專題18 等腰三角形（練習(xí)）

第18講等腰三角形目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關(guān)練 3題型01等腰三角形的定義 3題型02根據(jù)等邊對等角求角度 3題型03利用等邊對等角證明 3題型04根據(jù)三線合一求解 4題型05根據(jù)三線合一證明 5題型06格點圖中畫等腰三角形 7題型07根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形 7題型08根據(jù)等角對等邊證明邊相等 10題型09根據(jù)等角對等邊求邊長 11題型10求與圖形中任意兩點構(gòu)成等腰三角形的點 12題型11等腰三角形性質(zhì)與判定綜合 12題型12等腰三角形有關(guān)的折疊問題 15題型13等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題 17題型14等腰三角形有關(guān)的新定義問題 18題型15等腰三角形有關(guān)的動點問題 20題型16探究等腰三角形中線段間存在的關(guān)系 21題型17利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長 24題型18手拉手模型 24題型19等邊三角形的判定 25題型20等邊三角形與折疊問題 27題型21等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題 29題型22利用等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題 30題型23利用垂直平分線的性質(zhì)求解 31題型24線段垂直平分線的判定 32真題實戰(zhàn)練 33

題型過關(guān)練題型01等腰三角形的定義1．（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考二模）已知x，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對2．（2019·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知等腰三角形的一個外角等于，則它的頂角是（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考二模）已知等腰三角形的兩邊長滿足，那么這個等腰三角形的周長為______．題型02根據(jù)等邊對等角求角度1．（2023·廣東東莞·三模）如圖，正方形的兩條對角線，相交于點，點在上，且．則的度數(shù)為__________．2．（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？级＃┲?，，的平分線與邊所夾的銳角為，則________．3．（2022·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，于點，與相交于點，且，．若，則的度數(shù)為______．

題型03利用等邊對等角證明1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）在中，，，點在內(nèi)部，若的面積為，且滿足，則______．2．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，于D，E是的中點，的延長線交的延長線于F，若，則______．3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦，交于點P，過點B的直線交的延長線于點C，若，，，則的長為________．4．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點，，均落在格點上，連接，．（1）線段的長等于______．（2）以為圓心，為半徑作圓，在上找一點，滿足．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點，作出，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）________________．題型04根據(jù)三線合一求解1．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測）如圖，中，，于，點在線段上，，若，，則的長為_______．2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在中，．以為直徑作半圓O，交于點D．若，則的度數(shù)是_____度．

3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在中，，的面積為，則的值為__________．4．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，是等邊三角形，點E是的中點，過點E作于點F，延長交的反向延長線于點D，若，則的長為__________．題型05根據(jù)三線合一證明1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，中，，是的外接圓，的延長線交邊于點D．(1)求證：；(2)若，時，求的半徑．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知在中，，，點D是外一點，．(1)尺規(guī)作圖：請利用直尺和圓規(guī)作出的高（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)連接，若，判斷四邊形的形狀并說明理由．3．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，以為直徑作分別交、于點、，過點作的切線交于點．(1)求證：；(2)若，，求的長題型06格點圖中畫等腰三角形1．（2021·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？既＃┤鐖D，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·貴州貴陽·?？家荒＃┤鐖D，A、B是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上的兩個格點，其余的格點中任意放置點C（不包含點A、點B所在的格點），恰好能使△ABC構(gòu)成等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．3．（2018·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，A、B是格點，以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數(shù)為（

