第四單元比例·單元復(fù)習(xí)篇-2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列（解析版）人教版-A4

第1頁2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第四單元比例·單元復(fù)習(xí)篇一、比例的意義和基本性質(zhì)。1.表示兩個比相等的式子叫做比例，用字母表示是a:b=c:d或ab=c2.判斷兩個比能不能組成比例，關(guān)鍵要看它們的比值是否相等，若比值相等，則能組成比例；若比值不相等，則不能組成比例。3.組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。4.比例中，兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。5.在比例里，兩個外項(xiàng)的積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。用字母表示，如果a:b=c:d（a、b、c、d均不為0），那么ad=bc。6.先假設(shè)兩個比能組成比例，再分別算出它們內(nèi)、外項(xiàng)的積，如果內(nèi)、外項(xiàng)的積相等，則能組成比例；如果內(nèi)、外項(xiàng)的積不相等，則不能組成比例。二、解比例。1.列比例式的關(guān)鍵是找到對應(yīng)關(guān)系的兩個比，解比例的依據(jù)是比例的基本性質(zhì)。2.根據(jù)比例的基本性質(zhì)解比例，先把比例轉(zhuǎn)化為兩個外項(xiàng)的積與兩個內(nèi)項(xiàng)的積相等的形式，即以前學(xué)過的方程，再通過解方程求出未知數(shù)的值。三、正比例。1.兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。2.如果用字母y和x表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值(一定)，正比例關(guān)系可以用式子yx=k（一定）表示。3.正比例關(guān)系圖象是一條經(jīng)過(0，0)的直線。從圖象中，可以直觀地看到兩種量的變化情況，不用計(jì)算，由一種量的值可以直接找到對應(yīng)的另一種量的值。四、反比例。1.兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積（一定），反比例關(guān)系可以表示為xy=h（一定）。2.判斷兩種量是否成反比例關(guān)系，先看這兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量，如果是，再看它們的乘積是否一定，若乘積一定，則兩種量成反比例關(guān)系；若乘積不一定，則兩種量不成反比例關(guān)系。五、比例尺。1.一幅圖的圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。2.比例尺=圖上距離:實(shí)際距離。3.比例尺的分類：數(shù)值比例尺、線段比例尺。4.把線段比例尺改寫成數(shù)值比例尺時，先統(tǒng)一單位，再改寫。5.求一幅圖的比例尺時，前項(xiàng)、后項(xiàng)要統(tǒng)一單位。為了方便，通常把比例尺寫成前項(xiàng)或后項(xiàng)是1的形式。六、比例尺的應(yīng)用。1.根據(jù)比例尺和圖上距離求實(shí)際距離，可以根據(jù)“圖上距離實(shí)際距離2.運(yùn)用比例尺畫圖，要先根據(jù)比例尺求岀圖上距離，再根據(jù)圖上距離畫出相應(yīng)的平面圖，最后標(biāo)明平面圖的名稱及比例尺。七、圖形的放大與縮小。1.圖形的放大和縮小是生活中常見的現(xiàn)象，把一個圖形放大或縮小后所得到的圖形與原圖形相比:形狀相同，大小不同。2.把圖形的各邊按一定的比放大或縮小后，圖形的大小發(fā)生了變化，形狀沒有發(fā)生變化。3.在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步，一看，看原圖每邊各占幾格；二算，計(jì)算按給定的比將圖形的各邊放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；三畫，按計(jì)算岀的各邊長度畫出放大或縮小后的圖形。八、用比例解決問題。1.正（反）比例知識解決問題的步驟：①根據(jù)不變量判斷題中兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正（反）比例關(guān)系。②若成正（反）比例關(guān)系，根據(jù)正（反）比例的意義列出比例。③解比例并寫出答語。2.若兩個量的乘積一定，則可以用反比例關(guān)系解決問題?！靖哳l考題一】比例的意義和基本性質(zhì)。1．判斷下面哪組中的兩個比可以組成比例，在能組成比例的括號里畫“√”。（1）2.1∶3和1.4∶2()

（2）∶和∶()（3）10∶5和6.5∶325()（4）72∶9和8∶1()【答案】（1）（√）（2）（

）（3）（

）（4）（√）【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例。根據(jù)比例的意義可知，比值相等的兩個比可以組成比例?！驹斀狻浚?）2.1∶3＝2.1÷3＝0.71.4÷2＝0.70.7＝0.7，比值相等，所以2.1∶3和1.4∶2能組成比例；（2）∶＝÷＝×3＝∶＝÷＝×＝≠，比值不相等，所以∶和∶不能組成比例；（3）10∶5＝10÷5＝26.5∶325＝6.5÷325＝0.022≠0.02，比值不相等，所以10∶5和6.5∶325不能組成比例；（4）72∶9＝72÷9＝88∶1＝8÷1＝88＝8，比值相等，所以72∶9和8∶1能組成比例。綜上所述，能組成比例的兩個比如下：（1）2.1∶3和1.4∶2（√）

