2015年四川省樂山市中考數(shù)學試卷（含解析版）

第30頁（共31頁）2015年四川省樂山市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1．（3分）（2015?樂山）3的相反數(shù)是（）A．﹣3B．3C．﹣D．2．（3分）（2015?樂山）下列幾何體中，正視圖是矩形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2015?樂山）某班開展1分鐘仰臥起坐比賽活動，5名同學的成績如下（單位：個）：37、38、40、40、42．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．37B．38C．40D．424．（3分）（2015?樂山）下列說法不一定成立的是（）A．若a＞b，則a+c＞b+cB．若a+c＞b+c，則a＞bC．若a＞b，則ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，則a＞b5．（3分）（2015?樂山）如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（）A．B．C．D．6．（3分）（2015?樂山）二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為（）A．3B．4C．5D．67．（3分）（2015?樂山）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（）A．B．C．D．8．（3分）（2015?樂山）電影《劉三姐》中，秀才和劉三姐對歌的場面十分精彩．羅秀才唱到：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得均？”劉三姐示意舟妹來答，舟妹唱道：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條財主請來當奴才．”若用數(shù)學方法解決羅秀才提出的問題，設“一少”的狗有x條，“三多”的狗有y條，則解此問題所列關系式正確的是（）A．B．C．D．9．（3分）（2015?樂山）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，記m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|．則下列選項正確的是（）A．m＜nB．m＞nC．m=nD．m、n的大小關系不能確定10．（3分）（2015?樂山）如圖，已知直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結PA、PB．則△PAB面積的最大值是（）A．8B．12C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．11．（3分）（2015?湘潭）的倒數(shù)是．12．（3分）（2015?樂山）函數(shù)的自變量x的取值范圍是．13．（3分）（2015?樂山）九年級1班9名學生參加學校的植樹活動，活動結束后，統(tǒng)計每人植樹的情況，植了2棵樹的有5人，植了4棵樹的有3人，植了5棵樹的有1人，那么平均每人植樹棵．14．（3分）（2015?樂山）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，則∠DBC=°．15．（3分）（2015?樂山）如圖，已知A（2，2）、B（2，1），將△AOB繞著點O逆時針旋轉，使點A旋轉到點A′（﹣2，2）的位置，則圖中陰影部分的面積為．16．（3分）（2015?樂山）在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=，則稱點Q為點P的“可控變點”．例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（﹣1，3）的“可控變點”為點（﹣1，﹣3）．（1）若點（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標為．（2）若點P在函數(shù)y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實數(shù)a的取值范圍是．三、本大題共3小題，每小題9分，共27分.17．（9分）（2015?樂山）計算：|﹣|+﹣4cos45°+（﹣1）2015．18．（9分）（2015?樂山）求不等式組的解集，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來．19．（9分）（2015?樂山）化簡求值：÷（﹣a），其中a=﹣2．四、本大題共3小題，每小題10分，共30分．20．（10分）（2015?樂山）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的長．21．（10分）（2015?樂山）某班開展安全知識競賽活動，班長將所有同學的成績分成四類，并制作了如下的統(tǒng)計圖表：類別成績頻數(shù)甲60≤m＜704乙70≤m＜80a丙80≤m＜9010丁90≤m≤1005根據(jù)圖表信息，回答下列問題：（1）該班共有學生人；表中a=；（2）將丁類的五名學生分別記為A、B、C、D、E，現(xiàn)從中隨機挑選兩名學生參加學校的決賽，請借助樹狀圖、列表或其他方式求B一定能參加決賽的概率．22．（10分）（2015?樂山）“六一”期間，小張購進100只兩種型號的文具進行銷售，其進價和售價之間的關系如下表：型號進價（元/只）售價（元/只）A型1012B型1523（1）小張如何進貨，使進貨款恰好為1300元？（2）要使銷售文具所獲利潤最大，且所獲利潤不超過進貨價格的40%，請你幫小張設計一個進貨方案，并求出其所獲利潤的最大值．五、本大題共2小題，每小題10分，共20分.23．（10分）（2015?樂山）如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD邊的長；（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點P，交CB于點Q（點Q運動到點B停止）．設DP=x，四邊形PQCD的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍．24．（10分）（2015?樂山）如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連結BC．