期中考試壓軸題專練（第一-三章）（40題）-【?？級狠S題】七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（北師大版）（解析版）

期中考試壓軸題專練第一章整式的乘除1．（23-24七年級上·福建泉州·期中）某網(wǎng)店實行優(yōu)惠購物，優(yōu)惠規(guī)定如下：如果一次性購物在元以內(nèi)，按標(biāo)價給予九折優(yōu)惠；如果一次性購物超過元的，可以先享受“天貓”每滿元減元的優(yōu)惠政策（滿元減元，以此類推，不設(shè)上限）進(jìn)行減扣，然后再給予八折優(yōu)惠．某顧客在該網(wǎng)店兩次購物的商品標(biāo)價共計元，若第一次購物商品標(biāo)價為元，且少于第二次購物商品的標(biāo)價，則該顧客兩次購物的實際付款總額不可能為（

）元A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式的運算，根據(jù)題意先求出的范圍，再分類討論即可，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解優(yōu)惠方案及分類討論思想的應(yīng)用．【詳解】解：由題意可得：，解得：，當(dāng)時，則，兩次購物的實際付款共為：元；當(dāng)時，則，兩次購物的實際付款共為：元；當(dāng)時，則，兩次購物的實際付款共為：（元）；∴可能，不可能，故選：．2．（23-24八年級上·重慶渝中·階段練習(xí)）若有兩個整式，．下列結(jié)論中，正確的有（

）①當(dāng)為關(guān)于的三次三項式時，則；②當(dāng)多項式乘積不含時，則；③；④當(dāng)能被整除時，；⑤若或時，無論和取何值，值總相等，則．A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤【答案】C【分析】求出，可得當(dāng)時，為關(guān)于的三次三項式，此時，故說法①錯誤；求出，再由多項式乘積不含，可得，解得：，故說法②錯誤；當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，故③說法正確；設(shè)，可得，從而得到，故④說法正確；根據(jù)當(dāng)或時，無論和取何值，值總相等，可得且，故⑤說法正確，即可．【詳解】解：∵，，∴，當(dāng)時，為關(guān)于的三次三項式，此時，故說法①錯誤；∵多項式乘積不含，∴，解得：，故說法②錯誤；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，∴，故③說法正確；∵能被整除，∴可設(shè)，∵∴，即，∴，∴，故④說法正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵當(dāng)或時，無論和取何值，值總相等，∴且，解得：，故⑤說法正確；故選：C【點睛】本題考查了整式的加減與乘法，熟練掌握整式混合運算法則是解題關(guān)鍵．3．（22-23七年級下·重慶北碚·期中）給定一個正整數(shù)m，任意兩個整數(shù)a與b分別除以m所得的余數(shù)相同，我們就說a，b對m同余，記作．例如：，，記作．①②若，則③若，則④若（，a，b，c，d為整數(shù)），則以上說法正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】按照新定義分別對各說法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，二者余數(shù)不同，∴①錯誤，故不符合要求；∵，∴記，，其中均為正整數(shù)，則，，∴，，∴整數(shù)與分別除以3所得的余數(shù)和分別除以3所得的余數(shù)相同，∴，∴②正確，故符合要求；∵，記，，，，其中均為正整數(shù)，則，，，，∴，，∴整數(shù)、分別除以7所得的余數(shù)和除以7所得的余數(shù)相同，∴，∴③正確，故符合要求；∵，∴整數(shù)與分別除以9所得的余數(shù)相同，∴，∴④正確，故符合要求；綜上，②③④正確，共3個；故選C．【點睛】本題考查了新定義的運算，多項式乘多項式等知識．解題的關(guān)鍵在于理解題意．4．（23-24七年級上·福建廈門·期中）如圖，長為y，寬為x的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形C，其較短的邊長為，下列說法中正確的有．（填寫序號）