（2）∶和∶（

）（3）10∶5和6.5∶325（

）（4）72∶9和8∶1（√）2．寫兩個比值是0.4的比，并組成比例：()?！敬鸢浮?∶5＝4∶10（答案不唯一）【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例，所以，只要保證任意寫出的兩個比的比值是0.4，就可以組成比例。【詳解】2∶5＝0.4，4∶10＝0.4組成比例是：2∶5＝4∶10【點(diǎn)睛】本題考查比例的意義，關(guān)鍵是保證寫出的兩個比的比值一定相等。3．如果（a、b均不為0），那么a∶b＝()∶()，?！敬鸢浮?；3；【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：比例的兩個內(nèi)項(xiàng)之積等于兩個外項(xiàng)之積；據(jù)此逆推，即可解答?！驹斀狻縜＝b3a＝5ba∶b＝5∶3b∶a＝3∶5＝如果a＝b（a、b均不為0），那么a∶b＝5∶3，＝。4．在一個比例里，兩個外項(xiàng)分別是6和，如果一個內(nèi)項(xiàng)是最小的質(zhì)數(shù)，另一個內(nèi)項(xiàng)是()。【答案】2【分析】已知一個比例里的兩個外項(xiàng)分別是6和，一個內(nèi)項(xiàng)是最小的質(zhì)數(shù)即2；根據(jù)比例的基本性質(zhì)“兩個外項(xiàng)的積等于兩項(xiàng)的積”，那么用積除以已知的一個內(nèi)項(xiàng)，即可求出另一個內(nèi)項(xiàng)。【詳解】6×÷2＝4÷2＝2另一個內(nèi)項(xiàng)是2。5．有三個數(shù)“4，5，8”，要再添上一個數(shù)使它們能組成一個比例，這個數(shù)最大是()?！敬鸢浮?0【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，比例的兩內(nèi)項(xiàng)積＝兩外項(xiàng)積，用較大兩數(shù)的積÷最小數(shù)即可?！驹斀狻?×8÷4＝10有三個數(shù)“4，5，8”，要再添上一個數(shù)使它們能組成一個比例，這個數(shù)最大是10。6．在比例35∶10＝21∶6中，如果將第一個比的后項(xiàng)增加30，第二個比的后項(xiàng)應(yīng)該加上()才能使比例成立?！敬鸢浮?8【分析】先算出第一個比的后項(xiàng)增加30后兩內(nèi)項(xiàng)的積，即（10＋30）×21＝840；根據(jù)比例的基本性質(zhì)可知，兩外項(xiàng)的積也是840，用840除以35求出第二個比的后項(xiàng)是24；最后用24減去6求出第二個比的后項(xiàng)應(yīng)該加幾?！驹斀狻浚?0＋30）×21÷35－6＝40×21÷35－6＝840÷35－6＝24－6＝18所以第二個比的后項(xiàng)應(yīng)該加上18才能使比例成立。【點(diǎn)睛】明確比例的基本性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵。【高頻考題二】解比例。1．解比例?！脁∶20

1.5∶8＝0.5∶x

【答案】x＝105；x；x【分析】∶x＝∶20，解比例，原式化為：x＝×20，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以即可；1.5∶8＝0.5∶x；解比例，原式化為：1.5x＝8×0.5，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以1.5即可；＝，解比例，原式化為：（5x－1）×7＝6×3，化簡，原式化為：5x×7－1×7＝18，再化簡，原式化為：35x－7＝18，根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時加上7，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以35即可?！驹斀狻俊脁＝∶20解：x＝×20x＝25x÷＝25÷x＝25×x＝1051.5∶8＝0.5∶x解：1.5x＝8×0.51.5x＝41.5x÷1.5＝4÷1.5x＝＝解：（5x－1）×7＝6×35x×7－1×7＝1835x－7＝1835x－7＋7＝18＋735x＝2535x÷35＝25÷35x＝2．解比例。（1）x∶25＝1.2∶7.5