若△ABC的面積為2．（1）求k的值；（2）x軸上是否存在一點D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．六、本大題共2小題，第25題12分，第26題13分，共25分.25．（12分）（2015?樂山）已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點D，且AD=DC，延長CB交⊙O于點E．（1）圖1的A、B、C、D、E五個點中，是否存在某兩點間的距離等于線段CE的長？請說明理由；（2）如圖2，過點E作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．①若CF=CD時，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）時，試猜想sin∠CAB的值．（用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結果）26．（13分）（2015?樂山）如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為﹣8、2．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）直線l繞點A以AB為起始位置順時針旋轉到AC位置停止，l與線段BC交于點D，P是AD的中點．①求點P的運動路程；②如圖2，過點D作DE垂直x軸于點E，作DF⊥AC所在直線于點F，連結PE、PF，在l運動過程中，∠EPF的大小是否改變？請說明理由；（3）在（2）的條件下，連結EF，求△PEF周長的最小值．

2015年四川省樂山市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1．（3分）（2015?樂山）3的相反數(shù)是（）A．﹣3B．3C．﹣D．考點：相反數(shù)．分析：根據(jù)相反數(shù)的含義，可得求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，據(jù)此解答即可．解答：解：根據(jù)相反數(shù)的含義，可得3的相反數(shù)是：﹣3．故選：A．點評：此題主要考查了相反數(shù)的含義以及求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在；求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”．2．（3分）（2015?樂山）下列幾何體中，正視圖是矩形的是（）A．B．C．D．考點：簡單幾何體的三視圖．分析：主視圖是從物體正面看，所得到的圖形．解答：解：A、球的正視圖是圓，故此選項錯誤；B、圓柱的正視圖是矩形，故此選項正確；C、圓錐的正視圖是等腰三角形，故此選項錯誤；D、圓臺的正視圖是等腰梯形，故此選項錯誤；故選：B．點評：本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在三視圖中．3．（3分）（2015?樂山）某班開展1分鐘仰臥起坐比賽活動，5名同學的成績如下（單位：個）：37、38、40、40、42．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A．37B．38C．40D．42考點：眾數(shù)．分析：根據(jù)眾數(shù)的概念求解．解答：解：由題意得，40出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為40．故選：C．點評：本題考查了眾數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．4．（3分）（2015?樂山）下列說法不一定成立的是（）A．若a＞b，則a+c＞b+cB．若a+c＞b+c，則a＞bC．若a＞b，則ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，則a＞b考點：不等式的性質．分析：根據(jù)不等式的性質進行判斷．解答：解：A、在不等式a＞b的兩邊同時加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本選項錯誤；B、在不等式a+c＞b+c的兩邊同時減去c，不等式仍成立，即a＞b，故本選項錯誤；C、當c=0時，若a＞b，則不等式ac2＞bc2不成立，故本選項正確；D、在不等式ac2＞bc2的兩邊同時除以不為0的c2，該不等式仍成立，即a＞b，故本選項錯誤．故選：C．點評：主要考查了不等式的基本性質．“0”是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的問題時，應密切關注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱．不等式的基本性質：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．5．（3分）（2015?樂山）如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（）A．B．C．D．考點：平行線分線段成比例．分析：根據(jù)平行線分線段成比例定理得出=，根據(jù)已知即可求出答案．解答：解：∵l1∥l2∥l3，，∴===，故選：D．點評：本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關鍵，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對應線段成比例．6．（3分）（2015?樂山）二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為（）A．3B．4C．5D．6考點：二次函數(shù)的最值．專題：計算題．分析：先利用配方法得到y(tǒng)=﹣（x﹣1）2+5，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．解答：解：y=﹣（x﹣1）2+5，∵a=﹣1＜0，∴當x=1時，y有最大值，最大值為5．故選：C．點評：本題考查了二次函數(shù)的最值：當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=﹣時，y=；當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=﹣時，y=；確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．