①小長方形C的較長邊為；②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當(dāng)時，陰影A和陰影B的面積和為定值．【答案】①③④【分析】觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為，說法①符合題意；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為，說法②不符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為，結(jié)合x為定值可得出說法③符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為，代入可得出說法④符合題意．【詳解】解：∵大長方形的長為y，小長方形的寬為4cm，∴小長方形的長為，說法①符合題意；∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為，小長方形的寬為4cm，∴陰影A的較短邊為，陰影B的較短邊為，∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為，說法②不符合題意；∵陰影A的較長邊為，較短邊為，陰影B的較長邊為，較短邊為，∴陰影A的周長為，陰影B的周長為，∴陰影A和陰影B的周長之和為，∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長之和為定值，說法③符合題意；∵陰影A的較長邊為，較短邊為，陰影B的較長邊為，較短邊為，∴陰影A的面積為，陰影B的面積為，∴陰影A和陰影B的面積之和為，當(dāng)時，，說法④符合題意，綜上所述，正確的說法有①③④，故答案為：①③④．【點睛】本題考查了列代數(shù)式以及整式的混合運算，根據(jù)圖形分別表示出相關(guān)邊長并能熟練運用整式加減的運算法則是解題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級上·江蘇連云港·期中）矩形內(nèi)放入兩張邊長分別為a和的正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分面積為；按圖③放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分的面積為，已知，，設(shè)，則．

