專題04 整式的乘法與因式分解（考點(diǎn)清單5個(gè)考點(diǎn)清單+16種題型解讀）原卷版-A4

第頁專題04整式的乘法與因式分解（考點(diǎn)清單，5個(gè)考點(diǎn)清單+16種題型解讀）【清單01】?jī)绲倪\(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.2.冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.3.積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：注意事項(xiàng)（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.【清單02】整式的乘法1.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.【清單03】整式的除法1．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．語言敘述：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【拓展】（1）同底數(shù)冪的除法法則的推廣：當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m>n+p）．（2）同底數(shù)冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．2．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．式．【歸納】該法則包括三個(gè)方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．【注意】可利用單項(xiàng)式相乘的方法來驗(yàn)證結(jié)果的正確性．3．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是將其化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問題來解決，在計(jì)算時(shí)多項(xiàng)式里的各項(xiàng)要包括它前面的符號(hào)．（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商也應(yīng)該有幾項(xiàng)，不要漏項(xiàng)．（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可用其進(jìn)行檢驗(yàn)．【清單04】乘法公式1.平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如2.完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：3.補(bǔ)充公式；；；.【清單05】因式分解1.因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.2.公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.3.提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.4.公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.5.公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【考點(diǎn)題型一】?jī)绲倪\(yùn)算【例1】（2023秋?永春縣期末）已知，，為正整數(shù)，且滿足，則的取值不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【變式1-1】（2024春?港南區(qū)期末）若，則A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-2】（2023秋?倉山區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【變式1-3】（2023秋?郾城區(qū)期末）計(jì)算：．【考點(diǎn)題型二】?jī)绲倪\(yùn)算的逆運(yùn)算【例2】（2023秋?南陽期末）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)運(yùn)用逆向思考的方法來解決一些問題，例如：“若，，求的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法公式，即，所以，所以．（1）若，，請(qǐng)你也利用逆向思考的方法求出的值；（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考小豫的方法解答下面的問題：小豫的作業(yè)計(jì)算：；解：．①小豫的求解方法逆用了冪的一條運(yùn)算性質(zhì)，請(qǐng)你用符號(hào)（字母）語言直接寫出這條性質(zhì)：．②計(jì)算：．【變式2-1】（2024春?唐山期末）若，，則的值是A．24 B．10 C．3 D．2【變式2-2】（2023秋?東莞市校級(jí)期末）已知，，則值為A．9 B．20 C． D．【變式2-3】（2023秋?舒蘭市期末）當(dāng)，則的值為A．4 B． C．6 D．8【變式2-4】（2023秋?金昌期末）已知，，、為正整數(shù)，求．【考點(diǎn)題型三】?jī)绲倪\(yùn)算的應(yīng)用——比較大小【例3】（2023秋?鄲城縣期末）比較、、的大小A． B． C． D．【變式3-1】（2023秋?舞陽縣期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【變式3-2】（2023秋?藁城區(qū)期末）比較大小：．【考點(diǎn)題型四】整式的乘除法【例4-1】（2023秋?南陵縣期末）計(jì)算：．【例4-2】（2023秋?廣陽區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算的結(jié)果是．【例4-3】（2023秋?和縣期末）．【例4-4】（2023秋?雷州市期末）．【例4-5】（2023秋?漢陽區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【例4-6】（2023秋?廉江市期末）（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【例4-7】（2023秋?于都縣期末）已知多項(xiàng)式．化簡(jiǎn)多項(xiàng)式時(shí)，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請(qǐng)你檢查小明同學(xué)的解題過程．在標(biāo)出①②③④的幾項(xiàng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的是，并寫出正確的解答過程．小明的作業(yè)：①②③④．【變式4-1】（2023秋?黔南州期末）式子化簡(jiǎn)后的結(jié)果是A． B． C． D．【變式4-2】（2023秋?漳州期末）如果，那么、的值分別是A．， B．， C．， D．，【變式4-3】（2023秋?大連期末）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【變式4-4】（2023秋?西寧期末）計(jì)算：．【變式4-5】（2023秋?松北區(qū)期末）若，，則．【變式4-6】（2023秋?