《相關圖及回歸分析》課件

相關圖及回歸分析數(shù)據(jù)可視化是統(tǒng)計學的重要組成部分。相關圖是數(shù)據(jù)可視化的一種常用方法，它能幫助我們理解變量之間的關系。回歸分析則進一步探究變量之間的關系，并建立預測模型。課程學習目標掌握相關圖繪制和解讀了解相關圖的類型、繪制方法和解讀技巧，能利用相關圖分析變量之間的關系。掌握相關系數(shù)的計算和應用了解相關系數(shù)的定義和特性，能運用公式計算相關系數(shù)，并進行相關分析。理解回歸分析的基本原理掌握線性回歸的定義和假設，了解最小二乘法擬合直線的步驟，能進行簡單的回歸分析。了解回歸模型的評價指標了解R平方、調(diào)整R平方、殘差分析等回歸模型評價指標，能對回歸模型進行評估。相關圖簡介散點圖散點圖是用來表示兩個變量之間關系的圖形。線性關系相關圖可以揭示變量之間是否存在線性關系。非線性關系相關圖也可以顯示非線性關系，例如曲線關系。相關系數(shù)的定義和特性相關系數(shù)的定義相關系數(shù)（r）反映兩個變量之間線性關系的密切程度，取值范圍為-1到1。相關系數(shù)的特性正相關：r>0，兩個變量同向變化負相關：r<0，兩個變量反向變化無相關：r=0，兩個變量之間無線性關系相關系數(shù)的強度r=1或-1，完美線性相關r接近1或-1，強線性相關r接近0，弱線性相關相關系數(shù)的計算1協(xié)方差衡量兩個變量之間線性關系的強度和方向2標準差度量單個變量的離散程度3公式計算將協(xié)方差除以兩個變量的標準差之積相關系數(shù)的計算方法基于協(xié)方差和標準差。協(xié)方差反映兩個變量之間的線性關系，而標準差衡量單個變量的離散程度。通過將協(xié)方差除以兩個變量的標準差之積，得到相關系數(shù)，它是一個介于-1和1之間的數(shù)值，表示兩個變量之間線性關系的強度和方向。相關圖的繪制及解釋數(shù)據(jù)準備選擇兩個變量，并收集其數(shù)據(jù)，確保數(shù)據(jù)是定量的，且具有可比性。繪制散點圖以一個變量作為橫軸，另一個變量作為縱軸，繪制散點圖，觀察兩變量之間的關系趨勢。解釋相關關系根據(jù)散點圖的形狀和趨勢，判斷兩變量之間的相關關系類型，例如線性正相關、線性負相關或非線性相關。確定相關系數(shù)使用相關系數(shù)公式計算兩個變量之間的相關系數(shù)，并判斷其大小和方向，以確認相關關系的強度。相關分析的步驟1確定研究問題明確分析目的和變量2數(shù)據(jù)收集收集相關數(shù)據(jù)，確保樣本量足夠3相關圖繪制直觀地展現(xiàn)變量間關系4相關系數(shù)計算量化變量間線性關系強度5結論解釋解釋分析結果，并給出建議相關分析的步驟可以幫助我們理解變量間的聯(lián)系。通過繪制相關圖，可以直觀地觀察變量間的關系。然后，計算相關系數(shù)可以量化這種關系，并確定其強度。最后，我們可以根據(jù)結果解釋分析結果，并得出結論。相關分析的應用場景11.預測根據(jù)變量之間的關系預測未來結果，例如根據(jù)銷售額預測利潤。22.控制識別關鍵因素并控制它們，例如調(diào)整廣告預算以最大化銷售額。33.決策提供更準確的決策依據(jù)，例如選擇最優(yōu)的投資方案或制定營銷策略。44.研究揭示變量之間的關系，例如探索學生成績和學習時間之間的關系。線性回歸的定義和假設線性關系線性回歸模型假設因變量和自變量之間存在線性關系，可以使用直線來描述它們之間的關系。獨立性假設每個觀測值都是獨立的，每個觀測值之間沒有相互影響，例如每個學生的成績不會受到其他學生的成績影響。