2023-2024學(xué)年江蘇省無(wú)錫一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年江蘇省無(wú)錫一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在下列各組向量中，可以作為基底的是(

)A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e12.已知直角梯形OABC上下兩底分別為分別為2和4，高為22，則利用斜二測(cè)畫(huà)法所得其直觀圖的面積為(

)A.62 B.C.3 D.63.關(guān)于向量a，b，下列命題中，正確的是(

)A.若|a|=|b|，則a=b B.若|a|>|b|，則a>b4.如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)圓石做成.磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移，在滾動(dòng)過(guò)兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末.如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為16π，則圓柱底面圓的半徑為(

)A.4

B.2

C.42

5.正四面體A?BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則不正確的選項(xiàng)為(

)A.EF//平面ACD B.AC⊥BD

C.AB⊥平面FGH D.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面6.已知M是邊長(zhǎng)為1的正△ABC的邊AC上靠近C的四等分點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，則BM?MN的值是(

)A.?12 B.?14 C.7.如圖，為了測(cè)量某鐵塔的高度，測(cè)量人員選取了與該塔底B在同一平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠CDB=37°，∠BCD=68°，CD=37.9米，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為64°，則該鐵塔的高度約為(????)(參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，6≈2.4，tan64°≈2.0A.40米

B.14米

C.48米

D.52米8.半正多面體亦稱“阿基米德體”或“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別在線段DE，BC上，則FM+MN+AN的最小值為(

)A.32 B.19 C.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，以下判斷正確的是(

)A.若cosA=cosB，則△ABC為等腰三角形

B.若a=5，b=15，A=30°，則符合條件的△ABC有且只有一個(gè)

C.若acosA=bcosB，則△ABC為等腰直角三角形

D.若10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，2A1E=A.三棱錐 B.直三棱柱 C.三棱臺(tái) D.四棱柱11.平行四邊形ABCD中，AB=32，AD=1，∠A=π3.動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=λAB+μA.λ=1時(shí)，|CP|的取值范圍是[0,1]

B.μ=1時(shí)，存在P使得AP?BD=0

C.AP?AB=218時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡的長(zhǎng)為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,3)，b=(x,313.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為邊AC的中點(diǎn)，c=1，BD=2，∠ABD=π4，則邊14.如今中國(guó)在基建方面世界領(lǐng)先，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD體積為83，則模型中最大球的體積為_(kāi)_____，模型中九個(gè)球的表面積之和為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，CD=2DB，P為線段AD的中點(diǎn)，記CB=a,CA=b，CP=ma+nb,m,n∈R．

(1)求m+n的值；

(2)16.(本小題15分)

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，稱四面都為直角三角形的三棱錐為“鱉臑”.如圖，三棱錐A?BCD，中AB⊥平面BCD，BC⊥CD．

(1)證明：三棱錐A?BCD為鱉臑；

(2)若E為AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為BC，BE的中點(diǎn).平面DPQ與平面ACD的交線為l．

①證明：直線PQ//平面ACD；

②判斷PQ與l的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．17.(本小題15分)

在①cosA=2c?a2b，②bcosC=(2a?c)cosB中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答．

問(wèn)題：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知_____．

(1)求B；

(2)若△ABC的外接圓半徑為1，且cosAcosC=?18，求18.(本小題17分)

我們把由平面內(nèi)夾角成60°的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“廣義坐標(biāo)系”.如圖所示，e1，e2分別為Ox，Oy正方向上的單位向量.若向量OP=xe1+ye2，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì){x,y}為向量OP的“廣義坐標(biāo)”，可記作OP={x,y}．

(1)已知a={1,2},b={2,?1}，求a+b，2a?b的“廣義坐標(biāo)”；

(2)已知a={19.(本小題17分)

在直四棱柱ABCD?QMNP中，底面ABCD為平行四邊形，PB⊥AC，E，F(xiàn)，G分別為線段AQ，DC，PA的中點(diǎn)．

(1)證明：PA=PC；

(2)證明：平面EFG//平面PBC；

(3)若PD=1，∠DAB=60°，當(dāng)PA與平面PBC所成角的正弦值最大時(shí)，求四棱錐P?ABCD的體積．

參考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.C

6.A

7.C

8.D

9.AD

10.ABC

11.AB

12.π313.514.4π3

9π15.解：(1)∵CD=2DB，P為線段AD的中點(diǎn)，

∴CP=12CA+12CD=12CA+12×23CB=12CA+13CB，16.證明：(1)因?yàn)锽C⊥CD，所以△BCD為直角三角形，

因?yàn)锳B⊥平面BCD，且BD?平面BCD，BC?平面BCD，CD?平面BCD，

所以AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，

所以△ABC和△ABD為直角三角形，

因?yàn)锽D∩AB=B，所以CD⊥平面ABC，

又因?yàn)锳C?平面ABC，所以CD⊥AD，

所以△ACD為直角三角形，

所以三棱錐A?BCD為鱉曘；

(2)①連接CE，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別為BC，BE的中點(diǎn)，所以PQ/?/CE，

且PQ?平面ACD，CE?平面ACD，所以直線PQ/?/平面ACD，

②平行，

證明：由①可得：PQ/?/平面ACD，PQ?平面DPQ，平面DPQ∩平面ACD=l，

所以PQ/?/l．

17.解：(1)若選擇條件①：因?yàn)閏osA=2c?a2b，

在△ABC中，由余弦定理可得b2+c2?a22bc=2c?a2b，

由余弦定理可得a2+c2?b2=ac，

則cosB=a2+c2?b22ac=ca2ac=12，

因?yàn)锽∈(0,π)，

所以B=π3；

若選擇條件②：因?yàn)閎cosC=(2a?c)cosB，

由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin(B+C)=2sinAcosB，

則sinA=2sinAcosB，

因?yàn)锳∈(0,π)，sinA≠0，

所以cosB=12，

因?yàn)锽∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)因?yàn)?8.解：(1)因?yàn)閍={1,2},b={2,?1}，所以a=e1+2e2，b=2e1?e2，

所以a+b=e1+2e2+2e1?e2=3e1+e2=(3,1)，

2a?b=2(e1+2e2)?(2e1?e2)=5e2=(0,5)；

(2)因?yàn)閑1，e19.解：(1)證明：如圖，連接BD，設(shè)AC∩BD=O，連接PO．

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，故PD⊥AC，

而PB⊥AC，PB∩PD=P，PB，PD?平面PDB，

故AC⊥平面PDB，而PO?平面PDB，故AC⊥PO

由四邊形ABCD為平行四邊形可得AO=OC，

所以△PAC為等腰三角形，

所以PA=PC；

(2)證明：連接EG交PD于H，連接FH，

由中位線性質(zhì)可得EG//PQ，且PQ/?/BC，

所以EG/?/BC，又EG?平面PBC，BC?平面PBC，

所以EG/?/平面PBC，

同理可得HF/?/平面PBC，

因?yàn)镋G∩HF=H，EG?平面PBC，HF?平面PBC，

所以平面EFG/?/平面PBC；

(3)過(guò)A作BC