濾波器變換出來。設(shè)Hl(v)是數(shù)字原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，Hd(z)是所要求的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)字域的頻率變換，就是要找出一個變量代換的公式，使得所要求的系統(tǒng)函數(shù)這里用v-1是因為系統(tǒng)函數(shù)的標準形式,一般寫成z-1的形式，換到v平面即是v-1。頻率變換中的變量代換公式必須滿足下列條件：(1)F(z-1)必須是z-1的有理函數(shù)；(2)v平面的單位圓內(nèi)部映射到z平面的單位圓內(nèi)部。從這些條件出發(fā)，我們可推導(dǎo)出頻率變換的實用公式。設(shè)v平面單位圓是v=ejθ，z平面單位圓是z=ejω，則對比等式兩邊，有如果把變量代換的有理函數(shù)F(z-1)看成是一個系統(tǒng)函數(shù)，那么該系統(tǒng)的幅頻特性曲線在任何ω處恒為1，這樣的函數(shù)就是全通函數(shù)。任何全通函數(shù)都可表示為其中αk是F(z-1)的極點。為了滿足穩(wěn)定性的要求，必須有|αk|<1。這樣，通過選擇適當(dāng)?shù)腘值和αk值，可以得出各種各樣的映射。1)低通→低通的z平面變換已知數(shù)字低通原型H(v)的截止頻率是θp，如果要把它變成截止頻率為ωp的另一個低通H(z)。頻率點的對應(yīng)關(guān)系為：v平面 z平面θ=0 ω=0θ=π ω=πθ=θp ω=ωp當(dāng)ω由0→π時，θ由0→π，變化量為1個π，所以F(z-1)是一階全通，具有下列形式：將代入上式得：以代入，解出α，得到2)低通→高通的z平面變換3)低通→帶通的z平面變換4)低通→帶阻的z平面變換4.6FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點是可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單。但是它也有明顯的缺點，就是相位的非線性，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進行相位校正。在圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸中，都要求信道具有線性相位特性。而有限長單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器就可以做成具有嚴格的線性相位，而同時可以具有任意的幅度特性。此外，F(xiàn)IR濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，極點都位于原點，因而濾波器一定是穩(wěn)定的。再有，只要經(jīng)過一定的延時，任何非因果有限長序列都能變成因果的有限長序列，因而總能用因果系統(tǒng)來實現(xiàn)。最后，F(xiàn)IR濾波器由于單位沖激響應(yīng)是有限長的，因而可以用快速傅里葉變換(FFT)算法來實現(xiàn)過濾信號，這可大大提高運算效率。IIR濾波器設(shè)計中的各種變換法，對FIR濾波器設(shè)計是不適用的，這是因為那里是利用有理分式的系統(tǒng)函數(shù)，而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是z-1的多項式。FIR濾波器的主要缺點是，必須用很長沖激響應(yīng)的FIR濾波器才能很好地逼近銳截止濾波器，這意味著需要很大的運算量。另一個缺點是，線性相位FIR濾波器的時延不一定總是樣本間隔的整數(shù)倍，在某些信號處理應(yīng)用中，這種非整數(shù)時延會帶來一些不希望有的問題。從以上討論看出，我們最感興趣的是具有線性相位的FIR濾波器。對非線性相位的FIR濾波器，一般可以用IIR濾波器來代替，因而這里不去討論它。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法與IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法很不一樣，它不能利用模擬濾波器的設(shè)計方法。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要有窗函數(shù)法、頻率取樣法和等波紋逼近法等3種，本章主要介紹窗函數(shù)法，也簡要地介紹頻率取樣法。4.6.1窗函數(shù)法這種方法也稱為傅里葉級數(shù)法。設(shè)計方法：一般是先給定所要求的理想的濾波器頻率響應(yīng)Hd(ejω)，要求設(shè)計一個FIR濾波器頻率響應(yīng)來逼近Hd(ejω)。但是設(shè)計是在時域進行的，因而先由Hd(ejω)的傅里葉反變換導(dǎo)出hd(n)。