【答案】7【分析】利用面積的和差表示出，根據(jù)圖①與圖②分別表示出矩形的面積，進(jìn)而得到，從而求解．【詳解】解：由，可得：，由圖①得：，由圖②得：，∴，∴，∵，∴．故答案為：7．【點睛】本題考查了整式的混合運算，“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來．6．（22-23七年級下·山東菏澤·階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點H為AE的中點，連結(jié)DH，F(xiàn)H．將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2.已知甲、乙兩個正方形邊長之和為8，圖2的陰影部分面積為6，則圖1的陰影部分面積為．【答案】19【分析】設(shè)甲正方形的邊長為a，乙正方形的邊長為b，根據(jù)題意可得：，根據(jù)完全平方和公式得到，即兩個正方形的面積和，結(jié)合圖形用正方形的面積和減去和的面積，即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：設(shè)甲正方形的邊長為a，乙正方形的邊長為b，根據(jù)題意可得：，，，，是得中點，，，，．故答案為：19．【點睛】本題考查完全平方和公式的運用，正確對完全平方和公式進(jìn)行變形時解題的關(guān)鍵．7．（23-24八年級上·四川內(nèi)江·期中）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干張如圖1的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：之間的等量關(guān)系(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片1張，號卡片2張，號卡片張．(3)根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：，求的值；②已知：，求的值．【答案】(1)(2)3；(3)①；②．【分析】（1）根據(jù)圖形得出答案即可；（2）根據(jù)多項式乘多項式法則進(jìn)行計算即可；（3）①先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出答案即可；②先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出答案即可．本題考查了完全平方公式，多項式乘多項式等知識點，能熟記完全平方公式是解此題的關(guān)鍵，，．【詳解】（1）解：．故答案為：；（2），要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片1張，號卡片2張，號卡片3張．故答案為：3；（3）①，又，，解得：；②，，，解得：．8．（23-24八年級上·廣東珠?！て谥校┙Y(jié)合圖形我們可以通過兩種不同的方法計算面積，從而可以得到一個數(shù)學(xué)等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計算陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；(2)我們可以利用（1）中的關(guān)系進(jìn)行求值，例如，若x滿足，可設(shè)，，則，．則______．(3)若x滿足，則的值為______；(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個面積為的大長方形，則______；(5)如圖3，已知正方形的邊長為x，E，F(xiàn)分別是、上的點，且，，長方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）方法一是直接將兩個正方形的面積相加，方法二是用大的正方形面積減去兩個長方形的面積，即可得到等式；（2）根據(jù)（1）中得到的關(guān)系式直接代入即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)（2）中的方法可得到結(jié)果；（4）根據(jù)得到的大長方形的面積展開，可以得到一個關(guān)系式，由關(guān)系式中可知道用的紙張分別是多少，計算其和即可；（5）先根據(jù)陰影部分構(gòu)造出來等式，然后根據(jù)兩次完全平方公式得到結(jié)果．【詳解】（1）解：方法一：陰影部分是兩個正方形的面積和，即；方法二：陰影部分也可以看作邊長為的面積減去兩個長為，寬為的長方形面積，即，兩種方法可得出：；（2）解：由（1）可得，∵，，∴；（3）解：設(shè)，，∵x滿足，∴，∵，∴，∴的值為；（4）解：，A紙片的面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，根據(jù)可知要拼出一個面積為的大長方形，需要3張A紙片，1張B紙片，4張C紙片，則；（5）解：由圖知，，∴，∵長方形的面積是24，∴，設(shè)，，則，，由，得，∴，∴，即，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、多項式乘多項式、完全平方公式的變形適用，熟練掌握完全平方公式以及能夠用換元法解題是解題的關(guān)鍵．9．（23-24八年級上·四川內(nèi)江·期中）閱讀下列解答過程：已知：，且滿足．求：的值．解：，，即．．請通過閱讀以上內(nèi)容，解答下列問題：已知，且滿足，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)6(2)【分析】本題主要考查完全平方公式的運用．（1）先將整理得，再仿照閱讀內(nèi)容求出的值，最后再根據(jù)完全平方公式求出的值即可；（2）先求出的倒數(shù)得，再將（1）中所求得的的值整體代入即可．熟練掌握完全平方公式，會根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1），整理得：，，；（2）的倒數(shù)為，，．10．（23-24八年級上·福建泉州·期中）對于整數(shù)a、b定義運算：（其中m、n為常數(shù)），如．(1)填空：當(dāng)，時，__________；(2)若，，求的值．【答案】(1)3(2)81【分析】（1）根據(jù)新定義的運算方法計算即可；（2）根據(jù)條件結(jié)合新定義的運算方法判斷出，，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：，故答案為：3；（2），，，，整理得：，，解得：，．【點睛】本題考查新定義運算和冪的運算法則，包括冪的乘方，同底數(shù)冪相乘的逆用，同底數(shù)冪相除的逆用，實數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用冪的運算法則解決問題．11．（23-24八年級上·湖南衡陽·期中）閱讀下面問題：你能化簡嗎？我們不妨先從簡單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論．(1)先填空：①．②．：③．④由此猜想．(2)利用得出的結(jié)論計算：【答案】(1)，，，．(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式可得①，根據(jù)多項式乘多項式可求②、③，根據(jù)①、②、③規(guī)律可求④；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律可將式子變形為進(jìn)而即可求解；【詳解】（1）解：①根據(jù)平方差公式，②，③，④由①、②、③規(guī)律可得．故答案為：，，，．（2）【點睛】本題主要考查平方差公式的應(yīng)用，多項式乘法中規(guī)律性問題，掌握題中規(guī)律并正確計算是解題的關(guān)鍵．12．（23-24八年級上·湖南長沙·期中）閱讀以下材料：已知兩個兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數(shù)為“幸福數(shù)對”，例如，所以和與和都是“幸福數(shù)對”.解決如下問題：(1)請判斷與是否是“幸福數(shù)對”？并說明理由：(2)為探究“幸福數(shù)對”的本質(zhì)，可設(shè)“幸福數(shù)對”中一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且；另一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且，試說明，，，之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(3)若有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為；另一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為．