初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)論文幾道應(yīng)用題的解法探討

Page4幾道應(yīng)用題的解法探討

今年四月份，我市小學(xué)生參與了第一屆中國小學(xué)生“九章杯”數(shù)學(xué)競賽。本文試對初賽試題中的幾道應(yīng)用題的解法，談?wù)勊阈g(shù)和方程兩種解法的運(yùn)用。

例１．（初賽題第７小題）一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)，六（１）班全班平均９１分，男生平均８９分，女生平均９２．５分。這個(gè)班女生有２４人，男生有（）人。

此題是一道與平均數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，解題所用到的“總數(shù)＝平均數(shù)×總份數(shù)”學(xué)問學(xué)生已學(xué)過。題中的等量關(guān)系是：男生的總分＋女生的總分＝全班的總分?，F(xiàn)給出它的方程解法和算術(shù)解法，以比較它們的異同點(diǎn)，從而溝通學(xué)生的解題思路。

解法１（方程法）：設(shè)該班有男生ｘ人。列表分析如右表格。從表中關(guān)系易得方程：

人數(shù)平均分總分__________________________________________________________________男生ｘ８９８９ｘ__________________________________________________________________女生２４９２．５９２．５×２４__________________________________________________________________全班２４＋ｘ９１９１（２４＋ｘ）__________________________________________________________________

８９ｘ＋９２．５×２４＝９１（２４＋ｘ）

解得：ｘ＝１８

答：男生有１８人。

解法２（算術(shù)法）：分析：全班平均９１分，是全班的男女生所得成果通過移多補(bǔ)少的法則而得到的，即把女生高于平均分的成果，補(bǔ)給低于平均分的男生后，才彼此相等的。由此列算式：

（１）女生高于全班平均分的總分是多少？也就是男生須要補(bǔ)給的總分。

（９２．５－９１）×２４＝３６（分）

（２）男生平均低于全班平均分的是多少？

９１－８９＝２（分）

（３）男生共有多少人？

３６÷２＝１８（人）。

列綜合算式：（９２．５－９１）×２４÷（９１－８９）

答：（略）。

將以上兩種解法進(jìn)行比較，對所列方程運(yùn)用同解方程的變形，可得如下算式：

∵８９ｘ＋９２．５×２４＝９１（２４＋ｘ）

８９ｘ＋９２．５×２４＝９１×２４＋９１ｘ

９１ｘ－８９ｘ＝９２．５×２４－９１×２４

ｘ（９１－８９）＝（９２．５－９１）×２４

∴ｘ＝（９２．５－９１）×２４÷（９１－８９）

從中可清晰看到：

（１）兩種解法用到的數(shù)量關(guān)系和基礎(chǔ)學(xué)問是相同的，都須要分析已知量和未知量，找出其中的相互關(guān)系，其主要區(qū)分在于解題思路不同。

（２）算術(shù)解法除用到數(shù)量關(guān)系“總分＝平均分×總?cè)藬?shù)”之外，還用到“總?cè)藬?shù)＝總分÷平均分”這一形式，列式時(shí)須要進(jìn)行逆向思索。用算術(shù)解法，思維要深刻一些，即認(rèn)識(shí)到某個(gè)團(tuán)體中的平均成果是通過該團(tuán)體中的個(gè)體移多補(bǔ)少而得到的，其思路較曲折困難。

（３）算術(shù)解法中的綜合算式事實(shí)上與未知數(shù)在等式一邊已基本解出的方程基本相像，只通過數(shù)的四則運(yùn)算就可得到答案，相對于解方程的運(yùn)算要簡潔簡潔一些。

（４）列方程解題，由于未知數(shù)ｘ作為一個(gè)已知量參與列式和運(yùn)算，較易找出已知與未知間的相等關(guān)系列出方程，一般不須要逆向思索，解題思路較簡捷清晰。

例２．（初賽題第１７小題）商店以每雙６．５０元購進(jìn)一批涼鞋，售價(jià)每雙８．７０元，當(dāng)賣剩１／４時(shí)，不僅收回了購進(jìn)這批涼鞋所付出的款，而且已獲利２０元，這批涼鞋有（）雙。

這是一道商品買賣中有關(guān)價(jià)格的應(yīng)用題，所用到的基礎(chǔ)學(xué)問“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”學(xué)生是相當(dāng)熟識(shí)的。本題中的等量關(guān)系是：商店售出這批鞋總量的（１－１／４）雙所得款減去購進(jìn)這批鞋的款等于２０元。