正態(tài)分布假設誤差項服從正態(tài)分布，誤差項是實際觀測值與預測值之間的差異，正態(tài)分布保證了模型的預測結果的可靠性。同方差性假設誤差項的方差在整個數(shù)據(jù)范圍內(nèi)是恒定的，誤差項的方差如果不同，則模型的預測結果可能出現(xiàn)偏差。最小二乘法擬合直線1最小二乘法原理找到一條直線，使所有樣本點到直線的距離平方和最小。2公式推導利用微積分求解最小值，得到直線方程的參數(shù)公式。3軟件實現(xiàn)統(tǒng)計軟件如R、Python等提供了便捷的函數(shù)進行線性回歸分析。殘差分析及模型診斷殘差散點圖觀察殘差的隨機分布，檢測模型的線性假設。殘差直方圖檢查殘差的正態(tài)性假設，判斷誤差是否符合正態(tài)分布。殘差vs擬合值評估模型的方差齊性，驗證誤差方差是否相等。Cook距離圖識別對回歸模型影響較大的樣本點，分析異常值的影響?；貧w系數(shù)的統(tǒng)計推斷假設檢驗對回歸系數(shù)進行假設檢驗，以確定它們是否顯著非零，從而判斷自變量對因變量的影響是否顯著。置信區(qū)間計算回歸系數(shù)的置信區(qū)間，以確定其真實值的范圍，從而評估估計值的可靠性。模型的顯著性檢驗檢驗假設檢驗總體回歸方程是否有意義，檢驗回歸模型整體對因變量的影響是否顯著。P值根據(jù)F統(tǒng)計量計算P值，若P值小于顯著性水平，則拒絕原假設，認為回歸模型整體顯著。結論模型顯著性檢驗結果表明模型是否能夠有效解釋因變量的變化。截距和斜率的置信區(qū)間置信區(qū)間用于估計截距和斜率的真實值范圍。置信區(qū)間可以幫助我們評估模型的精度和可靠性。置信區(qū)間置信水平公式截距置信區(qū)間95%b0±t(α/2,n-2)*SE(b0)斜率置信區(qū)間95%b1±t(α/2,n-2)*SE(b1)其中，b0和b1分別表示截距和斜率的估計值，SE(b0)和SE(b1)分別表示截距和斜率的標準誤，t(α/2,n-2)表示自由度為n-2的t分布的α/2分位數(shù)。預測和預測區(qū)間1預測值根據(jù)回歸模型進行預測2預測區(qū)間預測值的置信區(qū)間3預測精度預測值和真實值的偏差預測區(qū)間是預測值的可信度范圍。根據(jù)置信水平，預測區(qū)間可以提供預測精度。多元線性回歸模型1多個自變量模型包含多個自變量，用來預測一個因變量的值。2線性關系假設因變量和每個自變量之間存在線性關系。3模型方程模型方程包含截距項和每個自變量的系數(shù)。4應用場景適用于分析多個因素對一個結果的影響。多元回歸的假設檢驗模型整體顯著性檢驗F統(tǒng)計量用來測試模型的整體顯著性，檢驗所有自變量對因變量的聯(lián)合影響是否顯著。自變量系數(shù)的顯著性檢驗t檢驗用來測試每個自變量系數(shù)的顯著性，檢驗每個自變量對因變量的影響是否顯著。多重共線性檢驗如果自變量之間存在較強的線性關系，則可能導致回歸系數(shù)的估計不穩(wěn)定，需要進行多重共線性診斷和處理。殘差分析檢驗殘差是否滿足正態(tài)性、獨立性和同方差性的假設，以確保模型的準確性和可靠性?；貧w模型診斷殘差分析殘差分析是檢驗模型假設的重要步驟，通過觀察殘差的分布、趨勢、和自相關性，可以判斷模型是否適合數(shù)據(jù)，以及是否有異常值等問題。影響點分析影響點是指對回歸模型結果有較大影響的觀測值，識別影響點并分析其原因，可以幫助我們改進模型或剔除異常值。