（2）

（3）【答案】（1）x＝4；（2）x＝3.8；（3）x＝7.5【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把式子轉(zhuǎn)化為7.5x＝1.2×25，再化簡方程，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以7.5即可；（2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把式子轉(zhuǎn)化為0.85x＝1.7×1.9，再化簡方程，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以0.85即可；（3）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把式子轉(zhuǎn)化為x＝×10，再化簡方程，最后根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時除以即可?！驹斀狻浚?）x∶25＝1.2∶7.5解：7.5x＝1.2×257.5x＝307.5x÷7.5＝30÷7.5x＝4（2）解：0.85x＝1.7×1.90.85x＝3.230.85x÷0.85＝3.23÷0.85x＝3.8（3）解：x＝×10x＝2.5x÷＝2.5÷x＝2.5×3x＝7.5【高頻考題三】比例關(guān)系的判斷。1．已知6x＝4y，x和y成()比例，x∶y＝()∶()?！敬鸢浮空?3【分析】比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積；判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例。據(jù)此判斷出x和y的關(guān)系即可。【詳解】因?yàn)?x＝4y所以x∶y＝4∶6＝（4÷2）∶（6÷2）＝2∶3＝x和y的比值一定，因此x、y成正比例，x∶y＝2∶3。【點(diǎn)睛】本題考查了正比例、反比例的意義和辨識。2．下面各題中的兩種量是否有比例關(guān)系？如果有，成什么比例關(guān)系？填一填。(1)一根彩帶的長度一定，已用的長度與未用的長度。()(2)玉米每公頃產(chǎn)量一定，玉米的總產(chǎn)量與公頃數(shù)。()(3)平行四邊形的面積一定，它的底與高。()(4)圓柱的高一定，圓柱的體積與底面積。()【答案】(1)不成比例(2)成正比例關(guān)系(3)成反比例關(guān)系(4)成正比例關(guān)系【分析】判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量成何種比例關(guān)系的方法：如果它們的積一定，則成反比例關(guān)系；如果它們的比值（商）一定，則成正比例關(guān)系。逐項(xiàng)分析解答?！驹斀狻浚?）已用的長度＋未用的長度＝彩帶的總長度。（和一定）所以，一根彩帶的長度一定，已用的長度與未用的長度不成比例關(guān)系。（2）玉米的總產(chǎn)量÷公頃數(shù)＝玉米每公頃產(chǎn)量一定（商一定）所以，玉米每公頃產(chǎn)量一定，玉米的總產(chǎn)量與公頃數(shù)成正比例關(guān)系。（3）底×高＝平行四邊形面積（乘積一定）所以，平行四邊形的面積一定，它的底與高成反比例關(guān)系。（4）圓柱的體積÷底面積＝圓柱的高（商一定）所以，圓柱的高一定，圓柱的體積與底面積成正比例關(guān)系?！靖哳l考題四】正比例的意義。1．已知y與x成正比例關(guān)系，在下表的空格中填寫合適的數(shù)。x1251020y2.57.52037.5【答案】見詳解【分析】y與x成正比例關(guān)系，則y與x的比值是一定的。當(dāng)x＝1時，y＝2.5，則＝2.5則y與x的比值是2.5。求x的值用y÷2.5，求y的值用x×2.5?！驹斀狻繐?jù)分析，當(dāng)x＝1時，y＝2.5，則＝2.5。x12358101520y2.557.512.5202537.550當(dāng)x＝2時，y＝2×2.5＝5；當(dāng)y＝7.5時，y＝7.5÷2.5＝3當(dāng)x＝5時，y＝5×2.5＝12.5當(dāng)y＝20時，y＝20÷2.5＝8當(dāng)x＝10時，y＝10×2.5＝25當(dāng)y＝37.5時，y＝37.5÷2.5＝15當(dāng)x＝20時，y＝20×2.5＝502．(1)A、B兩物體的路程隨時間的變化關(guān)系分別如圖①、②所示，則A的速度()B的速度（填“＞”“＝”或“＜”）；(2)A、B兩物體分別從甲、乙兩地同時相向而行，經(jīng)過6秒兩物體相遇，則甲、乙兩地間的距離為()米?！敬鸢浮?1)＜(2)15【分析】A、B兩物體的路程隨時間變化關(guān)系圖都是一條直直的線，說明A、B兩物體的路程與時間成正比例，且路程與時間的比值就是速度。（1）分別在A、B的圖形中找一點(diǎn)，用這一點(diǎn)的路程除以時間可以分別求出他們的速度，再比較大小即可。（2）在（1）中已經(jīng)求出A、B的速度，用A與B的速度和乘上時間6秒可以求出路程和也就是甲乙兩地間的距離?！驹斀狻浚?）A的速度：6÷12＝0.5（米/秒）B的速度：12÷6＝2（米/秒）0.5＜2，所以A的速度＜B的速度（2）（0.5＋2）×6＝2.5×6＝15（米）則甲乙兩地間的距離是15米?！靖哳l考題五】反比例的意義。1．下表中x和y兩個量成反比例關(guān)系，請把表格填寫完整。x240y50.1【答案】見解析【分析】x和y兩個量成反比例關(guān)系，則x和y兩個量的乘積一定，當(dāng)x＝2時，y＝5，得xy＝10。即當(dāng)知道x時，y＝10÷x，當(dāng)知道y時，x＝10÷y?！驹斀狻繐?jù)分析，xy＝10。x21004012y5500.1當(dāng)x＝時，y＝10÷＝10×5＝50當(dāng)y＝0.1時，x＝10÷0.1＝100當(dāng)x＝40時，y＝10÷40＝當(dāng)y＝時，y＝10÷＝10×＝122．如圖表示一個工程隊(duì)修筑公路的長度與所用時間的關(guān)系，這個工程隊(duì)修路長度與所用時間成()比例。照這樣計(jì)算，修筑380米公路需要()小時?！敬鸢浮空?.8【分析】判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘積一定，則成反比例；根據(jù)路程÷速度＝時間，代入數(shù)據(jù)列式解答即可求出時間?！