期中測(cè)試卷01（測(cè)試范圍：第10-11章+空間向量及其應(yīng)用）（解析版）-A4

第頁(yè)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試卷01測(cè)試范圍：第10-11章+空間向量及其應(yīng)用一、填空題1．“平面經(jīng)過(guò)直線”用集合符號(hào)語(yǔ)言可表示為．【答案】【分析】根據(jù)直線與平面的關(guān)系直接得到結(jié)果.【解析】由題意可知：直線在平面內(nèi)，所以符號(hào)語(yǔ)言為：，故答案為：.2．已知一個(gè)球的半徑是，則它的表面積是．【答案】【分析】根據(jù)球的表面積公式直接求解即可.【解析】解：球的半徑，則表面積為.故答案為：.3．設(shè)空間兩個(gè)角與，若它們的兩邊分別平行，，則.【答案】或【分析】根據(jù)等角定理即可得解.【解析】因?yàn)榭臻g兩個(gè)角與的兩邊分別平行，所以或，所以或.故答案為：或.4．已知空間向量，且與垂直，則等于.【答案】4【分析】由與垂直，得到，由此能求出的值.【解析】因?yàn)?，且與垂直，所以，解得，故答案為：45．在平行六面體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，記，，，則等于（用，，表示）．【答案】【分析】連接，利用空間向量的線性運(yùn)算求解.【解析】連接，，故答案為：6．一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫它的直觀圖，此直觀圖恰好是邊長(zhǎng)為1的正方形（如圖所示），則原平面圖形的面積為.【答案】【分析】由直觀圖作出原圖，確定原圖結(jié)構(gòu)，然后計(jì)算面積.【解析】直觀圖恰好是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以，由直觀圖知原圖為平行四邊形，，，，所以原平面圖形的面積為，故答案為：.7．平面的法向量為，，那么直線與平面的關(guān)系是．【答案】或【分析】計(jì)算平面的法向量和的數(shù)量積，即可判斷的關(guān)系，進(jìn)而判斷直線與平面的關(guān)系.【解析】由題意知，，則，故，則或，故答案為：或8．已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直線，下列命題中：（1）若，，，則；（2）若，，，則；（3）若，，，則且；（4）若，，，則，所有真命題的序號(hào)是.【答案】（3）（4）【分析】根據(jù)直線、平面間的位置關(guān)系判斷（1）（2），由面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理判斷（3）（4）．【解析】（1）缺少條件直線m需要屬于平面，（1）錯(cuò)誤；（2）兩直線還可以是異面，故（2）錯(cuò)誤；（3），，，所以且．（3）正確；（4）設(shè)，，過(guò)在平面內(nèi)作直線,在平面內(nèi)作直線，由面面垂直的性質(zhì)定理知，又過(guò)一點(diǎn)與一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條，所以重合，而，則重合，所以，（4）正確．故答案為：（3）（4）9．若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為，面積為的扇形，則由它的兩條母線所確定的該圓錐的截面面積的最大值為.【答案】【分析】計(jì)算出圓錐的底面半徑，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，結(jié)合余弦定理可知為鈍角，則兩條母線垂直時(shí)，圓錐的截面面積取得最大值，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐軸截面的頂角為，則，解得，由余弦定理可得，則為鈍角，故當(dāng)兩條母線垂直時(shí)，圓錐的截面面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.10．如圖，正方的棱長(zhǎng)為2，若空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，若，則二面角的平面角的大小為.

【答案】/【分析】根據(jù)幾何法求解二面角的平面角，即可求解大小.【解析】若，則為正方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)，即為正方體的中心，因此平面即為平面，

平面，平面，，，是二面角的平面角，在等腰直角三角形中，，故二面角的平面角為，故答案為：11．已知三棱柱及空間中一點(diǎn)P，且，（，m為常數(shù)），若三棱的體積為24，則三棱錐的體積為．【答案】4【分析】由，可得，P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的2倍，進(jìn)而可得到答案．【解析】取AC的中點(diǎn)O，∵，∴，∴P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，設(shè)三棱柱的高為h三棱錐的體積為故答案為：4．12．正方形中，，分別為線段，的中點(diǎn)，連接，，，將，，分別沿，，折起，使，，三點(diǎn)重合，得到三棱錐，則該三棱錐外接球半徑與內(nèi)切球半徑的比值為．

【答案】【分析】利用三棱錐的外接球，即以為棱的長(zhǎng)方體外接球求得其半徑，利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，從而得解.【解析】在正方形中，，折起后兩兩互相垂直，故該三棱錐的外接球，即以為棱的長(zhǎng)方體外接球，不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則，故，則，因?yàn)?，而該三棱錐的表面積與正方形的面積相同，即，則，即，故，所以.故答案為：.二、單選題13．給出下面四個(gè)命題：①三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④兩條平行直線確定一個(gè)平面．其中正確的命題是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)平面的概念與性質(zhì)，以及線面關(guān)系對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)判斷即可.【解析】對(duì)于①,三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面,故①錯(cuò);對(duì)于②,一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面,故②錯(cuò);對(duì)于③),空間兩兩相交的三條直線,且不能交于同一點(diǎn),確定一個(gè)平面,故③錯(cuò);對(duì)于④,兩條平行直線確定一個(gè)平面,故④正確.故選：D.14．已知正方體的體積是，則這個(gè)正方體的外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)體積得到正方體棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體的外接球半徑為體對(duì)角線的一半得到半徑，計(jì)算體積得到答案.【解析】正方體的體積為，則正方體棱長(zhǎng)，正方體的外接球半徑為體對(duì)角線的一半，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將半徑轉(zhuǎn)化為求體對(duì)角線是解題的關(guān)鍵.15．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與垂直 B．與平面垂直C．與平行 D．與平面平行【答案】C【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法逐一判斷即可.【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，對(duì)于A，，則，所以，故A正確；對(duì)于B，，則，所以，又平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，，若與平行，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，所以，無(wú)解，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，因?yàn)椋移矫?，所以平面，故D正確.故選：C.16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面ABCD的中心，是棱上一點(diǎn)，且，，N為線段AQ的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（