7．（3分）（2015?樂山）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（）A．B．C．D．考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；勾股定理的逆定理．專題：網格型．分析：過B點作BD⊥AC，得AB的長，AD的長，利用銳角三角函數(shù)得結果．解答：解：過B點作BD⊥AC，如圖，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故選：D．點評：本題主要考查了銳角三角函數(shù)和勾股定理，作出適當?shù)妮o助線構建全等三角形是解答此題的關鍵．8．（3分）（2015?樂山）電影《劉三姐》中，秀才和劉三姐對歌的場面十分精彩．羅秀才唱到：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得均？”劉三姐示意舟妹來答，舟妹唱道：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條財主請來當奴才．”若用數(shù)學方法解決羅秀才提出的問題，設“一少”的狗有x條，“三多”的狗有y條，則解此問題所列關系式正確的是（）A．B．C．D．考點：由實際問題抽象出二元一次方程．分析：根據(jù)一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，列出不等式組解答即可．解答：解：設“一少”的狗有x條，“三多”的狗有y條，可得：，故選：B．點評：此題考查二元一次方程的應用，關鍵是根據(jù)一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)列出不等式組．9．（3分）（2015?樂山）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，記m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|．則下列選項正確的是（）A．m＜nB．m＞nC．m=nD．m、n的大小關系不能確定考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．分析：首先根據(jù)拋物線開口向下，可得a＜0；然后根據(jù)對稱軸在y軸右邊，可得b＞0；再根據(jù)拋物線經過原點，可得c=0；再根據(jù)x=1時，y＞0，判斷出a+b+c＞0，a＞﹣b；最后分兩種情況討論：①當對稱軸x=﹣≤1時；②當對稱軸x=﹣＞1時；判斷出m、n的大小關系即可．解答：解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸右邊，∴b＞0，∵拋物線經過原點，∴c=0，∴a﹣b+c＜0；∵x=1時，y＞0，∴a+b+c＞0，∵c=0，∴a+b＞0；（1）當對稱軸x=﹣≤1時，2a+b≥0，m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|=b﹣a+2a+b=2b+an=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|=a+b+（b﹣2a）=2b﹣a∵a＜0，∴2b+a＜2b﹣a，∴m＜n．（2）當對稱軸x=﹣＞1時，2a+b＜0，m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|=b﹣a﹣（2a+b）=﹣3an=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|=a+b+（b﹣2a）=2b﹣am﹣n=（﹣3a）﹣（2b﹣a）=﹣2（a+b）∵a+b＞0，∴﹣2（a+b）＜0，∴m＜n．綜上，可得m＜n．故選：A．點評：此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．10．（3分）（2015?樂山）如圖，已知直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結PA、PB．則△PAB面積的最大值是（）A．8B．12C．D．考點：圓的綜合題．分析：求出A、B的坐標，根據(jù)勾股定理求出AB，求出點C到AB的距離，即可求出圓C上點到AB的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可．解答：解：∵直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴A點的坐標為（4，0），B點的坐標為（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴點C（0，1）到直線3x﹣4y﹣3=0的距離是=，∴圓C上點到直線y=x﹣3的最大距離是1+=，∴△PAB面積的最大值是×5×=，故選：C．點評：本題考查了三角形的面積，點到直線的距離公式的應用，解此題的關鍵是求出圓上的點到直線AB的最大距離，屬于中檔題目．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．11．（3分）（2015?湘潭）的倒數(shù)是2．考點：倒數(shù)．分析：根據(jù)倒數(shù)的定義，的倒數(shù)是2．解答：解：的倒數(shù)是2，故答案為：2．點評：此題主要考查了倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．12．（3分）（2015?樂山）函數(shù)的自變量x的取值范圍是x≥2．考點：函數(shù)自變量的取值范圍．分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．解答：解：根據(jù)題意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案為：x≥2．點評：本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負數(shù)．13．（3分）（2015?樂山）九年級1班9名學生參加學校的植樹活動，活動結束后，統(tǒng)計每人植樹的情況，植了2棵樹的有5人，植了4棵樹的有3人，植了5棵樹的有1人，那么平均每人植樹3棵．考點：加權平均數(shù)．分析：直接利用加權平均數(shù)的計算公式進行計算即可．解答：解：平均每人植樹=3棵，故答案為：3．