驹斀狻?00÷1＝100（米/小時）200÷2＝100（米/小時）300÷3＝100（米/小時）修路長度÷時間＝速度（一定），商一定，所以修路長度與所用時間成正比例。380÷100＝3.8（小時）則修路長度與所用時間成正比例，修筑380米公路需要3.8小時?！军c(diǎn)睛】本題考查正反比例的判定，明確正反比例的定義是解題的關(guān)鍵?！靖哳l考題六】正比例的實(shí)際應(yīng)用。1．琪琪身高1.5米，陽光下她的影長為2米，此時測得一個水塔在同一地面的影長為60米，水塔的高度是幾米？（用比例解答）【答案】45米【分析】由題意可知，設(shè)水塔的高度是x米，根據(jù)同一時間，同一地點(diǎn)物體高度與它的影長成正比例，據(jù)此列比例解答即可。【詳解】解：設(shè)水塔的高度是x米。1.5∶2＝x∶602x＝1.5×602x＝902x÷2＝90÷2x＝45答：水塔的高度是45米。2．甲、乙兩地相距570千米，一輛汽車從甲地開往乙地，4小時行了380千米。照這樣的速度，這輛汽車還需要多長時間才能到達(dá)乙地？（用比例解）【答案】2小時【分析】因?yàn)槠嚽昂蟮乃俣炔蛔?，路程÷時間＝速度（一定），所以路程和時間成正比例，4小時行了380千米，剩下（570－380）千米。設(shè)到達(dá)乙地還需要x小時，再按照正比例關(guān)系列方程?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這輛汽車還需x小時到達(dá)乙地。380∶4＝（570－380）∶x380∶4＝190∶x380x＝4×190380x＝760380x÷380＝760÷380x＝2答：這輛汽車還需要2小時才能到達(dá)乙地。3．一輛客車和一輛貨車同時從A、B兩地相對開出，它們的速度之比是6∶5，相遇時客車行駛了96千米，貨車行駛了多少千米？（用比例解答）【答案】80千米【分析】根據(jù)路程÷速度＝時間可知，相遇時間相同時，路程和速度成正比例關(guān)系，即客車與貨車的路程之比等于它們的速度之比，據(jù)此列出比例方程，并求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)貨車行駛了千米。96∶＝6∶56＝96×56＝4806÷6＝480÷6＝80答：貨車行駛了80千米?！军c(diǎn)睛】本題考查列比例方程解決問題，根據(jù)速度、時間、路程之間的關(guān)系，分析出路程和速度成正比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵?！靖哳l考題七】反比例的實(shí)際應(yīng)用。1．為慶祝六一兒童節(jié)，實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉行團(tuán)體操表演，如果每行站25人，那么正好站24行；如果每行站30人，那么可以站多少行？（用比例知識解答）【答案】20行【分析】由題意可知，學(xué)生的總?cè)藬?shù)一定，則每行的人數(shù)和行數(shù)成反比例，據(jù)此解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)可以站x行，30x＝24×2530x＝60030x÷30＝600÷30x＝20答：可以站20行。2．博愛小學(xué)為美化環(huán)境，購置了一些牡丹花，要栽在一個長方形花園里，如果每行栽18棵，可以栽24行；如果每行少栽2棵，需要栽多少行？（用比例解）【答案】27行【分析】由題意得：學(xué)校購置了一些牡丹花，則購置牡丹花的總量一定，在長方形花園里栽種，牡丹花總量=行數(shù)每行的棵樹，則根據(jù)反比例定義，行數(shù)和每行的棵樹成反比例關(guān)系?？稍O(shè)少栽2行的每行棵樹為未知數(shù)，則可列出反比例關(guān)系式，再根據(jù)等式基本性質(zhì)計(jì)算可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意得：購置的牡丹花總量一定，行數(shù)和每行的棵樹成反比例關(guān)系。設(shè)需要栽x行，則：答：如果每行少栽2棵，需要栽27行。3．某街道要用方磚重新鋪設(shè)一個小廣場。用邊長2分米的方磚鋪需要用216塊，如果改用邊長是3分米的方磚鋪，需要多少塊？（用比例知識解）【答案】96塊【分析】這塊地的面積是一定的，每塊磚的面積與所需要的塊數(shù)成反比例，設(shè)出未知數(shù)，列出比例式解答即可。【詳解】解：設(shè)需要x塊。答：需要96塊?！军c(diǎn)睛】此題主要考查對反比例的意義的運(yùn)用：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，但兩種量的乘積一定，這兩種量成反比例?！靖哳l考題八】圖形的放大與縮小。1．按照2∶1的比例尺畫出三角形放大后的圖形，再按照1∶3的比例尺畫出平行四邊形縮小后的圖形?！敬鸢浮恳娫斀狻痉治觥浚?）原三角形為等腰直角三角形，底邊和高均為2格，按照2∶1的比例尺放大后，三角形同樣為等腰直角三角形，底邊和高均為2×2＝4格；（2）原平行四邊形的底邊為6格，高為3格，按照1∶3的比例尺縮小后，平行四邊形的底邊為6÷3＝2格，高為3÷3＝1格，且各角度數(shù)不變，由此畫出縮小后的平行四邊形?！驹斀狻扛鶕?jù)分析，作圖如下：2．（1）畫出圖形①繞點(diǎn)（3，4）順時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。（2）在圖形②的西偏南45°方向，畫出把圖形②按2∶1擴(kuò)大后的圖形?！敬鸢浮恳娫斀狻痉治觥浚?）點(diǎn)（3，4）不動，將三角形各邊均順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）將半徑擴(kuò)大到原來的2倍，在圓心的西偏南45°方向上找一個合適的點(diǎn)作為新的圓心，畫出放大后的圖形?！驹斀狻咳鐖D：【高頻考題九】比例尺的實(shí)際應(yīng)用。1．衡水到濟(jì)南大約170千米，高鐵要行駛90分鐘左右。一只螞蟻在一幅地圖上僅用了2秒就從衡水爬到了濟(jì)南，已知螞蟻每秒爬行1.25厘米，這幅地圖的比例尺是多少？【答案】1∶6800000【分析】根據(jù)速度×?xí)r間＝路程，求出螞蟻爬行距離，即衡水到濟(jì)南的圖上距離，根據(jù)比例尺＝圖上距離∶實(shí)際距離，寫出圖上距離與實(shí)際距離的比，化簡即可。