）A．CN與QM是異面直線B．三棱錐的體積跟的取值有關(guān)C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，過(guò)A、Q、M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為【答案】D【分析】對(duì)于A，根據(jù)中位線定理，可得平行，即得共面，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)正方體的性質(zhì)，求得點(diǎn)到底面的距離，利用三棱錐體積公式，可得答案；對(duì)于C，利用勾股定理，求得的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于D，利用平行的性質(zhì)，可得平面，根據(jù)勾股定理，求得邊長(zhǎng)，可得答案.【解析】在中，因?yàn)镸、N為AC、AQ的中點(diǎn)，所以，所以CN與QM共面，A錯(cuò)誤；作，易知，由為的中點(diǎn)，可得，，即到平面的距離為，，則三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，得，，，，則，所以不成立，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，過(guò)作，則，，，，過(guò)A、Q、M三點(diǎn)的正方體的截面ACEQ是等腰梯形，所以平面截正方體所截得的周長(zhǎng)為，D正確.故選：D.三、解答題17．已知空間中的三點(diǎn)，，.(1)求的面積；(2)當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，求k的范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用向量坐標(biāo)表示有，，由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再求其正弦值，應(yīng)用三角形面積公式求面積；（2）向量坐標(biāo)表示得，，它們的夾角為鈍角，即，即可求參數(shù)范圍，注意排除向量反向共線的情況.【解析】（1）由題設(shè)，，則，所以，故在中，故的面積為.（2）由（1）知：，，且它們夾角為鈍角，所以，即，所以，可得，當(dāng)它們反向共線，即且時(shí)，有，無(wú)解，綜上，.18．如圖，在直三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別是棱，BC，AC的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明線面平行，再由面面平行判定定理得證；（2）利用三棱錐中等體積法求高即可.【解析】（1）在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平?（2）如圖所示，連接.

利用勾股定理計(jì)算得，所以的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積為.又易知平面，所以三棱錐的體積為.所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.19．蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活、蒙古包古代稱作穹廬、“氈包”或“氈帳”，如圖1所示，一個(gè)普通的蒙古包可視為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合，如圖2所示，已知該圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面直徑為6米．(1)求該蒙古包的側(cè)面積．(2)求該蒙古包的體積．【答案】(1)平方米(2)立方米【分析】（1）先求出圓錐和圓柱的側(cè)面積，再求和即可；（2）先求出圓錐和圓柱的體積，再求和即可.【解析】（1）依題意得米，米，米，所以米，所以圓錐的側(cè)面積為平方米，圓柱的側(cè)面積為平方米，所以該蒙古包的側(cè)面積為平方米.（2）圓錐的體積為立方米，圓柱的體積為立方米，所以該蒙古包的體積為立方米.20．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，．(1)求證：平面；(2)試在棱PB上確定一點(diǎn)，使截面把該幾何體分成的兩部分與的體積比為；(3)H是PB中點(diǎn)，求二面角大小的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)(3)【分析】（1）根據(jù)已知可得，，進(jìn)而即可根據(jù)線面垂直的判定定理得出證明；（2）過(guò)點(diǎn)作，證明四邊形是平行四邊形.進(jìn)而求出梯形的各個(gè)邊長(zhǎng)以及面積，得出四棱錐的體積，進(jìn)而得出三棱錐的體積為.過(guò)點(diǎn)作，求出的面積，即可得出，即可得出點(diǎn)位置；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，求出平面以及平面的法向量，根據(jù)向量求解即可得出答案.【解析】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以?又，，所以，.因?yàn)槠矫妫矫?，，所以，平?（2）因?yàn)?，所?過(guò)點(diǎn)作，則.又，所以，四邊形是平行四邊形，所以，.因?yàn)?，所以，，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，.所以，梯形的面積為，四棱錐的體積.由已知與的體積比為，所以，三棱錐的體積為.過(guò)點(diǎn)作，則，且是三棱錐的高，因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，，，所以，三棱錐的體積為，所以，，所以，點(diǎn)為的中點(diǎn).（3）如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，.因?yàn)榈酌?，所以即為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，可得為平面的一個(gè)法向量.所以，.由圖象可知，二面角為銳角，所以二面角大小的余弦值為.21．已知矩形中，，，現(xiàn)將沿對(duì)角線向上翻折，得到四面體.(1)求三棱錐外接球的表面積；(2)若點(diǎn)為底面內(nèi)部一點(diǎn)，且，求三棱錐與三棱錐的體積之比；(3)若的取值范圍是，求二面角的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用該三棱錐的性質(zhì)找出外接球的球心與半徑計(jì)算即可；（2）將三棱錐體積之比轉(zhuǎn)化為底面積之比，然后利用，求出底面積之比即可;（3）該圖像不好建立空間直角坐標(biāo)系，就利用幾何法畫出