點評：本題考查了加權平均數(shù)的計算，解題的關鍵是牢記加權平均數(shù)的計算公式，難度不大．14．（3分）（2015?樂山）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，則∠DBC=15°．考點：線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．分析：根據(jù)線段垂直平分線求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根據(jù)三角形內角和定理和等腰三角形性質求出∠ABC，即可得出答案．解答：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，故答案為：15．點評：本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線性質，三角形內角和定理的應用，能正確運用定理求出各個角的度數(shù)是解此題的關鍵，難度適中．15．（3分）（2015?樂山）如圖，已知A（2，2）、B（2，1），將△AOB繞著點O逆時針旋轉，使點A旋轉到點A′（﹣2，2）的位置，則圖中陰影部分的面積為π．考點：扇形面積的計算；坐標與圖形變化-旋轉．分析：由A（2，2）使點A旋轉到點A′（﹣2，2）的位置易得旋轉90°，根據(jù)旋轉的性質可得，陰影部分的面積等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC，從而根據(jù)A，B點坐標知OA=4，OC=OB=，可得出陰影部分的面積．解答：解：∵A（2，2）、B（2，1），∴OA=4，OB=，∵由A（2，2）使點A旋轉到點A′（﹣2，2），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根據(jù)旋轉的性質可得，S=SOBC，∴陰影部分的面積等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC=π×42﹣π×（）2=，故答案為：π．點評：此題主要考查了扇形的面積計算及旋轉的性質，解答本題的關鍵是根據(jù)旋轉的性質得出SOB′C′=SOBC，從而得到陰影部分的表達式．16．（3分）（2015?樂山）在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=，則稱點Q為點P的“可控變點”．例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（﹣1，3）的“可控變點”為點（﹣1，﹣3）．（1）若點（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標為（﹣1，2）．（2）若點P在函數(shù)y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實數(shù)a的取值范圍是0≤a≤4．考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．專題：新定義．分析：（1）直接根據(jù)“可控變點”的定義直接得出答案；（2）根據(jù)題意可知y=﹣x2+16圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)y=的圖象上，結合圖象即可得到答案．解答：解：（1）根據(jù)“可控變點”的定義可知點M的坐標為（﹣1，2）；（2）依題意，y=﹣x2+16圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)y=的圖象上．∵﹣16≤y′≤16，當y′=16時，16=﹣x2+16或﹣16=﹣x2+16．∴x=0或x=4．當y′=﹣16時，﹣16=﹣x2+16．∴x=4．∴a的取值范圍是0≤a≤4．故答案為（﹣1，2），0≤a≤4．點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是熟練掌握新定義“可控變點”，解答此題還需要掌握二次函數(shù)的性質，此題有一定的難度．三、本大題共3小題，每小題9分，共27分.17．（9分）（2015?樂山）計算：|﹣|+﹣4cos45°+（﹣1）2015．考點：實數(shù)的運算；特殊角的三角函數(shù)值．專題：計算題．分析：原式第一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第二項化為最簡二次根式，第三項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，最后一項利用乘方的意義化簡，計算即可得到結果．解答：解：原式=+2﹣4×﹣1=﹣．點評：此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．18．（9分）（2015?樂山）求不等式組的解集，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來．考點：解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．分析：先解每個不等式，兩個不等式解集的公共部分就是不等式組的解集，然后再數(shù)軸上表示出來即可．解答：解：解不等式①得：x＜3；解不等式②得：x≥﹣1．則不等式組的解集是：﹣1≤x＜3．點評：本題考查了一元一次不等式（組），在數(shù)軸上表示不等式組的解集的應用，關鍵是求出不等式組的解集．19．（9分）（2015?樂山）化簡求值：÷（﹣a），其中a=﹣2．考點：分式的化簡求值．分析：先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a的值代入進行計算即可．解答：解：原式=÷=?=，當a=﹣2時，原式==．點評：本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．四、本大題共3小題，每小題10分，共30分．20．（10分）（2015?樂山）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的長．考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質．分析：（1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根據(jù)折疊的性質∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS證△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE=，所以BE=BC﹣EC=．