雨花區(qū)期末）若，則．【考點(diǎn)題型五】乘法公式【例5-1】（2023秋?久治縣期末）已知，，求與的值．【例5-2】（2023秋?江陽區(qū)期末）計(jì)算：．【例5-3】（2023秋?鞍山期末）運(yùn)用乘法公式計(jì)算：【變式5-1】（2024春?平南縣期末）已知，，則代數(shù)式的值為A．8 B．18 C．19 D．25【變式5-2】（2023秋?安康期末）計(jì)算：．【考點(diǎn)題型六】因式分解【例6-1】（2023秋?自貢期末）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是A． B． C． D．【例6-2】（2024春?港南區(qū)期末）單項(xiàng)式與的公因式是A． B． C． D．【例6-3】（2023秋?乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A． B． C． D．【例6-4】（2023秋?高青縣期末）分解因式：（1）；（2）．【變式6-1】（2023秋?濱海新區(qū)期末）把多項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是A． B． C． D．【變式6-2】（2023秋?臨潼區(qū)期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：（1）因式分解：；（2）因式分解：．【變式6-3】（2023秋?東城區(qū)期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以為未知數(shù)，、、、為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；（3）結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．【考點(diǎn)題型七】解決不含某項(xiàng)問題【例7】（23-24八年級(jí)·山東聊城·期末）已知多項(xiàng)式M=x2?3ax+6，N=x+3，且MN=A，當(dāng)多項(xiàng)式A中不含x的2次項(xiàng)時(shí)，aA．?1 B．?13 C．0【變式7-1】（2023秋?楚雄州期末）如果計(jì)算的結(jié)果不含項(xiàng)，那么的值為A．0 B．1 C． D．【變式7-2】（2024春?廣陵區(qū)期末）若的結(jié)果中不含項(xiàng)，則的值為A．0 B．2 C． D．【變式7-3】（2023秋?同心縣校級(jí)期末）如果展開式中不含項(xiàng)，則．【考點(diǎn)題型八】解決與某個(gè)字母取值無關(guān)的問題【例8】（23-24八年級(jí)·湖南常德·期中）知識(shí)回顧：八年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到過這樣一類題“代數(shù)式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，則理解應(yīng)用：(1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式2m2?3x?m3?5x的值與(2)已知A=2x+13x?1?x5+3y，B=2x2?3xy+4【變式8】（23-24八年級(jí)·浙江金華·期末）若代數(shù)式x5kx?3xy?k?33x2y?4A．2 B．?2 C．?4 D．4【考點(diǎn)題型九】解決污染問題【例9】（2023秋?重慶期末）小明計(jì)算一道題：，的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為內(nèi)應(yīng)填寫A．1 B．2 C．3 D．4【變式9-1】（23-24八年級(jí)·貴州遵義·期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：24x4yA．?18x3y2 B．18x3【變式9-2】（23-24八年級(jí)·湖北十堰·期末）右側(cè)練習(xí)本上書寫的是一個(gè)正確的因式分解.但其中部分代數(shù)式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代數(shù)式；（2）若被污染的代數(shù)式的值不小于4，求x的取值范圍.【變式9-3】（2023秋?南昌期末）老師在黑板上書寫了一個(gè)正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式，形式如下：（1）求所捂的多項(xiàng)式；（2）若，，求所捂多項(xiàng)式的值．【考點(diǎn)題型十】解決誤看問題【例10】（2023秋?瀏陽市期末）小馬和小虎兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：，由于小馬抄錯(cuò)了的符號(hào)，得到的結(jié)果為；由于小虎漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中的系數(shù)，得到的結(jié)果為．（1）求出，的值；（2）請(qǐng)你計(jì)算出這道整式乘法題的正確結(jié)果．【變式10】（2023秋?西平縣期末）某同學(xué)在計(jì)算加上一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)錯(cuò)將加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推斷出正確的計(jì)算結(jié)果是A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十一】新定義問題【例11】（2023秋?衡陽期末）對(duì)于整數(shù)、定義運(yùn)算：※（其中、為常數(shù)），如3※．（1）填空：當(dāng)，時(shí)，2※；（2）若1※，2※，求的值．【變式11-1】（2023秋?江漢區(qū)期末）定義一種新的運(yùn)算“”，若，則．①依定義，；②若，，，，則．【變式11-2】（2023秋?攸縣期末）一般地，若且，，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為，即．譬如：，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即．根據(jù)對(duì)數(shù)的定義完成下列問題：（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：；；．（2）由（1）中計(jì)算的結(jié)果及結(jié)合三個(gè)數(shù)4；16；64之間滿足的等量關(guān)系式，直接寫出；；滿足的等量關(guān)系式．（3）由（2）猜想一般性結(jié)論：且，，，并根據(jù)冪的運(yùn)算法則：以及對(duì)數(shù)的含義證明你的猜想．【變式11-3】（2023秋?望城區(qū)期末）規(guī)定，求：（1）求；（2）若，求的值．【變式11-4】（2023秋?鯉城區(qū)期末）規(guī)定兩數(shù)、之間的一種運(yùn)算，記作：如果，那么．例如：因?yàn)?，所以．根?jù)上述規(guī)定，填空：（1）；（2）若，，則的值為．【考點(diǎn)題型十二】規(guī)律問題【例12】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學(xué)習(xí)，對(duì)兩位數(shù)乘法的速算技巧進(jìn)行研究．小明發(fā)現(xiàn)“十位相同，個(gè)位互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘有速算技巧．