《noip教程動(dòng)態(tài)規(guī)劃》課件

NOIP教程-動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃是算法設(shè)計(jì)中一種重要的思想。它通過(guò)將復(fù)雜問(wèn)題分解成更小的子問(wèn)題，并存儲(chǔ)子問(wèn)題的解，從而避免重復(fù)計(jì)算。動(dòng)態(tài)規(guī)劃概述最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問(wèn)題的最優(yōu)解可以由子問(wèn)題的最優(yōu)解構(gòu)成。重疊子問(wèn)題子問(wèn)題可能被重復(fù)求解多次。遞推公式使用遞推關(guān)系來(lái)計(jì)算子問(wèn)題的解。問(wèn)題類型1最優(yōu)化問(wèn)題尋找最優(yōu)解，例如最大值、最小值、最短路徑等。2計(jì)數(shù)問(wèn)題計(jì)算滿足特定條件的方案數(shù)量，例如排列組合問(wèn)題。3判定問(wèn)題判斷是否滿足特定條件，例如判斷是否存在合法方案。4游戲問(wèn)題計(jì)算游戲結(jié)果，例如判斷勝負(fù)、最佳策略等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思路分解問(wèn)題將復(fù)雜問(wèn)題分解成更小的子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題都對(duì)應(yīng)一個(gè)狀態(tài)。存儲(chǔ)結(jié)果使用表格或數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)每個(gè)子問(wèn)題的解，避免重復(fù)計(jì)算。狀態(tài)轉(zhuǎn)移定義狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系，根據(jù)子問(wèn)題的解來(lái)推導(dǎo)出最終問(wèn)題的解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本步驟1定義狀態(tài)用數(shù)組或其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)問(wèn)題中每個(gè)子問(wèn)題的解。2確定初始條件為狀態(tài)數(shù)組的初始值賦予適當(dāng)?shù)闹怠?狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通過(guò)子問(wèn)題的解構(gòu)建當(dāng)前問(wèn)題的解。4計(jì)算結(jié)果根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，遞推計(jì)算出最終答案。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決問(wèn)題需要依次完成上述步驟，每個(gè)步驟都至關(guān)重要。編碼技巧代碼可讀性清晰的代碼結(jié)構(gòu)、合理的命名和注釋是編寫高質(zhì)量代碼的關(guān)鍵。調(diào)試技巧掌握調(diào)試工具和方法，能夠快速定位并解決代碼中的錯(cuò)誤。性能優(yōu)化了解算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，選擇合適的算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以提高效率。狀態(tài)定義狀態(tài)的定義狀態(tài)是指在動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題中用來(lái)描述問(wèn)題的某個(gè)階段所處的狀態(tài)。它通常包含一些重要的信息，例如當(dāng)前所處的狀態(tài)下，已經(jīng)做出了哪些決策，以及當(dāng)前的資源情況。狀態(tài)的表示狀態(tài)可以用不同的方式表示，例如使用數(shù)組、列表、字典或其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。選擇合適的狀態(tài)表示方式可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決過(guò)程。初始條件邊界條件動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通常需要一些初始條件，這些條件是問(wèn)題的基本情況，可以幫助我們建立遞歸關(guān)系。特殊情況在某些情況下，需要考慮特殊情況，例如當(dāng)問(wèn)題規(guī)模為零或一時(shí)的結(jié)果。初始值動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的狀態(tài)通常需要一個(gè)初始值，這個(gè)值通常是問(wèn)題的初始狀態(tài)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程定義了從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。它描述了如何利用已知狀態(tài)的值來(lái)計(jì)算未知狀態(tài)的值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通常具有遞歸特性，可以利用之前計(jì)算的結(jié)果來(lái)推導(dǎo)出當(dāng)前狀態(tài)的值。實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)代碼實(shí)現(xiàn)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，編寫代碼實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。通常，代碼實(shí)現(xiàn)需要使用多維數(shù)組或其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)狀態(tài)值。代碼調(diào)試仔細(xì)調(diào)試代碼，確保代碼邏輯正確，并且能正確處理邊界情況和特殊情況。代碼優(yōu)化根據(jù)具體問(wèn)題，考慮代碼優(yōu)化方法，例如空間優(yōu)化、時(shí)間優(yōu)化等。