若這兩個數(shù)為“幸福數(shù)對”，求出這兩個兩位數(shù)．【答案】(1)與是“幸福數(shù)對”，理由見解析(2)；證明見解析(3)和【分析】本題考查了多項式乘以多項式和新定義“幸福數(shù)對”，根據(jù)多項式乘以多項式進(jìn)行計算即可求解．（1）根據(jù)定義即可得到答案；（2）根據(jù)定義得：，化簡得；（3）根據(jù)定義列等式，化簡解方程可得的值，從而得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴與是“幸福數(shù)對”（2）解：理由如下，依題意，，，，，，∴．即（3）解：由（2）可得即∴解得：，則，；，∴這兩個兩位數(shù)分別為：和．13．（23-24八年級上·湖南長沙·期中）我們定義：如果兩個多項式與的和為常數(shù)，則稱與互為“對消多項式”，這個常數(shù)稱為它們的“對消值”．如與互為“對消多項式”，它們的“對消值”為．(1)下列各組多項式互為“對消多項式”的是（填序號）；與；與；與(2)多項式與多項式（，為常數(shù)）互為“對消多項式”，求它們的“對消值”；(3)關(guān)于的多項式與互為“對消多項式”，“對消值”為．若，，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)；(2)它們的“對消值”為；(3)代數(shù)式的最小值是．【分析】此題考查了求代數(shù)式值的能力，()運用題目中的定義進(jìn)行逐一計算、辨別；()先運用題目中的定義求得，的值，再代入求解；()先求得，再將原式進(jìn)行配方變形進(jìn)行求解；解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確運用題目的新定義進(jìn)行求解．【詳解】（1）∵，,，∴組多項式不是互為“對消多項式”，組多項式是互為“對消多項式”，故答案為：；（2），，∵與互為“對消多項式”，，，，，∴它們的“對消值”為；（3），，，∵與互為“對消多項式”且“對消值”為，∴，∴，，，，，，，，∴代數(shù)式的最小值是．14．（23-24八年級上·廣東廣州·期末）閱讀理解：條件①：無論代數(shù)式A中的字母取什么值，A都不小于常數(shù)M；條件②：代數(shù)式A中的字母存在某個取值，使得A等于常數(shù)M；我們把同時滿足上述兩個條件的常數(shù)M叫做代數(shù)式A的下確界．例如：，，（滿足條件①）當(dāng)時，（滿足條件②）是的下確界．又例如：，由于，所以，（不滿足條件②）故4不是的下確界．請根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)求的下確界．(2)若代數(shù)式的下確界是1，求m的值．(3)求代數(shù)式的下確界．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了根據(jù)完全平方公式進(jìn)行多項式變型、運算，（1）根據(jù)題干示例的方法計算即可作答；（2）根據(jù)題意設(shè)，根據(jù)可得，解方程即可求解；（3）將x看作常數(shù)進(jìn)行配方，可將變型為，問題隨之得解．【詳解】（1），，（滿足條件①）當(dāng)時，（滿足條件②）是的下確界．（2）∵代數(shù)式的下確界是1，∴設(shè)，∵，∴，∴，解得：，即：；（3），，，（滿足條件①）當(dāng)，，即，時，（滿足條件②）是的下確界．15．（23-24七年級上·北京西城·期中）閱讀理解：我們通常學(xué)習(xí)的數(shù)都是十進(jìn)制數(shù)，使用的數(shù)碼共有10個：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具體數(shù)時采用“逢十進(jìn)一”的原則，比如：，（這里我們規(guī)定：a≠0時，），又如：．而現(xiàn)代的計算機和依賴計算機的設(shè)備都使用二進(jìn)制數(shù)，用到的數(shù)碼只有兩個：0和1，表示具體數(shù)時“逢二進(jìn)一”．二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化，二進(jìn)制數(shù)的運算也和十進(jìn)制數(shù)的運算類似．①我們可以把十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制整數(shù)．比如：，所以103用二進(jìn)制數(shù)碼表示是1100111，記為；②也可以把十進(jìn)制分?jǐn)?shù)或者小數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制小數(shù)，比如：，所以可以表示成二進(jìn)制小數(shù)，記為．這里還可以把分子1和分母8都轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，在二進(jìn)制下用分了除以分母得到的二進(jìn)制小數(shù)表示：由于，，所以，而可以類比十進(jìn)制數(shù)一樣做除法，只是商和余數(shù)都只能是0或1：，所以；③與十進(jìn)制數(shù)類似，二進(jìn)制也有循環(huán)小數(shù)，比如：，由，可知．問題解決：(1)將十進(jìn)制數(shù)35化成二進(jìn)制數(shù)為：（______）．二進(jìn)制小數(shù)化為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)是______．(2)將十進(jìn)制分?jǐn)?shù)化成二進(jìn)制小數(shù)：；．(3)在十進(jìn)制中，循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，比如：將化為分?jǐn)?shù)形式．設(shè)（A）則（B）．得：即，于是得到．同樣，二進(jìn)制中的循環(huán)小數(shù)也可以用類似的方法化為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)．請二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化成十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，保留計算過程．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】（1）根據(jù)十進(jìn)制與二進(jìn)制間的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)十進(jìn)制與二進(jìn)制間的關(guān)系求解即可；（3），進(jìn)而得，根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制間的關(guān)系解方程即可．【詳解】（1）解：，∴，，故答案為：，；（2）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：，；（3）解：設(shè)，則，∴，即．【點睛】本題主要考查了乘方，二進(jìn)制與十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)化，一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)化方法是解題的關(guān)鍵．第二章相交線與平行線16．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）如圖，點為長方形邊上的一點，連接，，與分別交于點和點，四邊形的面積為，的面積為，的面積為，圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線間距問題，三角形的面積等，根據(jù)平行線間間距處處相等結(jié)合三角形面積公式證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴．故選：．17．（22-23七年級下·浙江溫州·期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進(jìn)一步求即可．【詳解】解：如圖所示，過點，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及平角的定義等知識，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（22-23七年級下·安徽合肥·期中）如圖，，平分，平分，則與的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先過點E作，過點F作，由，即可得，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，解答即可．【詳解】解：如圖，過點E作，過點F作，