）

A．7個 B．8個 C．9個 D．10個題型07根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形1．（2018·河北·模擬預(yù)測）如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點D，DE∥AC．求證：△BDE是等腰三角形．2．（2021·陜西西安·?？寄M預(yù)測）在?ABCD中，對角線平分交于點，交于點．（1）求證：；（2）若，求的長．3．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，矩形，將沿對角線翻折得到（如圖1），交邊于點，再將沿翻折得到（如圖2），延長交邊于點．設(shè)、．(1)求證：為等腰三角形；(2)當(dāng)，四邊形為正方形時，求的值；(3)當(dāng)四邊形為菱形時，求與的數(shù)量關(guān)系．4．（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？既＃┤鐖D，在矩形中，，點E是邊上一點，，延長至點F，使C，交于點G，連接，交于點H．’(1)求證：是等腰三角形；(2)若點E為的中點，，求的值．題型08根據(jù)等角對等邊證明邊相等1．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，為的中位線，且平分交于點F．若，，則_____________．2．（2021·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點E，F(xiàn)；再分別以點E，F(xiàn)為圈心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交于點D．則與的數(shù)量關(guān)系是________．3．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃┤鐖D，在平行四邊形中，，的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)．若，，則BE的長為____．（用含a，b的代數(shù)式表示）．4．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）我們把寬與長的比為黃金比（）的矩形稱為黃金矩形，如圖，在黃金矩形ABCD中，，BC＝4，的平分線交AD邊于點E，則AE的長為______．5．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，直線與雙曲線交于、兩點，直線經(jīng)過點，與雙曲線交于另一點，，連接，若的面積是50，則_____．題型09根據(jù)等角對等邊求邊長1．（2020·河北·模擬預(yù)測）把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點，且另外三個銳角頂點在同一直線上．若，則_____．2．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是平行四邊形，以點B為圓心，的長為半徑作弧交于E，分別以點C，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線交的延長線于點F，，則______．3．（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎鐖D，在矩形中，點E是的中點，連接，將沿著翻折得到，交于點H，延長，相交于點G，若，，則_______．

4．（2021·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學(xué)校?？既＃┤鐖D，在矩形中，點是線段上的一點，，，將沿翻折，得到，連接，若，，則線段的長度為________．5．（2023·上海徐匯·上海市第四中學(xué)?？家荒＃┰谥校琈為的中點，將繞點M旋轉(zhuǎn)，使點C與點B重合得到，設(shè)邊交邊于點N．若，則___________．題型10求與圖形中任意兩點構(gòu)成等腰三角形的點1．（2020·福建廈門·?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A（3，2），點P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，則m可取的值最多有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2018·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在矩形ABCD的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)為_______________.3．（2018·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長為_______．題型11等腰三角形性質(zhì)與判定綜合1．（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．2．（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線段AC上任取一點Р（端點除外），連接PD．將線段PD繞點Р逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒?dāng)點Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？說明理由．(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．3．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點，，分別平分和，的延長線交于點，連接．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求的長．4．（2022·北京西城·統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD，將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．(1)如圖1，當(dāng)點E在正方形ABCD的內(nèi)部時，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為______；(2)當(dāng)點E在正方形ABCD的外部時，①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA的延長線于點F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．(1)求證：；(2)若時，求的長．題型12等腰三角形有關(guān)的折疊問題1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）在中，是邊的中點，是邊上一動點，連接，將沿直線折疊得．（1）如圖（1），若為邊長為4的等邊三角形，當(dāng)點D恰好落在線段上時，則＝_____；（2）如圖（2），若為直角三角形．，．分別連接、、，若，且，則＝_____．2．（2023·安徽蚌埠·一模）如圖，中，，，點是上一點，沿折疊得，點落在的平分線上，垂直平分，為垂足，則的度數(shù)是______．3．（2023·吉林長春·一模）實踐與探究