【詳解】1.25×2＝2.5（厘米）2.5厘米∶170千米＝2.5厘米∶17000000厘米＝（2.5÷2.5）∶（17000000÷2.5）＝1∶6800000答：這幅地圖的比例尺是1∶6800000。2．兩個城市之間的鐵路線大約長1900千米。在一幅比例尺為的地圖上，這兩個城市之間鐵路線的長度大約是多少厘米？【答案】4.75厘米【分析】根據(jù)圖上距離＝實(shí)際距離×比例尺，代入數(shù)據(jù)，即可求出這兩個城市之間鐵路線的長度，注意單位名數(shù)的換算?！驹斀狻?900千米＝190000000厘米190000000×＝4.75（厘米）答：這兩個城市之間鐵路線的長度大約是4.75厘米。3．在一幅地圖上，用6厘米的距離表示實(shí)際距離1200千米。在這幅地圖上量得A、B兩地的距離是4.5厘米，A、B兩地的實(shí)際距離是多少千米？一條560千米的高速公路，在這幅地圖上是多少厘米？【答案】900千米；2.8厘米【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離∶實(shí)際距離，據(jù)此求出這幅地圖的比例尺，再根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，據(jù)此計(jì)算可求出A、B兩地的實(shí)際距離；根據(jù)圖上距離＝實(shí)際距離×比例尺，據(jù)此可求出一條560千米的高速公路，在這幅地圖上是多少厘米?！驹斀狻?厘米∶1200千米＝6厘米∶120000000厘米＝6∶120000000＝（6÷6）∶（120000000÷6）＝1∶200000004.5÷＝4.5×20000000＝90000000（厘米）90000000厘米＝900千米560千米＝56000000厘米56000000×＝2.8（厘米）答：A、B兩地的實(shí)際距離是900千米，一條560千米的高速公路，在這幅地圖上是2.8厘米。4．在一幅比例尺是1∶9000000的地圖上，量得京滬高速公路的全長是14厘米，兩輛汽車分別同時從北京和上海出發(fā)相向而行，6小時后兩車在距兩地中點(diǎn)60千米處相遇。已知慢車的速度是95千米/時，快車的速度是多少？【答案】115千米/時【分析】兩車在距兩地中點(diǎn)60千米處相遇，說明相遇時，快車比慢車多行駛（60×2）千米，設(shè)快車的速度是x千米/時，根據(jù)快車速度×?xí)r間－慢車速度×?xí)r間＝快車多行駛的距離，列出方程解答即可。【詳解】解：設(shè)快車的速度是x千米/時。6x－95×6＝60×26x－570＝1206x－570＋570＝120＋5706x＝6906x÷6＝690÷6x＝115答：快車的速度是115千米/時?！靖哳l考題十】比例的綜合應(yīng)用。1．某工程隊(duì)鋪一條管道，前6天鋪了240米，照這樣計(jì)算，還要8天才能把管道鋪完，這條管道一共長多少米？（用比例知識解答）【答案】560米【分析】根據(jù)題意可知，鋪路的長度∶天數(shù)＝每天鋪路的長度（一定），比值一定，則鋪路的長度與天數(shù)成正比例關(guān)系，據(jù)此列出正比例方程，并求解?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這條管道一共長米。240∶6＝∶（6＋8）6＝240×（6＋8）6＝240×146＝3360＝3360÷6＝560答：這條管道一共長560米。2．工程隊(duì)修一條水渠，每天工作6小時，12天可以完成。如果每小時的工作量不變，每天工作8小時，多少天可以完成任務(wù)？（用比例知識解答）【答案】9天【分析】把總工作量看作整體“1”，根據(jù)工作效率不變，每天工作的時間和工作的天數(shù)成反比例，設(shè)x天可以完成任務(wù)，列比例：6×12＝8x，解比例，即可解答。【詳解】解：設(shè)x天可以完成任務(wù)。6×12＝8x8x＝72x＝72÷8x＝9答：9天可以完成任務(wù)。3．客車和貨車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，客車與貨車的速度比是。相遇后客車速度減少20%，貨車速度增加20%，兩車按原方向繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)客車距B地還有15千米時，貨車距A地還有27千米。A、B兩地相距多少千米？（用比例知識解答）【答案】405千米【分析】由題意可知，相遇前客車與貨車的速度比是，相遇后，客車速度減少20%，貨車速度增加20%，則相遇后客車、貨車的速度比是（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝5∶6，把兩地間的距離看作單位“1”，當(dāng)相遇時貨車行駛了全程的，則客車行駛了全程的，相遇后貨車還需行駛?cè)痰?，客車行駛?cè)痰模O(shè)AB相距x千米，根據(jù)時間一定，路程和速度成正比例，據(jù)此列比例解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)A、B兩地相距x千米。（5－5×20%）∶（4＋4×20%）＝（5－1）∶（4＋0.8）＝4∶4.8＝（4×10）∶（4.8×10）＝40∶48＝（40÷8）∶（48÷8）＝5∶6（x－27）∶（x－15）＝6∶5（x－27）×5＝（x－15）×6x－135＝x－90x－135＋135＝x－90＋135x＝x＋45x－x＝x＋45－xx＝45x×9＝45×9x＝405答：A、B兩地相距405千米。【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用正比例解決實(shí)際問題，明確時間一定，路程和速度成正比例是解題的關(guān)鍵。4．一根電線，第一次用去的與剩下的比是3∶4，第二次用去40米，這時用去的與剩下的比是5∶4。這根電線全長多少米？（用比例知識解答）【答案】315米【分析】假設(shè)這根電線全長x米，根據(jù)題意，第一次用去的長度占全長的，剩下的長度占全長的，求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法，所以第一次用去的長度是x米，剩下的長度是x米，第二次用去40米，共用去（x＋40）米，這時剩下（x－40）米，根據(jù)用去的與剩下的比是5∶4，列出方程，解方程即可求出這根電線全長多少米?