由于理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)具有矩形頻率特性，故hd(n)一定是無限長的序列，且是非因果的，而我們要設(shè)計的是FIR濾波器，其h(n)必然是有限長的，所以要用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)，最有效的方法是截斷hd(n)，或者說用一個有限長度的窗口函數(shù)序列ω(n)來截取hd(n)，因而窗口函數(shù)序列的形狀及長度的選擇就很關(guān)鍵。我們以一個截止頻率為ωc的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來加以討論，設(shè)時延為α，即對應(yīng)的沖激響應(yīng)為：顯然，hd(n)是以α為中心的無限長非因果序列，如右圖(a)所示?，F(xiàn)在需要尋找一個有限長序列h(n)來逼近hd(n)，h(n)應(yīng)滿足FIR濾波器的基本條件，即它是偶對稱或奇對稱的，以滿足線性相位的要求，它還應(yīng)當(dāng)是因果的。這樣，有和可以把h(n)看作是hd(n)與一矩形序列ωR(n)(如上圖b所示)相乘的結(jié)果，即其中相乘的結(jié)果h(n)如上圖c所示。ωR(n)稱為矩形窗函數(shù)。窗函數(shù)不一定是矩形窗函數(shù)，也可以是其它窗函數(shù)，因此一般將h(n)表示成根據(jù)傅里葉變換的卷積性質(zhì)，h(n)的頻譜函數(shù)可表示為(4.79)即FIR數(shù)字濾波器的頻譜函數(shù)是理想低通濾波器的頻譜函數(shù)與窗函數(shù)頻譜的卷積。采用不同的窗函數(shù)，對應(yīng)的H(ejω)有不同的形狀。矩形窗ωR(n)的頻譜為其中矩形窗ωR(n)的頻譜的圖形如下圖所示。ω從-2π/N到-2π/N之間的WR(ω)稱為窗函數(shù)的主瓣，主瓣兩側(cè)呈衰減振蕩的部分稱為旁瓣。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可表示為：其幅度響應(yīng)Hd(ω)為將Hd(ejω)和WR(ejω)分別代入4.79得到因此FIR數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)為(4.81)上式表明，由理想低通濾波器的沖激響應(yīng)加窗得到的FIR濾波器，它的幅度響應(yīng)等于理想低通濾波器的幅度響應(yīng)與窗函數(shù)頻譜的幅度響應(yīng)的周期卷積，如下圖所示。只要看幾個特殊的頻率點，就可以看出H(ω)的一般情況。特別要注意卷積過程給H(ω)造成的起伏現(xiàn)象。1、先來看ω=0時零頻率處的響應(yīng)值H(0)。根據(jù)式(4.81)，H(0)等于圖4.49中(a)與(b)兩個函數(shù)乘積的積分，即WR(θ)在θ=-ωc到θ=+ωc這一段的面積，當(dāng)ωc>>2π/N時(這個條件一般能滿足)，H(0)實際上就很近似于WR(θ)全部θ從-π到+π的面積。2、再看ω=ωc時的卷積值，這時Hd(θ)正好與WR(ω-θ)的一半重疊，如圖4.49(d)所示，因此卷積值正好是零頻響應(yīng)H(0)的一半，即H(ωc)/H(0)＝0.5，如圖4.49(f)所示。3、當(dāng)ω在通帶截止頻率ωc以內(nèi)，即ω=ωc-2π/N時，WR(ω-θ)的整個主瓣都在Hd(θ)的通帶內(nèi)，如圖4.49(d)所示，因此卷積結(jié)果有最大值，這時頻率響應(yīng)出現(xiàn)正肩峰。4、對于ω=ωc-2π/N、WR(ω-θ)的主瓣全部在Hd(θ)的通帶外，如圖4.49(e)所示，在通帶內(nèi)旁瓣負的面積大于正的面積，因此卷積值達到最大負值，H(ω)在這里出現(xiàn)負肩峰。5、當(dāng)ω進一步增大時，卷積值也將隨著WR(ω-θ)的旁瓣在通帶內(nèi)的面積的變化而變化，這樣就造成H(ω)以零值為中心的上下起伏波動。6、當(dāng)ω由ω-2π/N向通帶內(nèi)減小時，WR(ω-θ)的右旁瓣進入Hd(ω)的通帶，這時，卷積值H(ω)在WR(ω-θ)的主瓣和左右旁瓣的共同作用下將以H(0)為中心上下波動。從以上分析及圖4.49(f)可以看出，理想低通濾波器經(jīng)加窗處理后，主要受到加窗處理兩方面的影響。第一，使濾波器的理想頻率特性在不連續(xù)點處邊沿加寬，出現(xiàn)過渡帶，這主要是由窗函數(shù)頻譜的主瓣引起的，過渡帶的寬度取決于窗函數(shù)主瓣的寬度，矩形窗對應(yīng)的過渡帶的寬度Δω=4π/N。一般來說，過渡帶的寬度與N成反比；第二，濾波器在通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生波紋，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象，主要是由窗函數(shù)的頻譜的旁瓣造成的。根據(jù)以上討論，可知在一般情況下，對窗函數(shù)的要求有二：①旁瓣高度盡可能小，即盡可能讓能量集中于主瓣，以減少通帶和阻帶中的波紋；②主瓣寬度盡量窄，以獲得盡可能陡的過渡帶。