例如：24×26=100×2×342×48=100×4×5小紅發(fā)現(xiàn)“十位互補(bǔ)，個(gè)位為5”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘也有速算技巧．例如：45×65=100×4×6+535×75=100×3×7+5(1)請(qǐng)你按照小明發(fā)現(xiàn)的技巧，寫出計(jì)算63×67的速算過程；(2)請(qǐng)你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現(xiàn)的速算規(guī)律，并驗(yàn)證其正確性；(3)小穎發(fā)現(xiàn)：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補(bǔ)，個(gè)位相同”的兩個(gè)兩位數(shù)相乘．請(qǐng)你直接用含有字母的等式表示該規(guī)律．友情提示：如果兩個(gè)正整數(shù)和為10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)．【變式12-1】（23-24八年級(jí)·福建寧德·期中）下圖揭示了(a+b)n（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．請(qǐng)觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過514天是星期

……(a+b)……(a+b)……a+b……a+b【變式12-2】（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）觀察：下列等式x?1x+1=x2?1，x?1x2+x+1=【變式12-3】（23-24八年級(jí)·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2020年11月份的日歷，我們?nèi)我庥靡粋€(gè)2×2的方框框出4個(gè)數(shù)，將其中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(1)圖中方框框出的四個(gè)數(shù)，按照題目所說的計(jì)算規(guī)則，結(jié)果為．(2)換一個(gè)位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請(qǐng)你利用整式的運(yùn)算對(duì)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明；如果沒有，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)題型十三】幾何圖形問題【例13】（2023秋?乾安縣期末）如圖，一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，把6個(gè)大小相同的小長(zhǎng)方形放入到大長(zhǎng)方形內(nèi)．（1）大長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)（長(zhǎng)和寬都用含，的式子來表示）．（2）求在大長(zhǎng)方形中，陰影部分的面積（用含，的式子來表示）（3）若，大長(zhǎng)方形面積為，大長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積為，則．【變式13-1】（2023秋?安康期末）如圖所示的是人民公園的一塊長(zhǎng)為米．寬為米的空地．預(yù)計(jì)在空地上建造一個(gè)網(wǎng)紅打卡觀景臺(tái)（陰影部分）．（1）請(qǐng)用、表示觀景臺(tái)的面積．（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）（2）如果修建觀景臺(tái)的費(fèi)用為200元平方米．且已知（米，（米．那么修建觀景臺(tái)需要費(fèi)用多少元？【變式13-2】（2023秋?宜州區(qū)期末）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，角上有四個(gè)邊長(zhǎng)為米的小正方形空地，開發(fā)商計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化．（1）用含有、的式子表示綠化的總面積（結(jié)果寫成最簡(jiǎn)形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團(tuán)隊(duì)完成此項(xiàng)綠化任務(wù)，已知該隊(duì)每小時(shí)可綠化平方米，每小時(shí)收費(fèi)200元，則該物業(yè)應(yīng)該支付綠化隊(duì)多少費(fèi)用？（用含、的代數(shù)式表示）【考點(diǎn)題型十四】分類討論思想【例14】（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）若是完全平方式，則．【變式】[2024杭州濱江區(qū)模擬]若x2－4xy－y2＝0(y＞0)，則xy＝【考點(diǎn)題型十五】數(shù)形結(jié)合思想【例15-1】（2023秋?臨潁縣期末）實(shí)踐與探索如圖1，邊長(zhǎng)為的大正方形有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）．．．（2）請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：①已知，，則．②計(jì)算：．【例15-2】（2023秋?晉江市期末）【實(shí)踐探究】小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖1所示編號(hào)為①②③④的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：（1）現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖2所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：；【問題解決】（2）若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，其中②號(hào)長(zhǎng)方體和③號(hào)長(zhǎng)方體各需要多少個(gè)？試通過計(jì)算說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，直接寫出因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問題：已知與分別是兩個(gè)大小不同正方體的棱長(zhǎng)，且，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，求的值．【變式15-1】[2023北京石景山區(qū)期末]著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾用詩詞表達(dá)了“數(shù)形結(jié)合”的思想，其中談到“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.如圖是由四個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形拼成的正方形，其中a＞b＞0.根據(jù)圖形寫出一個(gè)正確的等式，可以表示為?