∵，∴，∴，，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行內(nèi)錯角相等，角平分線的性質(zhì)．19．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，，平分，，已知，則度．【答案】115【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，．如圖所示，連接，過點C作，先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明，再由平行線的性質(zhì)證明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根據(jù)，推出，再由，推出，即．【詳解】解：如圖所示，連接，過點C作，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．20．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知，點是上方一點，點分別在直線、上，連結(jié)、，平分，交的反向延長線于點，若，且，則度數(shù)為．

【答案】/52度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運用，過點作，過作，設(shè)，，利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得出結(jié)論，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角，利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推算．【詳解】如圖，過點作，過作，

設(shè)，，∵，交于，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．21．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）已知：如圖，，的平分線與的平分線交于點M，，，，則．【答案】/88度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是會添加常用輔助線（即過“拐點”作平行線），一般而言，有幾個“拐點”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點”模型的基本結(jié)論解決問題；過點、、分別作，根據(jù)平行線的傳遞性得出，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等以及角平分線的定義即可求解；【詳解】過點、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．22．如圖，已知，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數(shù)是．【答案】/度【分析】首先設(shè)，，過點作，過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，，又由的余角等于的補角，可得方程：，繼而求得答案．【詳解】解：如圖，

設(shè)，，，與的平分線交于點，，，，，過點作，過點作，，，，，，，，，的余角等于的補角，，解得：，，故答案為：．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定以及余角、補角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．23．已知正方形ABCD的邊長是1，E為CD邊的中點，P為正方形ABCD邊上的一個動點，動點P從A點出發(fā)，沿運動，到達(dá)點E.若點P經(jīng)過的路程為自變量x，△APE的面積為函數(shù)y，則當(dāng)y＝時，x的值等于．【答案】或【分析】根據(jù)點的運動軌跡，分析出當(dāng)在或上均有可能，再根據(jù)的面積為分類討論計算即可．【詳解】（1）當(dāng)在上時，如圖：∴（2）當(dāng)在上時，如圖：∴故答案為：或【點睛】本題考查動點問題與三角形面積求算，不規(guī)則圖形面積求算通常采用割補法，同時注意分類討論．24．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）如圖（1）所示，線段與線段重合，點是它們的中點，保持不動，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)）；射線從與射線重合開始，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（至多旋轉(zhuǎn)到與射線重合為止）．在此基礎(chǔ)上，我們給出如下定義：比較與的大小，若，則將其中較小角的度數(shù)定義為對的“迷你角度”；若，則將或的度數(shù)定義為對的“迷你角度”．

(1)當(dāng)時，①如圖（2）所示，若，求對的“迷你角度”是多少度；②若對的“迷你角度”為，請借助圖（3）和圖（4）進(jìn)行分析，求出的值是多少．(2)若時，對的“迷你角度”是，請直接寫出的值，不用說明理由．【答案】(1)①②；(2)或【分析】（1）①根據(jù)“迷你角度”的定義計算即可；②分為當(dāng)是對的“迷你角度”時和當(dāng)是對的“迷你角度”時，分別畫圖計算即可；（2）分為當(dāng)是對的“迷你角度”和當(dāng)是對的“迷你角度”，當(dāng)時，分別計算即可；【詳解】（1），①如圖（2）所示，若，則，對的“迷你角度”是；②若對的“迷你角度”為，則或，當(dāng)是對的“迷你角度”時，如圖，，；