解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根據(jù)折疊的性質∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE和△BFE中，，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=2，在Rt△BCD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴（2EC）2﹣EC2=CD2，∴CE=，∴BE=BC﹣EC=．點評：本題考查了折疊的性質、全等三角形的判定和性質、等角對等邊、平行線的性質以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質是解決本題的關鍵．21．（10分）（2015?樂山）某班開展安全知識競賽活動，班長將所有同學的成績分成四類，并制作了如下的統(tǒng)計圖表：類別成績頻數(shù)甲60≤m＜704乙70≤m＜80a丙80≤m＜9010丁90≤m≤1005根據(jù)圖表信息，回答下列問題：（1）該班共有學生40人；表中a=20；（2）將丁類的五名學生分別記為A、B、C、D、E，現(xiàn)從中隨機挑選兩名學生參加學校的決賽，請借助樹狀圖、列表或其他方式求B一定能參加決賽的概率．考點：列表法與樹狀圖法；頻數(shù)（率）分布表；扇形統(tǒng)計圖．專題：計算題．分析：（1）根據(jù)丙的人數(shù)除以占的百分比求出學生總數(shù)，進而求出a的值即可；（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出B一定參加的情況數(shù)，即可求出所求的概率．解答：解：（1）根據(jù)題意得：10÷25%=40（人），a=40﹣5﹣10﹣5=20；故答案為：40；20；（2）列表如下：ABCDEA﹣﹣﹣（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）﹣﹣﹣（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）﹣﹣﹣（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）﹣﹣﹣（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）﹣﹣﹣所有等可能的情況有20種，其中B一定參加的情況有8種，則P（B一定參加）==．點評：此題考查了列表法與樹狀圖法，以及扇形統(tǒng)計圖，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．（10分）（2015?樂山）“六一”期間，小張購進100只兩種型號的文具進行銷售，其進價和售價之間的關系如下表：型號進價（元/只）售價（元/只）A型1012B型1523（1）小張如何進貨，使進貨款恰好為1300元？（2）要使銷售文具所獲利潤最大，且所獲利潤不超過進貨價格的40%，請你幫小張設計一個進貨方案，并求出其所獲利潤的最大值．考點：一次函數(shù)的應用；一元一次方程的應用；一元一次不等式的應用．分析：（1）設A文具為x只，則B文具為（100﹣x）只，根據(jù)題意列出方程解答即可；（2）設A文具為x只，則B文具為（100﹣x）只，根據(jù)題意列出函數(shù)解答即可．解答：解：（1）設A文具為x只，則B文具為（100﹣x）只，可得：10x+15（100﹣x）=1300，解得：x=40．答：A文具為40只，則B文具為100﹣40=60只；（2）設A文具為x只，則B文具為（100﹣x）只，可得（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）≤40%[10x+15（100﹣x）]，解得：x≥50，設利潤為y，則可得：y=（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）=2x+800﹣8x=﹣6x+800，因為是減函數(shù)，所以當x=50時，利潤最大，即最大利潤=﹣50×6+800=500元．點評：此題考查一次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)題意列出方程和不等式，根據(jù)函數(shù)是減函數(shù)進行解答．五、本大題共2小題，每小題10分，共20分.23．（10分）（2015?樂山）如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．（1）求CD邊的長；（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點P，交CB于點Q（點Q運動到點B停止）．設DP=x，四邊形PQCD的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍．考點：相似三角形的判定與性質；函數(shù)關系式；平移的性質；解直角三角形．分析：（1）分別延長AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA=，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通過等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，于是得到cos∠ECD==，即問題可得；（2）由（1）可知tan∠ECD=，得到ED=，如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，得到比例式，求得PQ=，由S四邊形PQCD=S△EPQ﹣S△EDC，于是得到y(tǒng)=PQ?EP﹣DC?ED=﹣=，于是當Q點到達B點時，點P在M點處，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，于是結論可得．