2025屆甘肅省蘭州市第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

2025屆甘肅省蘭州市第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，過點的動直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為.給出下列四個命題：①在拋物線上滿足條件的點僅有一個；②若是拋物線準(zhǔn)線上一動點，則的最小值為；③無論過點的直線在什么位置，總有；④若點在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（）A． B． C．1 D．3．正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．4．已知實數(shù)滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．05．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．7．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．9．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．4 D．510．已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（）A． B． C． D．12．對兩個變量進(jìn)行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，下列函數(shù)模型中擬合較好的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸?shù)母怕适莀_____.14．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.15．函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.16．某校初三年級共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數(shù)據(jù)（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生有_____________個．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)不等式的解集為M，.（1）證明：；（2）比較與的大小，并說明理由.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.19．（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時，求的值．20．（12分）已知如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。（Ⅰ）求證：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比（只需寫出結(jié)果，不要求過程）．21．（12分）在中，．（1）求的值；（2）點為邊上的動點（不與點重合），設(shè)，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點，且.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

①：由拋物線的定義可知，從而可求的坐標(biāo)；②：做關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，通過分析可知當(dāng)三點共線時取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值；③：設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可知焦點坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求，從而可判斷出的關(guān)系；④：計算直線的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進(jìn)而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解：對于①，設(shè)，由拋物線的方程得，則，故，所以或，所以滿足條件的點有二個，故①不正確；對于②，不妨設(shè)，則關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，故②正確；對于③，由題意知，，且的斜率不為0，則設(shè)方程為：，設(shè)與拋物線的交點坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，，整理得，則，所以，則.故的傾斜角互補，所以，故③正確.對于④，由題意知，由③知，則，由，知，即三點在同一條直線上，故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.2、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算，同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系．掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4、B【解析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過點時，其截距最大，此時最大得，當(dāng)時，故選：B【點睛】考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.5、A【解析】項，由得到，則，故項正確；項，當(dāng)時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當(dāng)，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．6、C【解析】

由程序語言依次計算，直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當(dāng)n=2時，時，，此時輸出.故選：C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.8、A【解析】

是函數(shù)的零點，根據(jù)五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個零點為，在軸左邊第一個零點是，∴的最小值是．故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對稱性．函數(shù)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)．9、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計算它的模長．【詳解】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式，是基礎(chǔ)題．10、B【解析】

設(shè)，利用兩點間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因為是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，所以，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，，點在以為焦點的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．11、C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項.點睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù)．尤其是統(tǒng)計數(shù)時，注意要統(tǒng)計的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．12、D【解析】

作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠近哪個曲線．【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數(shù)圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側(cè)，與其他三個曲線都離得很遠(yuǎn)，因此D是正確選項，故選：D．【點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多，說明擬合效果好．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況，得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù)，再計算即得.【詳解】由題得，甲、乙兩人玩一次該游戲，共有9種情況，其中甲不輸有6種可能，故概率為.故答案為：【點睛】本題考查隨機事件的概率，是基礎(chǔ)題.14、192【解析】

根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

設(shè)，，設(shè)，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設(shè)，，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，，.當(dāng)時，易知不成立；當(dāng)時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出，再求出分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)首先求得集合M，然后結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|＞2|a-b|.試題解析：（Ⅰ）證明：記f(x)=|x-1|-|x+2|，則f(x)=，所以解得-＜x＜，故M=(-,).所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|＞2|a-b|.18、（1）直線的普通方程，圓的直角坐標(biāo)方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.19、（1）分布列見解析,（1）【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；的可能取值為0，1，1，由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.（1）先求得年齡在內(nèi)的頻率，視為概率.結(jié)合二項分布的性質(zhì)，表示出，令，化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時的值．【詳解】（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，年齡在的人數(shù)為人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．年齡在內(nèi)的人數(shù)為人．所以的可能取值為0，1，1．所以，，，所以的分市列為011．（1）設(shè)在抽取的10名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為，服從二項分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為，所以，所以．設(shè)，若，則，；若，則，．所以當(dāng)時，最大，即當(dāng)最大時，．【點睛】本題考差了離散型隨機變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，二項分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，AE⊥BD于E，能證明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）以E為坐標(biāo)原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積，再作比寫出答案即可．【詳解】（Ⅰ）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，由題意知EF⊥BD，又AE⊥BD，如圖，以E為坐標(biāo)原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)AB=BD=DC=AD=2，

則BE=ED=1，∴AE=，B