初中數(shù)學總復(fù)習

*這些資料沒必要都看一遍，主要把自己沒有弄懂的看一下查漏補缺,

必有裨益。

第一章有理數(shù)

考點一、實數(shù)的概念及分類

1、實數(shù)的分類

廠正有理數(shù)1

有理數(shù)T零

有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

匚負有理數(shù)」

正無理數(shù)1

無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)」

2,無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類:

(1)開方開不盡的數(shù)，如，'，啦等；

JT

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如一+8等;

3

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

(4)某些三角函數(shù)，如sin60。等

第二章整式的加減

考點一、整式的有關(guān)概念

1、代數(shù)式

用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

2、單項式

只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。

1,

注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示，如一4—這種表

3

J3

2

示就是錯誤的，應(yīng)寫成——aho一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如—5a3b2c

3

是6次單項式。

考點二、多項式

1、多項式

幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。

多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。

注意：(1)求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。

(2)求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，"整體”代入。

2、同類項

所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。

3、去括號法則

1

(1)括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號一起去掉，括號里各項都不變號。

(2)括號前是“-”，把括號和它前面的“一”號一起去掉，括號里各項都變號。

4、整式的運算法則

整式的加減法：(1)去括號；(2)合并同類項。

第三章一元一次方程

考點一、一元一次方程的概念

1、方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3、等式的性質(zhì)

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。

(2)等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能是零)，所得結(jié)果仍是等式。

4^一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

ax+b=O(x為未矢口數(shù)，a*0)叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項。

第四章圖形的初步認識

考點一、直線、射線和線段

1、幾何圖形

從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。

2、點、線、面、體

(1)幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

(2)點動成線，線動成面，面動成體。

3、直線的概念

一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。

4、射線的概念

直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。

5、線段的概念

直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。

6、點、直線、射線和線段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個點可以用一個大寫字母表示。

一條直線可以用一個小寫字母表示。

一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。

一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。

注意：

2

(1)表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。

(2)直線和射線無長度，線段有長度。

(3)直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。

(4)點和直線的位置關(guān)系有線面兩種：

①點在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點。

②點在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點。

7、直線的性質(zhì)

(1)直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一

條直線。

(2)過一點的直線有無數(shù)條。

(3)直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

(4)直線上有無窮多個點。

(5)兩條不同的直線至多有一個公共點。

8、線段的性質(zhì)

(1)線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。

(2)連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。

(3)線段的中點到兩端點的距離相等。

(4)線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。

9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

考點—、角

1、角的相關(guān)概念

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。

平的的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。

如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。

2、角的表示

啟可以用大寫英文字母、阿拉伯數(shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：

①用數(shù)字表示單獨的角，如/1,Z2,N3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如Na,Zp,Zy,N9等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨立(在一個頂點處只有一個角)的角，如NB,NC等。

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如/BAD,ZBAE,/CAE等。

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

3、角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用”表示，1度記

作“1°”，n度記作V\

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1'

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作"1"

1。=60，=60”

4、角的性質(zhì)

(1)角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

(2)角的大小可以度量，可以比較

(3)角可以參與運算。

3

5、角的平分線及其性質(zhì)

一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

(1)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

(2)到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

第五章相交線與平行線

考點三、相交線

1、相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的

兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補

角。

臨補角互補，對頂角相等。

直線AB,CD與EF相交(或者說兩條直線AB,CD被第三條直線'、：

EF所截)，構(gòu)成八個角。其中/I與N5這兩個角分別在AB,CD的上方，2'"__________

并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；N3與/5這兩A3A>4B

個角都在AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)0

錯角；N3與N6在直線AB,CD之間，并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置J8

的兩個角叫做同旁內(nèi)角。7\

2、垂線

兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

直線AB,CD互相垂直，記作"AB_LCD"(或"CDJ_AB"),讀作"AB垂直于CD”(或“CD垂直于

AB”)。

垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2:直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

考點四、平行線

1、平行線的概念

在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號"http://"表示，如"AB//CD”，讀作“AB

平行于CD”。

同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。

注意：

(1)平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。

(2)當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。

2、平行線公理及其推論

平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

3、平行線的判定

平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相

等，兩直線平行。

平行線的兩條判定定理：

(1)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平

行。

4

(2)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直

線平行。

補充平行線的判定方法：

(1)平行于同一條直線的兩直線平行。

(2)垂直于同一條直線的兩直線平行。

(3)平行線的定義。

4、平行線的性質(zhì)

(1)兩直線平行，同位角相等。

(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

考點五、命題、定理、證明

1、命題的概念

判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解：命題的定義包括兩層含義：

(1)命題必須是個完整的句子；

(2)這個句子必須對某件事情做出判斷。

2、命題的分類(按正確、錯誤與否分)