解答：解：（1）如圖（3），分別延長AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，∵tanA=，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5，又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，∴cos∠ECD==，∴CD=；（2）如圖4，由（1）可知tan∠ECD=，∴ED=，如圖4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，∴，∴，即PQ=，∵S四邊形PQCD=S△EPQ﹣S△EDC，∴y=PQ?EP﹣DC?ED=﹣=，∴當Q點到達B點時，點P在M點處，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自變量x的取值方范圍為：0＜x≤．點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，平移的性質，求函數(shù)的解析式，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．24．（10分）（2015?樂山）如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連結BC．若△ABC的面積為2．（1）求k的值；（2）x軸上是否存在一點D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．分析：（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象特征，可知A、B兩點關于原點對稱，則O為線段AB的中點，故△BOC的面積等于△AOC的面積，都等于1，然后由反比例函數(shù)y=的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△AOC的面積等于|k|，從而求出k的值；（2）先將y=2x與y=聯(lián)立成方程組，求出A、B兩點的坐標，然后分三種情況討論：①當AD⊥AB時，求出直線AD的關系式，令y=0，即可確定D點的坐標；②當BD⊥AB時，求出直線BD的關系式，令y=0，即可確定D點的坐標；③當AD⊥BD時，由O為線段AB的中點，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D點的坐標．解答：解：（1）∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，∴A、B兩點關于原點對稱，∴OA=OB，∴△BOC的面積=△AOC的面積=2÷2=1，又∵A是反比例函數(shù)y=圖象上的點，且AC⊥x軸于點C，∴△AOC的面積=|k|，∴|k|=1，∵k＞0，∴k=2．故這個反比例函數(shù)的解析式為y=；（2）x軸上存在一點D，使△ABD為直角三角形．將y=2x與y=聯(lián)立成方程組得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），①當AD⊥AB時，如圖1，設直線AD的關系式為y=﹣x+b，將A（1，2）代入上式得：b=，∴直線AD的關系式為y=﹣x+，令y=0得：x=5，∴D（5，0）；②當BD⊥AB時，如圖2，設直線BD的關系式為y=﹣x+b，將B（﹣1，﹣2）代入上式得：b=﹣，∴直線AD的關系式為y=﹣x﹣，令y=0得：x=﹣5，∴D（﹣5，0）；③當AD⊥BD時，如圖3，∵O為線段AB的中點，∴OD=AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA==，∴OD=，∴D（，0）．根據(jù)對稱性，當D為直角頂點，且D在x軸負半軸時，D（﹣，0）．故x軸上存在一點D，使△ABD為直角三角形，點D的坐標為（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0．點評：本題主要考查函數(shù)圖象的交點及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握圖象的交點的坐標滿足兩個函數(shù)解析式是解題的關鍵．另外第2問要分3種情況討論．六、本大題共2小題，第25題12分，第26題13分，共25分.25．（12分）（2015?樂山）已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點D，且AD=DC，延長CB交⊙O于點E．（1）圖1的A、B、C、D、E五個點中，是否存在某兩點間的距離等于線段CE的長？請說明理由；（2）如圖2，過點E作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．①若CF=CD時，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）時，試猜想sin∠CAB的值．（用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結果）考點：圓的綜合題．專題：探究型；存在型．分析：（1）連接AE、DE，如圖1，根據(jù)圓周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根據(jù)垂直平分線的性質可得AE=CE；（2）連接AE、ED，如圖2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直徑，根據(jù)切線的性質可得∠AEF=90°，從而可證到△ADE∽△AEF，然后運用相似三角形的性質可得AE2=AD?AF．①當CF=CD時，可得AE2=3CD2，從而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中運用三角函數(shù)可得sin∠CED==，根據(jù)圓周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②當CF=aCD（a＞0）時，同①即可解決問題．解答：解：（1）AE=CE．理由：連接AE、DE，如圖1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°．∵AD=DC，∴AE=CE；（2）連接AE、ED，如圖2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直徑．∵EF是⊙OO的切線，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°．又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴=，∴AE2=AD?AF．①當CF=CD時，AD=DC=CF，AF=3DC，∴AE2=DC?3DC=3DC2，∴AE=DC．∵EC=AE，∴EC=DC．∴sin∠CAB=sin∠CED