時(shí)間復(fù)雜度分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的時(shí)間復(fù)雜度通常取決于狀態(tài)空間的大小和狀態(tài)轉(zhuǎn)移的次數(shù)。狀態(tài)空間大小狀態(tài)轉(zhuǎn)移次數(shù)時(shí)間復(fù)雜度O(N)O(N)O(N^2)O(N*M)O(N*M)O(N^2*M^2)對(duì)于一些問(wèn)題，可以使用一些技巧優(yōu)化時(shí)間復(fù)雜度，例如記憶化搜索、滾動(dòng)數(shù)組等。背包問(wèn)題經(jīng)典問(wèn)題給定一個(gè)背包，容量為W，和N件物品，每件物品有重量w[i]和價(jià)值v[i]。要求選擇物品放入背包，使總價(jià)值最大，且不超過(guò)背包容量。基本思路對(duì)于每一個(gè)物品，可以選擇放或不放進(jìn)背包。使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃，記錄每個(gè)狀態(tài)下的最大價(jià)值，并進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移。背包問(wèn)題的經(jīng)典案例0/1背包問(wèn)題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典案例，也是學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的入門問(wèn)題。它通常用于解決有限資源分配問(wèn)題，例如如何在有限的背包容量下選擇最優(yōu)的物品組合。另一個(gè)經(jīng)典案例是完全背包問(wèn)題，它允許重復(fù)選擇同一物品，解決的是如何最大化價(jià)值，并允許重復(fù)使用物品。最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題定義給定兩個(gè)字符串，求它們的最長(zhǎng)公共子序列。應(yīng)用生物信息學(xué)，文本編輯，代碼比較。示例字符串"abcbdab"和"bdcaba"的最長(zhǎng)公共子序列為"bcba"。最長(zhǎng)上升子序列問(wèn)題11.定義找到序列中最長(zhǎng)的嚴(yán)格遞增子序列，子序列不要求連續(xù)。22.算法使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃，每個(gè)位置存儲(chǔ)當(dāng)前位置的最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度。33.狀態(tài)轉(zhuǎn)移從前一個(gè)位置開始遍歷，找到所有小于當(dāng)前位置的元素，更新當(dāng)前位置的最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度。44.優(yōu)化使用二分查找優(yōu)化，降低時(shí)間復(fù)雜度，提高效率。編輯距離問(wèn)題11.問(wèn)題定義編輯距離是衡量?jī)蓚€(gè)字符串之間相似度的指標(biāo)，計(jì)算將一個(gè)字符串轉(zhuǎn)換為另一個(gè)字符串所需的最小編輯操作次數(shù)。22.編輯操作常用的編輯操作包括插入、刪除和替換字符。33.動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通過(guò)構(gòu)建一個(gè)二維表格來(lái)記錄兩個(gè)字符串所有子串之間的編輯距離，并逐步求解。44.應(yīng)用場(chǎng)景廣泛應(yīng)用于自然語(yǔ)言處理、文本比較、拼寫糾錯(cuò)等領(lǐng)域。最小路徑和問(wèn)題路徑規(guī)劃給定一個(gè)二維矩陣，尋找從左上角到右下角的最短路徑，路徑只能向下或向右移動(dòng)。狀態(tài)定義dp[i][j]表示從左上角到位置(i,j)的最短路徑總和。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+matrix[i][j]數(shù)字三角形問(wèn)題問(wèn)題描述給定一個(gè)數(shù)字三角形，從頂點(diǎn)出發(fā)，每次只能向下走一步，到達(dá)最底層，求路徑上數(shù)字之和的最大值。動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路定義狀態(tài)dp[i][j]表示從頂點(diǎn)到位置(i,j)的最大路徑和。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j]棋盤問(wèn)題棋盤格棋盤問(wèn)題通常涉及在棋盤上移動(dòng)棋子或其他元素。棋盤格的結(jié)構(gòu)可以是二維數(shù)組或矩陣。移動(dòng)規(guī)則棋盤問(wèn)題通常具有定義好的移動(dòng)規(guī)則，例如馬的“日”字形走法或車的直線移動(dòng)。目標(biāo)狀態(tài)目標(biāo)狀態(tài)通常是將棋子移動(dòng)到特定的位置或達(dá)到某個(gè)條件，例如吃掉所有對(duì)方的棋子。優(yōu)化策略動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用于尋找最優(yōu)解，例如最短路徑、最少步數(shù)或最大獲勝概率。數(shù)位dp問(wèn)題數(shù)位dp原理數(shù)位dp利用數(shù)字的位數(shù)進(jìn)行遞推，通常用于解決與數(shù)字位數(shù)相關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題。狀態(tài)定義通常使用dp[i][j]表示從高位到第i位，當(dāng)前位數(shù)為j時(shí)的方案數(shù)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程根據(jù)題目條件，定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，將當(dāng)前狀態(tài)與前一個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)。時(shí)間復(fù)雜度數(shù)位dp的時(shí)間復(fù)雜度通常為O(10^n)，n為數(shù)字的位數(shù)。概率dp問(wèn)題概率DP的特點(diǎn)概率DP解決的問(wèn)題中通常包含概率信息。