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這根電線全長x米，（x＋40）∶（x－40）＝5∶4（x＋40）∶（x－40）＝5∶4（x－40）×5＝（x＋40）×4x×5－40×5＝x×4＋40×4x－200＝x＋160x－x＝160＋200x＝360x＝360÷x＝360×x＝315答：這根電線全長315米?！军c(diǎn)睛】此題主要考查比的應(yīng)用，弄清題意，把這根電線全長設(shè)為未知數(shù)x，找出題中數(shù)量間的相等關(guān)系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結(jié)果。一、填空題。1．（2023下·河南周口·六年級統(tǒng)考期末）若4x＝9y（x，y≠0），則x∶y＝()∶()?！敬鸢浮?4【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積；據(jù)此解答。【詳解】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果4x＝9y（x，y不為0）那么x∶y＝9∶4【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，掌握比例的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵。2．（2023下·湖北省直轄縣級單位·六年級期末）如果。且a、b兩數(shù)互為倒數(shù)，則()?！敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；a、b兩數(shù)互為倒數(shù)，ab＝1；再根據(jù)比例的基本性質(zhì)：比例的兩個外項(xiàng)之積等于兩個內(nèi)項(xiàng)之積；把x∶a＝b∶0.65，化為0.65x＝ab；再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以0.65，即可解答?！驹斀狻縜b＝1x∶a＝b∶0.650.65x＝ab0.65x＝1x＝1÷0.65x＝如果x∶a＝b∶0.65。且a、b兩數(shù)互為倒數(shù)，則x＝。3．（2023下·福建福州·六年級期末）有四個數(shù)4，8，16，x可以組成一個比例，其中x最大是()，最小是()?！敬鸢浮?22【分析】如果使配上的這個數(shù)最大，只要用給出的三個數(shù)中較大的兩個數(shù)16和8做這個比例的兩個外項(xiàng)或內(nèi)項(xiàng)，那么最小的數(shù)4和要求的這個數(shù)就作做比例的兩個內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)；如果使配上的這個數(shù)最小，只要用給出的三個數(shù)中較小的兩個數(shù)4和8做這個比例的兩個外項(xiàng)或內(nèi)項(xiàng)，那么最大的數(shù)16和要求的這個數(shù)就作為做比例的兩個內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)；進(jìn)而根據(jù)比例的性質(zhì)求解?！驹斀狻恳箈最大，則可列比例：8∶x＝4∶16解：4x＝8×164x＝1284x÷4＝128÷4x＝32要使x最小，則可列比例：4∶x＝16∶816x＝4×816x＝3216x÷16＝32÷16x＝2則x最大是32，最小是2。4．（2023下·河南洛陽·六年級統(tǒng)考期末）請?zhí)睢罢被颉胺础薄?1)圓柱的體積一定，圓柱的高和底面積成()比例關(guān)系。(2)數(shù)學(xué)書的單價一定，購買數(shù)學(xué)書的總價和數(shù)量成()比例關(guān)系?！敬鸢浮?1)反(2)正【分析】判斷兩種量成正比例還是成反比例，關(guān)鍵看這兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對應(yīng)的兩個數(shù)是比值一定還是乘積一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘積一定，就成反比例；如果比值和乘積都不是定量，就不成比例?！驹斀狻浚?）因?yàn)閳A柱的高×底面積＝圓柱的體積（一定），所以圓柱的體積一定，圓柱的高和底面積成反比例關(guān)系。（2）因?yàn)?，所以?shù)學(xué)書的單價一定，購買數(shù)學(xué)書的總價和數(shù)量成正比例關(guān)系?！军c(diǎn)睛】明確正、反比例的意義是解決此題的關(guān)鍵。5．（2023下·河南周口·六年級統(tǒng)考期末）下表中若x和y成反比例，則()。xy6【答案】【分析】因?yàn)閤和y成反比例，所以x和y的乘積一定。先用求出x和y的乘積；再用x和y的乘積除以6，即可求出△的值?！驹斀狻俊?＝×＝所以△＝。【點(diǎn)睛】明確反比例的意義是解決此題的關(guān)鍵。6．（2022下·廣東汕尾·六年級?？计谀┮粋€半徑是3厘米的圓，按2∶1放大，得到的圖形的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?13.04【分析】一個半徑是3厘米的圓，按2∶1放大，則此時的半徑為3×2＝6厘米，再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。【詳解】3×2＝6（厘米）3.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）則得到的圖形的面積是113.04平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查圖形的放大，結(jié)合圓的面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。7．（2022上·河南周口·六年級統(tǒng)考期末）在一幅比例尺是的圖紙上，一個零件畫在圖紙上的長度10厘米，它的實(shí)際長度是()毫米?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，1厘米是10毫米，依此將10厘米化成毫米后再進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻?0厘米＝100毫米100÷50＝2（毫米）則它的實(shí)際長度是2毫米。8．（2022下·天津南開·六年級?？计谀┯幸环N彈簧秤，秤上掛上物品（質(zhì)量在100克以內(nèi)）時，物品的質(zhì)量與彈簧伸長的長度情況如圖所示：

