44指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長的比較課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

4.4指數(shù)函數(shù),冪函數(shù),對數(shù)函數(shù)增長的比較北師2019版必修上冊核心知識目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義.2.區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長速度的差異.3.會選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實際問題.通過三種函數(shù)的增長特征的實際應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1859年,當(dāng)澳大利亞的一個農(nóng)夫為了打獵而從外國弄來幾只兔子后,一場可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了.兔子是出了名的快速繁殖者,在澳大利亞它沒有天敵,數(shù)量不斷翻番.兔子每年能生產(chǎn)4到6次,一窩6?10只情境導(dǎo)入1950年,澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只,這個國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失.絕望之中,人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病,以對付迅速繁殖的兔子.整個20世紀(jì)中期,澳大利亞的滅兔行動從未停止過.這種現(xiàn)象能否用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解釋呢？請進入本節(jié)的學(xué)習(xí)！

給定常數(shù)a,b,c,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)、對數(shù)函數(shù)y=logbx(b>1)、冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0)都是增函數(shù)；而且當(dāng)x的值趨近于正無窮大時,y的值都是趨近于正無窮大的,那么,這3個增函數(shù)的函數(shù)值的增長快慢有什么差別呢？探究點1冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長情況x22242628210212214216248163264128256y=log2x246810121416舉例比較一下,冪函數(shù)(x>0)與對數(shù)函數(shù)y=log2x的增長情況:列表

冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)增長速度的比較

冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0)比對數(shù)函數(shù)y=logbx(b>1)增長快,而且快很多.當(dāng)b>1,c>0時,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增長快.探究點2指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長情況x202428210214220y=2x221622562202421638421048576y=x100124002800210002140022000舉例比較一下,指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)y=x100(x>0)的增長情況:列表

指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長速度的比較

當(dāng)x的值充分大時,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)比冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0)增長快,而且快很多.當(dāng)a>1,c>0時,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增長快.【總結(jié)提升】y=ax(a>1),y=logbx(b>1)和y=xc(x>0,c>0)這三個函數(shù)彼此之間增長快慢的比較,而且感受到:隨著自變量x的增大,y=ax的函數(shù)值增長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大手

y=xc的數(shù)值增長;而y=xc的數(shù)值增長又遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=logbx的函數(shù)值增長.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時,由于指數(shù)函數(shù)y=ax的值增長非常快,人們稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”。知識探究·素養(yǎng)培育探究點一

指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較[問題]觀察如表給出的函數(shù)值:xf(x)=2xg(x)=x2h(x)=log2x121024413891.5850416162532252.3219664362.58507128492.80748256643(1)函數(shù)f(x),g(x),h(x)隨著x的增大,函數(shù)值有什么共同的變化趨勢?(2)函數(shù)f(x),g(x),h(x)增長的速度有什么不同?提示:(1)函數(shù)f(x),g(x),h(x)隨著x的增大,函數(shù)值增大.(2)各函數(shù)增長的速度不同,其中f(x)=2x增長得最快,其次是g(x)=x2,最慢的是h(x)=log2x.知識點:三種函數(shù)的增長趨勢y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)增減性在(0,+∞)上

增函數(shù).圖象的變化趨勢隨x增大,近似與y軸平行隨x增大,近似與x軸平行α值較小(α<1)時,增長較慢;α值較大(α>1)時,增長較快增長速度①隨x增大,y=ax增長速度越來越大,并且當(dāng)a越大時,y=ax增長的速度越快.隨x增大,y=ax增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xα(α>0)的增長速度.②隨x增大,y=logax增長速度越來越慢,并且當(dāng)a越大時,y=logax增長速度越慢.③存在一個x0,當(dāng)x>x0時,有ax>xα>logax[例1](1)下列函數(shù)中,增長速度最快的是(

)(A)y=2021x(B)y=x2021(C)y=log2021x(D)y=2021x(2)四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表:x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是

.解析:(2)以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化.從題表中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,且都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,因此可知y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化.答案:(2)y2變式訓(xùn)練1?1:三個變量y1,y2,y3隨著變量x的變化情況如表:x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40則關(guān)于x呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次是(

)(A)y1,y2,y3(B)y2,y1,y3

(C)y3,y2,y1(D)y3,y1,y2解析:由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速度的比較,可知指數(shù)函數(shù)增長最快,對數(shù)函數(shù)增長最慢,由題中表格可知,y1是冪函數(shù),y2是指數(shù)函數(shù),y3是對數(shù)函數(shù),故選C.方法總結(jié)幾類增長速度不同的的函數(shù)模型(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型.(2)增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)函數(shù)模型.(3)增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)函數(shù)模型.探究點二一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的比較[例2]函數(shù)f(x)=1.1x和g(x)=lnx+1的圖象如圖所示,設(shè)兩個函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且

x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù),并比較

f(x)與g(x)的大小(以x1,x2為分界點);解:(1)曲線C1對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=1.1x,曲線C2對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=lnx+1.當(dāng)x<x1時,f(x)>g(x);當(dāng)x1<x<x2時,f(x)<g(x);當(dāng)x>x2時,f(x)>g(x);當(dāng)x=x1或x=x2時,f(x)=g(x).(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小.解:(2)因為f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(13)<g(13),f(14)>g(14),所以1<x1<2,13<x2<14,所以x1<6<x2,2021>x2.從題圖可以看出,當(dāng)x1<x<x2時,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時,f(x)>g(x),所以f(2021)>g(2021).又g(2021)>g(6),所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).變式訓(xùn)練2?1:函數(shù)f(x)=lgx,g(x)=0.3x?1的圖象如圖所示.解:(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x?1,C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lgx.(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1,C2分別對應(yīng)的函數(shù);(2)以兩個圖象交點為分界點,對f(x),g(x)的大小進行比較.解:(2)當(dāng)x<x1時,g(x)>f(x);當(dāng)x1<x<x2時,f(x)>g(x);當(dāng)x>x2時,g(x)>f(x);當(dāng)x=x1或x=x2時,f(x)=g(x).方法總結(jié)由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)時,通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢,即隨著自變量的增大,圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù),圖象呈直線上升的函數(shù)是一次函數(shù).拓展探索素養(yǎng)培優(yōu)[典例]某汽車制造商在2021年初公告:公司計劃2021年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如表所示:年份/年201820192020年產(chǎn)量/萬輛81830如果我們分別將2018,2019,2020,2021定義為第一、二、三、四年,現(xiàn)在你有兩個函數(shù)模型:二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪個模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系?[素養(yǎng)演練]某地西紅柿從2月1日起開始上市,通過市場調(diào)查,得到西紅柿種植成本y(單位:元/102

kg)與上市時間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如表:時間x50110250種植成本y150108150(1)根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本y與上市時間x的變化關(guān)系y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·bx,y=alogax;(2)利用你選取的函數(shù),