當(dāng)是對的“迷你角度”時，如圖，，；

綜上，或；（2）設(shè)則對的“迷你角度”是，①當(dāng)是對的“迷你角度”，在之間時，如圖，，，，則，，符合要求；

當(dāng)是對的“迷你角度”，在之間時，如圖，，，，則，，不符合要求；

②當(dāng)是對的“迷你角度”，在之間時，如圖，，，；則，，故符合題意；

當(dāng)是對的“迷你角度”，在之間時，如圖，，；則，，故不符合題意；

③當(dāng)時，對的“迷你角度”是，此時，不符合題意；綜上，或．【點睛】該題主要考查了角度計算的動點問題以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論解題思想解答．25．（22-23七年級下·重慶江津·期中）如圖，已知，、分別在、上，點在、之間，連接、．(1)當(dāng)，平分，平分時：①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，在的下方有一點，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖3，在的上方有一點，若平分．線段的延長線平分，則當(dāng)時，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．（用含的式子表示）【答案】(1)①；②(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，（1）①②根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義即可求解；（2）過點作，則，設(shè)，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，從而求解．掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①如圖，分別過點，作，，，，，，，同理可得，，，平分，平分，，，，故答案為：；②如圖，過點作，，恰好平分，恰好平分，，，設(shè)，，，，，，，，，由①可知，；（2）結(jié)論：；理由：在的上方有一點，若平分，線段的延長線平分，設(shè)為線段的延長線上一點，，，設(shè)，，如圖，過點作，則，，，，，，由（1）可知，，，，，．26．（22-23七年級下·河北石家莊·期中）已知，定點E，F(xiàn)分別在直線，上，在平行線，之間有一動點P，滿足．(1)如圖1，當(dāng)P點在的左側(cè)時，若，，則；(2)如圖2，當(dāng)P點在的右側(cè)時，猜想，滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，點P在左側(cè)，且，和的角平分線，交于點Q，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點；以此類推，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，理解題意，準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵．（1）過點作，證，則，，從而得，再根據(jù)，可得的度數(shù)；（2）過點作，證，則，，從而得，由此可得，，滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）由（2）可知，由得，由角平分線定義得，由（1）得，再由角平分線定義得，則，同理：，…，以此類推：，據(jù)此可得的度數(shù)．【詳解】（1）過點P作，如圖1所示：∵，∴，∴，，∴，即，∵，，∴，故答案為：．（2），，滿足的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：過點P作，如圖2所示：∵，∴，∴，，∴，∵，∴．（3）由（2）可知：，∵，∴，∵，分別平分，，∴，由（1）可知：，∵，分別平分，，∴，∴，同理：，…，以此類推：，∴．27．（22-23七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，，點E在上，點G在上．

(1)如圖1，在、上分別取點M、N，連接，點F在上，已知平分，平分，若，，求，的度數(shù)．(2)如圖2，平分，平分，反向延長交于K，設(shè)，請通過計算，用含x的代數(shù)式表示．(3)如圖3，已知，，平分，平分，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系_________________【答案】(1)；(2)(3)（或）【分析】（1）作，可得，再利用角平分線求出結(jié)果；（2）設(shè)，求出，再利用角平分線及平行的性質(zhì)求得，最后根據(jù)即可求解；（3）過點作，由角平分線求得、，最后利用整理式子即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，作，，，，，，平分，，平分，，；

（2）如圖，設(shè)交于點M，平分，設(shè)，則，由（1）得，，，平分，，，，，在中，；

（3）如圖，過點作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行線的拐角問題，角平分線的性質(zhì)，掌握輔助線的作法是解決本題的關(guān)鍵．28．（22-23七年級下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖1，直線，直線分別交于點，，點在線段上（不在端點處），點在直線上，點在直線上，連接．

(1)如圖1，點在線段上，若，則的度數(shù)為_________；(2)如圖2，點在線段上，點為直線與之間區(qū)域的一點，點在線段上（不與端點重合），連．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，于點，點在射線上運動（不與重合），與的角平分線所在直線交于點與的角平分線所在直線交于點與的角平分線交于點，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)，證明見解析【分析】（1）設(shè)延長線交于點S，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)余角得出的度數(shù)即可；（2）過點K作，交于點W，設(shè)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為求出的值即可；（3）過點C作交于點O，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出角的關(guān)系即可．【詳解】（1）解：設(shè)延長線交于點S，

∵，，∴，∵，∴是直角三角形，∴，故答案為：；（2）過點K作，交于點W，

∴，，設(shè)，，∴，，，∴，，∵，，∴，即，∴的度數(shù)為；（3）過點C作交于點O，

在四邊形中，，∵與的角平分線所在直線交于點G，與的角平分線所在直線交于點F，與的角平分線交于點T，∴，，∵，∴，在四邊形中，，∴，即，∴，即．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)和垂線的性質(zhì)是解得關(guān)鍵．29．已知