(1)如果掛40克重物，彈簧伸長的長度是()厘米；當(dāng)彈簧伸長的長度是4厘米時，所掛物品的質(zhì)量是()克。(2)彈簧伸長的長度與所掛物品的質(zhì)量成()比例關(guān)系。【答案】(1)820(2)正【分析】（1）觀察圖示，第一個空，找到橫軸40克對應(yīng)的彈簧伸長的數(shù)據(jù)即可；第二個空，找到豎軸4厘米對應(yīng)的橫軸質(zhì)量即可。（2）根據(jù)x÷y＝k（一定），x和y成正比例關(guān)系，進(jìn)行分析。【詳解】（1）如果掛40克重物，彈簧伸長的長度是8厘米；當(dāng)彈簧伸長的長度是4厘米時，所掛物品的質(zhì)量是20克。（2）10÷2＝5、20÷4＝5、30÷6＝5……彈簧伸長的長度與所掛物品的質(zhì)量成正比例關(guān)系。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解正比例的意義，正比例圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線。二、判斷題。9．（2024上·河北邯鄲·六年級統(tǒng)考期末）6.2∶3.1＝2是一個比例。()【答案】×【分析】比值相等的兩個比，可以組成比例。據(jù)此判斷?！驹斀狻?.2∶3.1是一個比，2是一個值，6.2∶3.1＝2不是一個比例。6.2∶3.1＝2∶1是一個比例。故答案為：×10．（2014·六年級課時練習(xí)）圓的面積和半徑成正比例。()【答案】×【分析】S圓＝πr2，根據(jù)x÷y＝k（一定），x和y成正比例關(guān)系，進(jìn)行分析?！驹斀狻繄A的面積÷半徑＝圓周率×半徑（不定），圓的面積和半徑不成比例關(guān)系，所以原題說法錯誤。故答案為：×【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的面積公式，理解正比例的意義。11．（2021上·河北邯鄲·六年級統(tǒng)考期末）比例尺的比值不一定比1小。()【答案】√【分析】比例尺＝圖上距離÷實(shí)際距離，比例尺的比值可能大于1、小于1或等于1。據(jù)此解答。【詳解】比例尺的比值不一定比1小，例如：將一個長2毫米的零件畫在圖紙上長10厘米，這幅圖的比例尺是50∶1，比值是50，大于1。所以原題干說法正確。故答案為：√12．（2023上·重慶綦江·六年級統(tǒng)考期末）把一個圖形放大或縮小后，形狀不變，大小發(fā)生變化。()【答案】√【分析】圖形的放大或縮小是指圖形的各邊按照一定的比例放大或縮小，一個圖形放大或縮小后，對應(yīng)邊的長度、圖形的周長比都相等，但是面積比不相等，所以圖形的大小會發(fā)生變化，但是形狀不變，據(jù)此解答。圖形如果按一定比例放大或縮小，只有它的大小發(fā)生改變，而形狀是不變的?！驹斀狻咳鐖D：根據(jù)分析可知，把一個圖形放大或縮小后，形狀不變，大小發(fā)生變化。原題干說法正確。故答案為：√【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的放大與縮小，掌握圖形變化的特征是解答本題的關(guān)鍵。三、選擇題。13．（2024上·湖南婁底·六年級統(tǒng)考期末）下面4個數(shù)中，不能與“4，20，15”組成比例的是()。A．3 B． C．16 D．75【答案】C【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積；據(jù)此判斷每個選項(xiàng)即可。【詳解】A．3×20＝604×15＝603能與“4，20，15”組成比例；B．4×20＝80×15＝80能與“4，20，15”組成比例；C．4×20＝8015×16＝24080不等于240，16不能與“4，20，15”組成比例；D．4×75＝30020×15＝30075能與“4，20，15”組成比例。故答案為：C14．（2023下·云南昆明·六年級期末）下列描述，錯誤的是()。A．張林每天收入100元，用了的錢和剩下的錢成反比例 B．一個人的年齡一定，身高與體重不成比例C．玫瑰花的總價一定，單價和數(shù)量成反比例 D．長方體的底面積一定，體積與高成正比例【答案】A【分析】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系；兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。據(jù)此一一分析各個選項(xiàng)，從而解題。【詳解】A．用了的錢＋剩下的錢＝每天的收入，不是乘積或商一定，所以用了的錢和剩下的錢不成比例；原題說法錯誤；B．一個人的年齡和體重不是先關(guān)聯(lián)的量，不成比例；原題說法正確；C．總價＝數(shù)量×單價，總價一定，數(shù)量和單價成反比例關(guān)系；原題說法正確；D．長方體的底面積＝體積÷高，長方體的底面積一定，體積和高成正比例關(guān)系；原題說法正確。故答案為：A15．（2022上·河南周口·六年級統(tǒng)考期末）在一幅比例尺是1∶1000000的地圖上，用()表示100km。A．0.1cm B．1cm C．10cm D．100cm【答案】C【分析】先根據(jù)進(jìn)率“1km＝100000cm”把100km換算成10000000cm；然后根據(jù)“圖上距離＝實(shí)際距離×比例尺”，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解?！驹斀狻?00km＝10000000cm10000000×＝10（cm）在一幅比例尺是1∶1000000的地圖上，用10cm表示100km。故答案為：C16．（2023下·福建福州·六年級期末）倉庫里有短袖襯衫210件，是長袖襯衫數(shù)量的75%。短袖和長袖襯衫共有多少件？下面解法中，正確的是()。①210÷（1＋75%）