共線性診斷共線性是指解釋變量之間存在較強的線性關系，會導致回歸系數(shù)估計不穩(wěn)定，影響模型的解釋性和預測能力。R平方和調(diào)整R平方R平方和調(diào)整R平方是評價回歸模型擬合優(yōu)度的兩個重要指標。R平方表示模型解釋的因變量變異的比例，取值范圍為0到1，數(shù)值越大表示模型擬合越好。調(diào)整R平方考慮了模型中變量的個數(shù)，對模型的復雜度進行了調(diào)整，避免了因增加變量而導致的R平方虛高。0.8R平方表示模型解釋了80%的因變量變異0.75調(diào)整R平方考慮了模型復雜度解釋性強的變量選擇變量選擇的目標選擇對因變量影響最大、解釋性強的變量，提升模型的預測能力和可解釋性。常用的變量選擇方法逐步回歸前向選擇后向消除最佳子集選擇變量重要性評估通過統(tǒng)計指標，例如p值、標準化回歸系數(shù)等，評估變量對模型貢獻的大小。共線性診斷和處理1共線性識別通過分析變量之間的相關系數(shù)、方差膨脹因子(VIF)和特征值來識別共線性。2共線性影響共線性會導致回歸系數(shù)估計不穩(wěn)定，標準誤差增大，影響模型的解釋性和預測能力。3處理方法刪除相關變量，使用嶺回歸或套索回歸等正則化方法來處理共線性。4模型評估在處理共線性后，需要重新評估模型的性能，確保模型的可靠性和有效性。非線性回歸模型非線性關系當自變量和因變量之間存在非線性關系時，需要采用非線性回歸模型進行分析。多元回歸方程非線性回歸模型可以用多種形式的方程表示，例如多項式回歸、指數(shù)回歸和對數(shù)回歸。模型選擇選擇合適的非線性回歸模型取決于數(shù)據(jù)特征和研究目標。廣義線性模型擴展線性回歸模型廣義線性模型（GLM）是線性回歸模型的擴展，它可以處理各種類型的響應變量，例如二進制、計數(shù)或泊松分布。鏈接函數(shù)和分布GLM使用鏈接函數(shù)將線性預測器與響應變量的分布聯(lián)系起來，例如邏輯回歸和泊松回歸。應用廣泛GLM在生物學、醫(yī)學、經(jīng)濟學和社會科學等領域被廣泛應用于分析和預測。生存分析模型生存時間生存時間是指從某一時間點（例如治療開始）到某個特定事件發(fā)生的時間，例如死亡、復發(fā)或疾病進展。事件發(fā)生生存分析主要關注的是特定事件發(fā)生的概率以及影響事件發(fā)生時間因素的分析。Kaplan-Meier曲線常用的生存分析方法之一，用于估計生存函數(shù)，并比較不同組的生存率差異。Cox比例風險模型另一個常用的方法，用于分析影響生存時間的因素，并確定每個因素的影響大小。時間序列分析模型時間依賴性時間序列數(shù)據(jù)展現(xiàn)出隨著時間的推移，數(shù)據(jù)點之間存在依賴關系。季節(jié)性時間序列數(shù)據(jù)可能表現(xiàn)出周期性的模式，例如年、月或季度波動。隨機性時間序列數(shù)據(jù)包含隨機波動成分，這使得預測變得更加困難。數(shù)據(jù)挖掘中的回歸分析預測和分析回歸分析可以用于預測未來趨勢和分析不同因素之間的關系，例如預測客戶購買行為或分析產(chǎn)品銷售趨勢。數(shù)據(jù)模式識別通過識別數(shù)據(jù)中的模式和關系，回歸分析可以幫助發(fā)現(xiàn)潛在的商業(yè)機會和風險，例如識別導致客戶流失的關鍵因素或分析產(chǎn)品價格對銷售的影響。總結及未來展望回歸分析應用廣泛回歸分析廣泛應用于各個領域，包括經(jīng)濟學、金融、醫(yī)學、工程學等。數(shù)據(jù)挖掘與機器學習回歸分析是數(shù)據(jù)挖掘和機器學習的重要組