但是，這兩個要求是互相矛盾的，不可能同時滿足。具體來說，降低旁瓣高度必然會使主瓣變寬；反之，壓窄主瓣寬度，不可避免地會使旁瓣變高。往往是增加主瓣寬度以換取對旁瓣的抑制。以矩形窗為例，它的頻譜為可見，改變N，只能改變窗譜的主瓣寬度、改變ω坐標的比例以及改變WR(ω)的絕對值大小，但是不能改變主瓣與旁瓣的相對比例(當(dāng)然N太小時，會影響旁瓣的相對值)，這個相對比例是由sinx/x決定的，或者說只由窗函數(shù)的形狀來決定的。因而，當(dāng)截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬(4π/N)，而不會改變肩峰的相對值。用矩形窗截取無限長序列hd(n)來得到有限長序列h(n)，由于突然將h(n)截短，因而破壞了序列hd(n)的均勻收斂性，這意味著人為地強迫hd(n)收斂。不均勻收斂性在頻譜中是以吉布斯現(xiàn)象反映出來的。矩形窗所形成的FIR濾波器的頻率響應(yīng)的波紋幅度很大，最大肩峰值達8.95％，如圖4.49(f)所示。為了減小波紋幅度，一方面可以加大窗的長度N，但效果并不顯著；另一方面可采用不同的窗函數(shù)來改善不均勻收斂性。圖4.50所示的是幾種常用的窗函數(shù)：它們的定義式和頻譜函數(shù)分述如下：1、矩形窗2、Bartlett窗（三角形窗）3、漢寧(Hanning)窗(升余弦窗)或利用傅里葉變換的調(diào)制特性，即利用和考慮到RN(n)的傅里葉變換為則得當(dāng)N>>1時，N-1≈N，得到窗譜的幅度函數(shù)為因此可以認為漢寧窗的頻譜由圖4.51所示的3部分組成，3部分頻譜相加的結(jié)果使旁瓣大大抵消，而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，代價是使主瓣的寬度加大了一倍，即為8π/N。4、哈明(Hamming)窗，又稱改進的升余弦窗把升余弦窗加以改進，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為：其頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)為結(jié)果可將99.963％的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同為8π/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。5、布萊克曼(Blackman)窗為了更進一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到Blackman窗：其頻譜的幅度函數(shù)為此時主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為12π/N。圖4.52描繪的是N=51時上列5種窗函數(shù)的頻譜函數(shù)圖形，圖中以相對衰減A=201g|W(ω)/W(0)|dB為縱坐標。從圖中可以看出，這5種窗函數(shù)的旁瓣衰減依次增大，主瓣寬度依次加寬。圖4.53所示的是用這5種窗函數(shù)設(shè)計的低通FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。窗函數(shù)的長度N＝51，理想低通濾波器的截止頻ωc=π/2。從圖中可看出，用矩形窗設(shè)計的濾波器的過渡帶最窄，但阻帶衰減指標最差，僅有-21dB左右。而用布萊克曼窗設(shè)計的阻帶衰減指標最好，可達-74dB，但過渡帶最寬，約為矩形窗的3倍。6、凱澤(Kaiser)窗這是一種適應(yīng)性較強的窗，其窗函數(shù)的表示式為其中，I0(x)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。它可用以下的級數(shù)來計算：在實際應(yīng)用中，級數(shù)取15～25項就可以達到足夠的精度。凱澤窗是一族窗函數(shù)。β是可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)β值可以改變主瓣的寬度和旁瓣的幅度，β的典型值在4<β<9范圍內(nèi)。凱澤窗的曲線示于圖4.55中。當(dāng)n=(N-1)/2(即中點)時，ω(n)=1，當(dāng)n從中點向兩邊變化時，ω(n)逐漸減小，β越大，ω(n)變化愈快。當(dāng)n=0和n=N-1時，ω(0)=ω(N-1)=1/I0(β)。在上圖中，β=5.44的曲線接近于哈明窗，β=8.5的曲線與Blackman窗相近，而β=0的曲線就是矩形窗。參數(shù)β選得越大，則ω(n)窗越窄，而頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度也相應(yīng)增加。因而改變β值就可對主瓣寬度與旁瓣衰減進行選擇。可以看出，阻帶最小衰減只由窗形狀決定，不受N的影響，而過渡帶的寬度則隨窗寬N的增加而減小。