-真命題(正確的命題)

命題Y

l假命題(錯誤的命題)

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。

3、公理

人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

6、證明的一般步驟

(1)根據(jù)題意，畫出圖形。

(2)根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。

(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

考點六、投影與視圖

1、投影

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。

平行投影：由平行光線(如太陽光線)形成的投影稱為平行投影。

中心投影：由同一點發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。

2、視圖

當我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯

視圖、左視圖。

主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。

俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側(cè)視圖。

5

第六章實數(shù)

考點二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值

1、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，

互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=O,a=-b,反之亦成立。

2、絕對值

一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|拄0。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反

數(shù)，若|a|=a,則a>0；若|a|=a,則a<0o正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕

對值大的反而小。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

考點三、平方根、算數(shù)平方根和立方根（3—10分）

1、平方根

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

正數(shù)a的平方根記做“±。

2、算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作a4a\

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

a（a>0）「4a>0

==Y;注意G的雙重非負性：Y

-a（a<0）a>0

3、立方根

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。

注意：=-Va,這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。

考點四、科學記數(shù)法和近似數(shù)（3—6分）

1、有效數(shù)字

一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確

的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

2、科學記數(shù)法

把一個數(shù)寫做士“X10”的形式，其中n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法。

考點五、實數(shù)大小的比較

1、藪軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

6

a-b>b=a>b,

a-b=0<=>a=b,

a-b<0<^>a<b

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，—>1<=>a>/?;-=1<=>6Z=/?;—<!<=>?<&;

bbb

(4)絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則何>網(wǎng)<=>。<6。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負實數(shù)，則。2>匕2。4<匕。

考點六、實數(shù)的運算(做題的基礎(chǔ)，分值相當大)

1、加法交換律a-\-h=b+a

2、加法結(jié)合律(〃+8)+c=a+3+c)

3、乘法交換律ab=ba

4、乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

5、乘法對加法的分配律a（b+c）=ab+ac

6、實數(shù)的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

第七章平面直角坐標系

考點一、平面直角坐標系

1、平面直角坐標系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；

兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、

第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標的概念

點的坐標用（a,b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置

不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當時，（a,b）和（b,a）是兩個不同點的坐標。

考點二、不同位置的點的坐標的特征

1、各象限內(nèi)點的坐標的特征

點P（x,y）在第一象限oX>0,y>0

點p（x,y）在第二象限。x<0,y>0

點p（x,y）在第三象限=x<0,y<0

點p（x,y）在第四象限ox>0,y<0

7

2、坐標軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上U>y=0,X為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上=X=0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上=x,y同時為零，即點P坐標為(0,0)

3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上=x與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上=x與y互為相反數(shù)

4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征

點P與點p'關(guān)于x軸對稱=橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)

點P與點p'關(guān)于y軸對稱=縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)

點P與點p'關(guān)于原點對稱O橫、縱坐標均互為相反數(shù)

6、點到坐標軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于卜|

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于兇

(3)點P(x,y)到原點的距離等于Ji+/

第八章二元一次方程組

考點七、二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

兩個(或兩個以上)二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

4二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。

5、二元一次方正組的解法

(1)代入法(2)加減法

6、三元一次方程

把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個(或三個以上)一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

8

第九章不等式與不等式組

考點一、不等式的概念

1、不等式

用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

考點二、不等式基本性質(zhì)

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

考試題型：

考點三、一元一次不等式（6~8分）

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫

做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1

考點四、一元一次不等式組

1、一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了-4■元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

2、一元一次不等式組的解法

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

考點二、統(tǒng)計學中的幾個基本概念

1、總體

所有考察對象的全體叫做總體。

2、個體

總體中每一個考察對象叫做個體。

3、樣本

從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。

4、樣本容量

樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

5、樣本平均數(shù)

9

樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、總體平均數(shù)

總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計中，通常用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。

考點三、眾數(shù)、中位數(shù)

1、眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2、中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)。

考點四、方差

1、方差的概念

在一組數(shù)據(jù)為，％2,…,x“，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)I的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。通

常用表示，即

S?=一[(匹—X)2+(%2—%)2--------h(Xn~X)2]

n

2、方差的計算

(1)基本公式：

1———

2hX

/=—[(Xj-X)+(￡一工廠■1----(n一工)」

n

(2)簡化計算公式(I):

s=—[(X；+石+,?,+X；)—nx~]

n

]—2

也可寫成5~——[(石+X；+…+X；)]—X

n-

此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。

(3)簡化計算公式(口):

1—2

52=—[3：+式+…

n

當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，可以依照簡化平均數(shù)的計算方法，將每個數(shù)據(jù)同時減去一個與它們的平均