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程需要考慮概率因素，并進(jìn)行累加或求期望等操作。這類問(wèn)題通常需要使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想來(lái)解決，并結(jié)合概率論的知識(shí)進(jìn)行分析。應(yīng)用場(chǎng)景概率DP可以解決許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，例如：隨機(jī)游走，游戲勝率分析，股票價(jià)格預(yù)測(cè)等。在處理這類問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)建立概率模型，并利用DP算法來(lái)求解最優(yōu)解。樹形dp問(wèn)題樹形結(jié)構(gòu)樹形dp問(wèn)題通常涉及以樹形結(jié)構(gòu)表示數(shù)據(jù)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)子問(wèn)題。子問(wèn)題之間的關(guān)系以樹狀關(guān)系表現(xiàn)。自底向上樹形dp通常采用自底向上的方法，從葉子節(jié)點(diǎn)開始計(jì)算，逐層向上遞推，最終得到根節(jié)點(diǎn)的答案。狀態(tài)定義狀態(tài)定義通常依賴于節(jié)點(diǎn)的屬性，例如子樹大小，最長(zhǎng)路徑，最小代價(jià)等等。狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程通?；谶f歸關(guān)系，將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)與子節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，計(jì)算得到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)。狀態(tài)壓縮dp問(wèn)題狀態(tài)壓縮dp將狀態(tài)集合中的所有狀態(tài)壓縮成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，使用位運(yùn)算來(lái)枚舉狀態(tài)，提高效率。旅行商問(wèn)題經(jīng)典問(wèn)題，求解從一個(gè)城市出發(fā)，遍歷所有城市并返回原點(diǎn)最短路徑。區(qū)間dp問(wèn)題區(qū)間劃分將問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)間。遞推求解利用子問(wèn)題的解，逐步合并區(qū)間，最終求解整個(gè)問(wèn)題的解。經(jīng)典應(yīng)用例如石子合并、矩陣鏈乘、最長(zhǎng)公共子序列等問(wèn)題。記憶化搜索11.遞歸記憶化搜索本質(zhì)上是遞歸算法的優(yōu)化方法。22.緩存通過(guò)緩存中間結(jié)果，避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。33.狀態(tài)將每個(gè)狀態(tài)的結(jié)果存入緩存，下次遇到相同狀態(tài)時(shí)直接讀取。44.動(dòng)態(tài)規(guī)劃記憶化搜索與動(dòng)態(tài)規(guī)劃有著密切聯(lián)系，它們都利用了狀態(tài)之間的依賴關(guān)系。優(yōu)化技巧時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化降低時(shí)間復(fù)雜度，提升運(yùn)行效率，例如使用更優(yōu)算法或數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)?？臻g復(fù)雜度優(yōu)化減少空間消耗，節(jié)省內(nèi)存，例如使用更節(jié)省空間的算法或數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。代碼優(yōu)化精簡(jiǎn)代碼，提高代碼可讀性，例如使用更簡(jiǎn)潔的表達(dá)方式或更合理的代碼結(jié)構(gòu)。應(yīng)用場(chǎng)景游戲開發(fā)例如，在游戲開發(fā)中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來(lái)優(yōu)化游戲角色的屬性分配，或者計(jì)算游戲關(guān)卡的最佳通關(guān)路徑。金融投資例如，在股票投資中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來(lái)預(yù)測(cè)股票價(jià)格走勢(shì)，或制定最佳的投資策略。數(shù)據(jù)分析例如，在數(shù)據(jù)挖掘中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來(lái)找到數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律，或者進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化例如，在網(wǎng)絡(luò)路由中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以用來(lái)找到最短的網(wǎng)絡(luò)路徑，或者優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)資源分配。小結(jié)與思考總結(jié)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種強(qiáng)大的技術(shù)，它能有效地解決各種問(wèn)題。它需要清晰的思維和邏輯分析，并能幫助我們優(yōu)化程序效率。思考在學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的過(guò)程中，我們應(yīng)該注重理解其原理，并將其應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。探索更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，提升解決問(wèn)題的能力。練習(xí)題推薦1經(jīng)典練習(xí)NOIP真題，經(jīng)典習(xí)題庫(kù)，熟練掌握基礎(chǔ)