窗函數(shù)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟：(1)給出希望設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)；(2)根據(jù)允許的過渡帶寬度及阻帶衰減，初步選定窗函數(shù)和N值；(3)計算以下積分，求出hd(n)；或(4)將hd(n)與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)；(5)計算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗證是否達到所要求的指標或從而得到H(ω)和φ(ω)。窗函數(shù)法計算中的主要問題其一，需要預(yù)先確定窗函數(shù)的形式和窗序列的點數(shù)N，以滿足給定的頻率響應(yīng)指標，從而很難準確控制濾波器通帶的邊緣；其二，若Hd(ejω)不能用簡單函數(shù)表示，則計算式(4.97)的積分非常困難。第一個問題只有通過多次設(shè)計來解決。如圖4.56所示，理想低通濾波器的截止頻率為ωc，由于窗函數(shù)主瓣的作用而產(chǎn)生過渡帶，出現(xiàn)了通帶截止頻率ω1和阻帶截止頻率ω2。在ω1和ω2處的衰減是否滿足通帶和阻帶的要求，也就是ω1和ω2是否就是所需要的通帶和阻帶的截止頻率，這是不一定的。為了得到滿意的結(jié)果，不得不假設(shè)不同的ωc，進行多次設(shè)計。例如，假設(shè)要求設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器在ω=0.25π處有-3dB的衰減，設(shè)計時先選擇理想低通濾波器的ωc=0.25π，得到的FIR數(shù)字濾波器在ω=0.25π處衰減為-6dB左右，不符合要求；然后改選ωc=0.30π進行設(shè)計，得到的FIR數(shù)字濾波器在ω=0.2π處的衰減恰好為-3dB左右。第二個問題的解決辦法是用求和來代替積分，以便在計算機上計算，也就是要計算離散傅里葉反變換，一般都采用FFT來計算。由式(4.97)知將積分限分成M段，也就是令抽樣頻率為則有頻域的抽樣，造成時域序列的周期延拓，延拓周期是M，即實際上，由于hd(n)隨n增加衰減很快，一般只要M足夠大，即M>>N，在窗口范圍內(nèi)能很好地逼近hd(n)。窗函數(shù)法的優(yōu)點是簡單，有閉合形式的公式可循，因而很實用。其缺點是通帶、阻帶的截止頻率不易控制。例4.7設(shè)計一個滿足下式要求的FIR線性相位低通數(shù)字濾波器

0.98≤|H(ejω)|≤1.02，0≤|ω|≤0.18π|H(ejω)|≤0.003，0.22π≤|ω|≤π(1)選擇合適的窗函數(shù)。(2)求濾波器的階數(shù)。(3)求理想低通濾波器的截止頻率ωc和濾波器的時延α。(4)求濾波器的單位取樣響應(yīng)。解：阻帶衰減為

20log(0.003)=-50.5dB查P146，表4.2，選擇哈明窗可滿足阻帶衰減的要求。(2)題目要求的過渡帶寬度為

Δω=0.22π-0.18π=0.04π或Δf=Δω/2π=0.02由表4.2知道，哈明窗的過渡帶寬度Δω與濾波器的階數(shù)N有下列關(guān)系：Δω=8π/N，從而N=8π/Δω=8π/0.04π=200(3)ωc=(ωP+ωT)/2=(0.18π+0.22π)/2=0.20π濾波器的時延α=(N-1)/2=199/2=99.5，取α=100。(4)濾波器的單位取樣響應(yīng)因濾波器的頻率特性為H(ejω)=|H(ejω)|e-jωα所以濾波器的單位取樣響應(yīng)為4.6.2頻率取樣法窗函數(shù)法是從時域出發(fā)，把理想的hd(n)用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的h(n)，以此h(n)來近似理想的hd(n)，這樣得到的頻率響應(yīng)H(ejω)逼近于我們所要求的理想的頻率響應(yīng)Hd(ejω)。頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)加以等間隔抽樣，所以稱之為頻率取樣法。然后以此Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即令知道H(k)后，由DFT定義，可以用領(lǐng)域的這N個抽樣值H(k)來唯一確定有限長序列h(n)，而由頻域采樣的內(nèi)插公式(3.50)知道，利用這N個頻域抽樣值H(k)同樣可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及頻率響應(yīng)H(ejω)。這個H(z)或H(ejω)將逼近H(d)或Hd(ejω)。根據(jù)書本P.78頻率取樣，可以得到內(nèi)插公式：(4.105)FIR濾波器的頻率響應(yīng)也可用H(k)表示：(4.106)其中φ(ω)為內(nèi)插函數(shù)，將φ(ω)代入4.106，化簡后可得式(4.105)和式(4.106)是用頻率取樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的理論基礎(chǔ)。