(1)如圖1，若，可得=；(2)如圖2，若，平分，則=；(3)如圖3，在（2）的條件下，如果，則=；(4)嘗試解決下面問題：如圖4，，是的平分線，，求的度數(shù)．(5)拓展延伸：如圖2，已知，，平分，，則=；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本題主要利用平行線的性質(zhì)，垂直的定義和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）與是兩平行直線、被所截得到的內(nèi)錯角，所以根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義求解即可；（3）根據(jù)互余的兩個角的和等于，計算即可；（4）先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補和角平分線的定義求出的度數(shù)，再利用互余的兩個角的和等于即可求出．（5）先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和角平分線的定義求出的度數(shù)，再利用互余的兩個角的和等于即可求出．【詳解】（1）∵，故答案為：；（2）平分故答案為：；（3）∵，∴，∵，∴；故答案為：；（4）∵，∴，∵，∴，又∵是的平分線，∴，∵，∴，∴．（5）∵，∴，又∵是的平分線，∴，∵，∴，∴．30．如圖，，點，，，不在同一條直線上．(1)如圖，求證：(2)如圖，直線，交于點，且，．①試探究與的數(shù)量關(guān)系；②如圖，延長交射線于點，若，，則的度數(shù)為用含的式子表示．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）過E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)，由（1）知，，過P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②過P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，過E作，，，，，∴，即；（2）解：∵，，∴設(shè)，由（1）知，，如圖2，過P作，，，，，，即；②如圖3，過P作，，，，，由①知，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角的計算，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是秒，且a、b滿足，假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即，且．

(1)，；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，求A燈轉(zhuǎn)動幾秒時，兩燈的光束第一次互相平行？(3)如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點C，

①用含t的代數(shù)式表示②過C作交PQ于點D，則在轉(zhuǎn)動過程中，探究與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)3，1(2)A燈轉(zhuǎn)動15秒時，兩燈的光束第一次互相平行；(3)①；②，見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，進(jìn)而得出a、b的值；（2）由（1）可知，燈A轉(zhuǎn)動的速度是秒，燈轉(zhuǎn)動的速度是秒，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動秒時，兩燈光第一次互相平行，由平行線性質(zhì)可知，解方程求得x的值即可；（3）①過點C作，則由得到，則可得，經(jīng)過秒，，得到；②由題意可知，，即，得到，再得到，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴；故答案為：3，1；（2）解：由（1）可知，燈A轉(zhuǎn)動的速度是秒，燈轉(zhuǎn)動的速度是秒，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動秒時，兩燈光第一次互相平行，由平行線性質(zhì)，可知，解得；∴A燈轉(zhuǎn)動15秒時，兩燈的光束第一次互相平行；（3）解：①過點C作，

則∵，∴，∴∴，即，經(jīng)過秒，，故答案為：；②，理由如下：由題意可知，點一定在的右側(cè)，，即，，，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合．32．已知．

知識回顧（1）如圖，點在兩平行線之間，試說明：．知識應(yīng)用（2）如圖，、分別平分、，利用中的結(jié)論，試說明：；（3）如圖，直接寫出、、、四個角之間的數(shù)量關(guān)系．知識拓展（4）如圖，若，，、分別平分、，那么______；只要直接填上正確結(jié)論即可（5）如圖，若、、三個角的和是，、分別平分、，那么______用含的式子表示【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）【分析】過點作，利用豬腳模型進(jìn)行計算，即可解答；利用的結(jié)論可得得：，，再利用角平分線的定義可得，，然后進(jìn)行計算即可解答；根據(jù)角平分線的定義可得，，再利用的結(jié)論，從而進(jìn)行計算可得，再利用的結(jié)論可得，然后進(jìn)行計算即可解答；過點作，過點作，從而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，最后利用角平分線的定義可得，，從而利用的結(jié)論可得，進(jìn)行計算即可解答；過點作，過點作，過點作，利用的解題思路進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：過點作，

，，，，，；由得：，，、分別平分、，，，，即；，理由：、分別平分、，，，，由得：，，即；過點作，過點作，

，，，，，，，，，，，，、分別平分、，，，，故答案為：；過點作，過點作，過點作，

，，，，，，，，、分別平分、，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．33．（22-23七年級下·山東濰坊·期中）現(xiàn)有一塊含角的直角三角尺，是直角，其頂點在直線上，請你解決下列問題：