解法１（方程法）：設(shè)這批涼鞋有ｘ雙。

分析：商店購進(jìn)這批涼鞋的款是６．５０ｘ元，商店已售出的涼鞋是（１－１／４）ｘ雙，得款８．７０×（１－１／４）ｘ。由題意得方程：

８．７０×（１－１／４）ｘ－６．５０ｘ＝２０

解得：ｘ＝８００

答：這批涼鞋有８００雙。

解法２（算術(shù)法）：

分析：這批涼鞋售價(jià)每雙８．７０元，只售出總量的（１－１／４）雙，這就相當(dāng)于這批鞋全部售出，實(shí)際每雙售價(jià)８．７０×（１－１／４）。這是解答本題的關(guān)鍵之處，受到方程解法所列方程的啟示，運(yùn)用乘法交換率而得到，干脆理解頗為困難。要使學(xué)生通過這個(gè)思維的障礙，可以出一些鋪墊性小題，加以引導(dǎo)啟發(fā)。（１）有１００雙鞋，每雙售價(jià)１０元，當(dāng)賣剩１／４時(shí)，共賣了多少元？（２）有１００雙鞋，每雙售價(jià)１０元，而實(shí)際售價(jià)每雙少賣原售價(jià)的１／４，問這批鞋全部售完共賣了多少元？（３）比較以上兩題答案，你可得出什么結(jié)論？因此，賣出的鞋買進(jìn)賣出的差價(jià)是：８．７０×（１－１／４）－６．５０。這批鞋總獲利２０元，即全部售出后的前后差價(jià)總數(shù)是２０元，所以可得綜合算式：

２０÷［（１－１／４）×８．７０－６．５０］

計(jì)算出答案與方程解同。

比較本題兩種解法，可以明顯看到，算術(shù)解法的思維要比方程解法曲折困難得多。因而對于一些困難的應(yīng)用題，為達(dá)到順當(dāng)解題的目的，要提倡學(xué)生首先用方程解題。

從以上兩個(gè)例題，我們還可以看出：對于困難的應(yīng)用題，采納方程解法要優(yōu)于算術(shù)解法。但也不能一概而論，對詳細(xì)的題目要詳細(xì)分析，有些應(yīng)用題，采納算術(shù)解法更快更干脆。

例３．（初賽題第１２小題）一條繩子第一次剪掉１米，其次次剪掉剩余部分的１／２，第三次剪掉１米，第四次剪掉剩余部分的２／３，第五次剪掉１米，第六次剪掉剩余部分的３／４，這條繩子還剩１米。這條繩子原長（）米。

這種類型的題學(xué)生是常見的，但很少會(huì)遇到剪得這么多次的情形。其等量關(guān)系是：一條繩長減去前后剪過六次的長等于１（米）。

解法１（方程法）：設(shè)這條繩子原長ｘ米。由題意得：

第一次剪掉后剩下：ｘ－１（米），

其次次剪掉后剩下：ｘ－１－１／２（ｘ－）米，

……

第六次剪掉后剩１米，列出方程為：

ｘ－１－１／２（ｘ－１）－１－２／３［ｘ－２－１／２（ｘ－１）］－３／４｛ｘ－２－１／２（ｘ－１）－２／３［ｘ－２－１／２（ｘ－１）］｝＝１

解得：ｘ＝３３

答：這條繩子原長３３米。

這是一個(gè)多么繁瑣冗長的方程，解起來相當(dāng)麻煩，看來單純用方程解此題是不太便利的。

解法２（算術(shù)法）：

分析：這條繩子共剪過六次，從前往后考慮問題，障礙重重，越來越難。可是我們用“逆推法”倒過來想，從最終的結(jié)果動(dòng)身，依次往前推，就能順當(dāng)?shù)亓谐鏊闶剑?/p>

（１）第六次剪掉之前繩長是：１÷（１－３／４）＝４（米）

（２）第四次剪掉之前繩長是：（４＋１）÷（１－２／３）＝１５（米）

（３）其次次剪掉之前繩長是：（１５＋１）÷（１－１／２）＝３２（米）

（４）第一次剪掉之前繩長即原繩長是：３２＋１＝３３（米）

列綜合算式為：｛［１÷（１－３／４）＋１］÷（１－２／３）＋１｝÷（１－１／２）＋１

答：（略）。

通過以上三例分析，不難看出，算術(shù)和方程兩種解法對于困難的應(yīng)用題，運(yùn)用起來難易各有差別，但實(shí)質(zhì)上是可溝通的。九年義務(wù)教化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱指出：小學(xué)高年級(jí)學(xué)生要進(jìn)一步提高用算術(shù)方法和用方程解應(yīng)用題的實(shí)力。老師們在教學(xué)中兩種解法都應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生駕馭