從內(nèi)插公式我們看到，在各頻率抽樣點上，濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等，即但是在抽樣點之間的頻響則是由各抽樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀，理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小，如下圖(b)梯形理想頻率特性所示。反之，如果抽樣點之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值之誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點附近，就會產(chǎn)生肩峰和波紋，如圖(a)矩形理想頻率特性所示。一般來說，在過渡帶的頻率響應(yīng)特性變化較陡，在通帶或阻帶內(nèi)的變化比較平緩，因此我們重點考慮過渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計問題。為了提高逼近質(zhì)量，使逼近誤差更小，也就是減小在通帶邊緣由于抽樣點的陡然變化而引起的起伏振蕩(這種起伏振蕩就使得阻帶內(nèi)最小衰減很小)，和窗函數(shù)法的平滑截斷一樣，這里是使理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點的邊緣，加上一些過渡的抽樣點，這些點上抽樣的最佳值由計算機算出。這樣的結(jié)果，就增加了過渡帶，減小了頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，因而增大了阻帶最小衰減。這些抽樣點上的取值不同，效果也就不同，因為由頻率抽樣公式看出，每一個頻率抽樣值，都要產(chǎn)生一個與常數(shù)sin(ωN/2)/sin(ω/2)成正比并且在頻率上位移2πk/N的頻率響應(yīng)，而FIR濾波器的頻率響應(yīng)就是H(k)與內(nèi)插函數(shù)φ(ω-2πk/N)的線性組合。如果精心設(shè)計過渡帶的抽樣值，就有可能使它的相鄰頻帶(通帶、阻帶)的波紋得以減小，從而設(shè)計出較好的濾波器。一般過渡帶取一、二、三點抽樣值即可得到滿意結(jié)果。在低通設(shè)計中，不加過渡抽樣點時，阻帶最小衰減為-20dB，一點過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計，阻帶最小衰減可提高到-44dB到-54dB左右，二點過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計可達-65dB到-75dB左右，而加三點過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計則可達-85dB到-95dB左右。頻率取樣型FIR濾波器設(shè)計步驟給定理想濾波器頻率響應(yīng)。根據(jù)過渡帶寬和阻帶衰減確定過渡點數(shù)和h(n)長度N。。由IFFT計算IDFT得到。頻率取樣方法的優(yōu)點是，可以直接在頻域中用選擇過渡取樣值的方法，來得到良好的設(shè)計效果，適合于最優(yōu)化設(shè)計。這種方法的缺點是，頻率控制點的位置受到頻率軸上的N個取樣點的限制，因而濾波器的截止頻率不易控制。如果要自由地選擇截止頻率，就必須增加取樣點數(shù)N，這樣做是不經(jīng)濟的。例利用頻率取樣法，設(shè)計一個低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形，已知ωc=0.5π，抽樣點數(shù)為奇數(shù)N=33，要求濾波器具有線性相位。解：根據(jù)指標，可畫出頻率取樣后的H(k)序列，如下圖。由于|H(k)|是對稱于ω=π的，我們只對0≤ω≤π即0≤k≤16的區(qū)間感興趣。故可將π≤ω≤2π即17≤k≤32的圖形略去不畫。截止頻率ωc=0.5π滿足16π/33≤ωc≤17π/33，按頻率取樣方式設(shè)計，N=33，則將以上值代入H(ejω)，得到按此式計算的結(jié)果如下圖所示。由圖看出過渡帶寬為2π/33，而最小阻帶衰減則約為-20dB。這一衰減在大多數(shù)情況下是不令人滿意的。為了改善頻率特性，以滿足指標要求，可在通帶和阻帶交界處安排一個或幾個不等于零也不等于l的抽樣值。本例中用優(yōu)化算法算出在k=9處，|H(9)|=0.5，則得如下圖(a)所示結(jié)果。這相當(dāng)于加寬過渡帶，其寬度為2×2π/N=4π/33，算出阻帶最小衰減約為-40dB左右，如下圖(b)所示。如果要進一步增加阻帶衰減，可再添上第二個不等于1也不等于零的取樣，這樣過渡帶又加寬了，如果不允許再增大過渡帶寬，而又希望增大阻帶衰減，還可增加抽樣點數(shù)N，例如同樣是