(1)如圖1，請直接寫出、的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為、，請寫出圖中分別與、相等的角，并說明理由；(3)如圖3，平分，將直角三角尺繞著點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出與直線所成銳角的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析．【分析】（1）由平角的定義可得、和的和為，可求得與的關(guān)系，（2）由直角三角形的兩銳角互余，再由（1）和結(jié)論可得出結(jié)論，（3）由平行線的性質(zhì)可得，再利用（1）中的關(guān)系可求出的大小即可，【詳解】（1），理由如下：點在直線上，，，，故答案為：．（2），，理由如下：由（1）得，，，，，，，，．（3），理由如下：如圖，

平分，，，，，由（1）可知，．故答案為：【點睛】本題考查了平角的定義及直角三角形的兩銳角互余，以及平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（22-23七年級下·遼寧大連·期中）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，直線直線，直線分別交直線、直線于點H、G，求證：．獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師提出新問題，請你解答．“如圖2，點N在射線上，點M在射線上，點Q在射線上，點P在射線上，連結(jié)，且，探究直線與直線之間的位置關(guān)系并說明理由；”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，在（2）的條件下，連接，使平分，，若給出與一定的數(shù)量關(guān)系，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的角中，有些角是可以求出來的，該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，若，求∠PMH的度數(shù)并說明理由．”

【答案】（1）見解析（2）見解析（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)等角代換即可證明；（2）延長，交于點K，由題意得，又，可得，又，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得，即可求解；（3）分別作，，再由平行公理的推論得，又由結(jié)合平分求得，再由已知，借助方程的思想，再通過角之間的轉(zhuǎn)換，由即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，

∵，∴．又∵，∴．（2）如圖2，

延長，交于點K，∵，∴．又，∴．又∵，，又，∴．∴．∴．（3）解：如圖3，

過M作，過K作，∵，∴．∵平分，∴．∵，∴可設(shè)．又，∴．∴平分．∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．即．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定和平行公理的推論，需要熟練掌握角之間的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．35．（22-23七年級下·浙江寧波·期中）如圖，直線，一副三角尺（）按如圖①放置，其中點在直線上，點，均在直線上，且平分．

(1)求的度數(shù)．(2)如圖②，若將三角形繞點以每秒度的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)（的對應(yīng)點分別為，），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為（s）（）；①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，求的值；②若在三角形繞點旋轉(zhuǎn)的同時，三角形繞點以每秒度的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)（的對應(yīng)點為，）請求出當(dāng)邊時的值．【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義即可解決問題．首先證明，由此構(gòu)建方程即可解決問題．分兩種情形：如圖中，當(dāng)時，延長交于根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．如圖中，當(dāng)時，延長交于根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖中，

，，平分，，，，，；（2）解：如圖中，

，，，，，，在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，的值為；如圖中，當(dāng)時，延長交于，

，，，，，；如圖中，當(dāng)時，延長交于，

，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．36．（22-23七年級下·四川成都·期中）如圖，直線，點E、F分別在上，點M為兩平行線內(nèi)部一點．

(1)如圖1，探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若和的角平分線交于點N，且，直接利用（1）中的結(jié)論，求的度數(shù)；(3)如圖3，點G為直線CD上一點，連接并延長交直線于點Q，在線段上取一點P，連接，使，在射線取一點H，連接，使，設(shè)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點作，利用平行線的性質(zhì)可得，，由，等量代換可得結(jié)論；（2）利用（1）中的結(jié)論以及角平分線的定義解答即可；（3）設(shè)，，則，，設(shè)交于．證明，求出即可解決問題．【詳解】（1），理由如下：過點作，如圖：

，，，，，，；（2）由（1）中的結(jié)論可得：，，，，，分別平分和，，，，，即；（3）設(shè)，，則，，設(shè)交于，如圖：

，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．37．（22-23七年級下·廣東深圳·期中）如圖1，，的平分線交于點，．

(1)試說明；(2)如圖2，若，的平分線交于點、交射線于點．求的度數(shù)；(3)如圖3，線段上有一點，滿足，過點作．若在直線上取一點，使，請直接寫出的值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)的值是7或【分析】（1）由，得，又平分，有，故；（2）平分，，知，而，有，根據(jù)，得，又平分，得，即得；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)在的下方時，設(shè)，由，知，，可得，從而，即得，，故；②當(dāng)在的上方時，同理得：，，故．【詳解】（1）證明：，，平分，；（2）解：平分，，，，，，，平分，，，；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)在的下