②210∶3＝∶（3＋4）

③210÷75%＋210

④210÷3×（3＋4）A．①③ B．①② C．①③④ D．②③④【答案】D【分析】①210÷（1＋75%），意思是210件短袖襯衫比長袖襯衫的數(shù)量多75%，把長袖襯衫的數(shù)量看作單位“1”，則短袖襯衫是長袖襯衫數(shù)量的（1＋75%），單位“1”未知，用短袖襯衫的數(shù)量除以（1＋75%），求出長袖襯衫的數(shù)量。②將75%化成，＝3∶4，把210件短袖襯衫的數(shù)量看作3份，長袖襯衫的數(shù)量看作4份，一共是（3＋4）份；根據(jù)襯衫數(shù)量∶份數(shù)＝一份數(shù)（一定），列出正比例方程；③把長袖襯衫的數(shù)量看作單位“1”，210件短袖襯衫是長袖襯衫數(shù)量的75%，單位“1”未知，用短袖襯衫的數(shù)量除以75%，求出長袖襯衫的數(shù)量，再加上短袖襯衫的數(shù)量，即是短袖和長袖襯衫的總數(shù)量。④將75%化成，＝3∶4，把210件短袖襯衫的數(shù)量看作3份，長袖襯衫的數(shù)量看作4份，一共是（3＋4）份；用短袖襯衫的數(shù)量除以3，求出一份數(shù)，再用一份數(shù)乘總份數(shù)，即可求出短袖和長袖襯衫的總數(shù)量?！驹斀狻竣?10÷（1＋75%），表示210件短袖襯衫比長袖襯衫的數(shù)量多75%，不符合題意，解法錯誤；②75%＝＝3∶4解：設(shè)短袖和長袖襯衫共有件。210∶3＝∶（3＋4）3＝210×（3＋4）3＝1470＝1470÷3＝490短袖和長袖襯衫共有490件，解法正確；③210÷75%＋210＝210÷0.75＋210＝280＋210＝490（件）短袖和長袖襯衫共有490件，解法正確；④75%＝＝3∶4210÷3×（3＋4）＝70×7＝490（件）短袖和長袖襯衫共有490件，解法正確；綜上所述，解法正確的是②③④。故答案為：D四、計(jì)算題。17．（2024上·河北邯鄲·六年級校聯(lián)考期末）解比例。

【答案】；；【分析】比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個外項(xiàng)的積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的積。（1）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)把比例方程改寫成，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解；（2）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)把比例方程改寫成，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解；（3）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)把比例方程改寫成，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解；（4）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)把比例方程改寫成，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解?！驹斀狻浚?）解：（2）解：（3）解：（4）解：五、作圖題。18．（2023上·重慶潼南·六年級統(tǒng)考期末）在方格紙上按要求畫圖。（1）把上面左邊的圖形各邊放大到原來的2倍。（2）把上面的圓縮小到原來的，要求和原來的圓組成一個有無數(shù)條對稱軸的圖形?！敬鸢浮恳娫斀狻痉治觥浚?）圖中三角形的底是3，高是2，把它的各邊放大到原來的2倍，則原來三角形的底和高都乘2，即是放大后三角形的底和高，據(jù)此畫出放大后的三角形。（2）圖中圓的半徑是4，把它縮小到原來的，則原來圓的半徑除以2，即是縮小后圓的半徑。要求和原來的圓組成一個有無數(shù)條對稱軸的圖形，根據(jù)軸對稱圖形的意義，縮小后的圓與原來的圓必須是同心圓，據(jù)此畫出縮小后的圓。一個圖形沿一條直線對折后，折痕兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是對