數(shù)接近的常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)兄=再一。,x'2=x2-a,…，x'n=xn-a,那么，

$2--------F)]-X'

n

此公式的記憶方法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。

(4)新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)玉，冗2,…，x〃，的方差與新數(shù)據(jù)K=玉一。，x\=x2-a,???,￡〃=一。的方差相等，也就

是說，根據(jù)方差的基本公式，求得x']/、，…，X,〃，的方差就等于原數(shù)據(jù)的方差。

3、標準差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，用飛”表示，即

S——、-[(X]—x)2+(x2—x)24---------F(xn—x)-]

vn

io

第十一章三角形

考點一、三角形

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的

邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

(1)三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平

分線。

(2)在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

(3)從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角膨的高線(簡稱三角形的

曲)。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用

很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三甭形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個特性：

(1)三角形有三條線段】

(2)三條線段不在同一直線上卜三角形是封閉圖形

(3)首尾順次相接J

三角形用符號?△"表示，頂點是A、B、C的三角形記作"AABC",讀作"三?角形ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

r不等邊三角形

三角形＜r底和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形一

、等邊三?角形

三角形按角的關(guān)系分類如下：

r直角三角形(有一個角為直角的三角形)

三角形＜「銳角三角形(三個角都是銳角的三角形)

'斜三角形V

I鈍角三角形(有一個角為鈍角的三角形)

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角

形。

6、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

(2)三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關(guān)系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°o

推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。

11

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。

8、三■角形的面積

三角形的面積=-X底X高

2

考點二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相

重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中

有公共端點的兩邊所成的角。

2、全等三角形的表示和性質(zhì)

全等用符號S表示，讀作“全等于"。如AABC7ZXDEF,讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊角邊"或"SAS”)

(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成"角邊角"或"ASA”)

(3)邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成"邊邊邊"或"SSS”)。

直南三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊

對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可簡寫成“斜邊、直角邊"或"HL”)

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

(1)平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

(2)對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對稱變換。

(3)旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

考點三、等腰三角形

1、等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱：等邊對等角)

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高重合。

推論2:等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°o

(2)等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可為鈍角(或直角)。

b

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a,底邊長為b,則一＜a

2

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為NB、ZC,則NA=180°—2ZB,ZB=Z

180°—NA

C=----------

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

12

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定

定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3:在直角三角形中，如果一個銳南等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定

1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；

1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；

2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平

2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點

分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰

與底邊兩端點距離相等。

三角形

1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對

1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三

2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點角形；

到底邊兩端點的距離相等。2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三

角形是等腰三角形。

1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平

一1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；

分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰

:2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和

淺三角形；

底邊兩端點距離相等。

2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。

角等邊對等角等角對等邊

邊底的一半〈腰長〈周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。

（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

第十二章全等三角形

考點二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相

重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中

有公共端點的兩邊所成的角。

2、全等三角形的表示和性質(zhì)

13

全等用符號"組”表示，讀作“全等于"。如△ABC0Z\DEF,讀作"三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成"邊角邊"或"SAS"）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角"或"ASA”）

（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成"邊邊邊"或"SSS”）。

直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊

對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

考點三、等腰三角形

1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高重合。

推論2:等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于450

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

b

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a,底邊長為b,則一<a

2

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為NA,底角為/B、ZC,則/A=180°—2ZB,ZB=Z

180°-ZA

C=---------------

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論:

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個判定

定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3:在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定

1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；

上1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；

中2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平

'2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點

線分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰

與底邊兩端點距離相等。

三角形

角1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對

平2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三

14

分到底邊兩端點的距離相等。角形；

線2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三

角形是等腰三角形。

1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊(平

A1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；

分這條邊的對角)，那么這個三角形是等腰

/2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點和

線三角形；

底邊兩端點距離相等。

2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。

角等邊對等角等角對等邊

邊底的一半〈腰長〈周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。

(2)要會區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個三■角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

第十三章軸對稱(圖形變換)

考點一、平移

1、定義

把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形

的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

2、性質(zhì)

(1)平移不改變圖形的大小和形狀，但圖形上的每個點都沿同一方向進行了移動

(2)連接各組對應(yīng)點的線段平行(或在同一直線上)且相等。

考點二、軸對稱

1、定義

把一個圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸

對稱，該直線叫做對稱軸。

2、性質(zhì)

(1)關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

(2)如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。

(3)兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。

3、判定

如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。

4、軸對稱圖形

把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這

條直線就是它的對稱軸。

15

考點三、旋轉(zhuǎn)

1、定義

把一個圖形繞某一點。轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)

角。

2、性質(zhì)

(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

考點四、中心對稱

1、定義

把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫

做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

2、性質(zhì)