(1)操作一：如圖①，已知三角形紙片，，，將三角形紙片沿過點A的直線折疊，折痕為，點B的對應(yīng)點為點E，與交于點F，且，則______度；(2)操作二：如圖②，將沿繼續(xù)折疊，點E的對應(yīng)點為點G．與交于點M，與交于點N，則圖②中度數(shù)為的角共有______個．(3)根據(jù)以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：①求證：；②若，則線段的長為______．4．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，中，，點D是的中點，將折疊，使點A與點D重合，折痕為，連接．求證：四邊形是菱形．題型13等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（2021·四川樂山·統(tǒng)考一模）如圖，為等腰直角三角形，，以斜邊為直角邊作等腰直角三角形，再以為直角邊作等腰直角三角形，…，按此規(guī)律作下去，則的長度為（）A． B． C． D．2．（2021·河南三門峽·統(tǒng)考二模）如圖，在單位為1的方格紙上，，，，…，是斜邊在軸上，斜邊長分別為2，4，6，…，的等腰直角三角形，若的頂點坐標(biāo)分別為，，，則依圖中所示規(guī)律，的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個等腰直角三角形，，直角邊在軸上，且．將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且,再將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到等腰直角三角形，且……，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形，則點的坐標(biāo)為_____．4．（2021·黑龍江·校聯(lián)考三模）如圖，在等腰直角三角形中，，，分別連接，，的中點，得到第1個等腰直角三角形；分別連接，，的中點，得到第2個等腰直角三角形……以此規(guī)律作下去，得到等腰直角三角形，則的長為_______．5．（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，…都是等腰直角三角形，其直角頂點，，…均在直線上．設(shè)．．的面積分別為，…，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，________．題型14等腰三角形有關(guān)的新定義問題1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）定義：如果四邊形的一條對角線把該四邊形分割成兩個等腰三角形，且這條對角線是這兩個等腰三角形的腰，那么我們稱這個四邊形為雙等腰四邊形．

(1)如圖1，在四邊形中，，連結(jié)，點是的中點，連結(jié)，．①試判斷四邊形是否是雙等腰四邊形，并說明理由；②若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點是矩形內(nèi)一點，點是邊上一點，四邊形是雙等腰四邊形，且．延長交于點，連結(jié)．若，，，求的長．2．（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┒x：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和最小的點叫做這個等腰三角形的“近點”，“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在等腰中，，為邊上的高，已知上一點E滿足，，求____；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，等邊邊長為，E為高線上的點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究出等邊的“最近值”；【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，過的中點E作垂線交的延長線于點F，連接，已知，，求“最近值”的平方．題型15等腰三角形有關(guān)的動點問題1．（2023·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，點為軸正半軸上一動點，連接，以為一邊向下作等邊三角形，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，點P是等腰直角的斜邊上一動點（不與點A，C重合），點D在邊上，且，設(shè)，的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，則腰的長為（

）

A．1 B． C．2 D．3．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點M在邊上，，點是射線上一動點，連接，將沿直線翻折，點落在點處，聯(lián)結(jié)，如果，那么的長是_______．

4．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點，過點的直線與軸交于點，線段的長是一元二次方程的兩個實數(shù)根．動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)沿著折線向終點運(yùn)動，過點作軸的垂線，交軸于點．(1)求直線的解析式；(2)連接，設(shè)的面積為，點的運(yùn)動時間為秒，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)在直線上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．題型16探究等腰三角形中線段間存在的關(guān)系1．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖1，分別以的邊為斜邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，點G是的中點，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，若，=2，=3，求的正切值；(3)如圖3，以的邊為斜邊向外作等腰直角三角形，連接，試探究線段的關(guān)系，并加以證明．2．（2023·江蘇鹽城·校考二模）如圖，四邊形是矩形，點E在邊的延長線上，點F在邊上，且，，延長交于點G．

(1)求證：是直角三角形；(2)求的值；(3)探究三條線段之間的等量關(guān)系，并說明理由．3．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）在中，為邊上一點（不與點重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．

(1)如圖1，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點在的延長線上時，連接，寫出此時線段之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在四邊形中，．若，請直接寫出的長．4．（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）（1）問題：如圖①，在中，，D為邊上一點（不與點B，C重合），將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段和線段的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）探索：如圖②，在與中，，，將繞點A旋轉(zhuǎn)，使點D落在邊上，試探索線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論；（3）應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，．若，，求的長．題型17利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長1．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD=CE=2，則△ABP的周長為_____．2．（2021·江西·統(tǒng)考二模）如圖，在等邊三角形中，D是的中點，P是邊上的一個動點，過點P作，交于點E，連接．若是等腰三角形，則的長是_________________．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形中，P，Q兩點分別在邊上，，D是的中點．若，則的最小值是_______．題型18手拉手模型1．（2022·遼寧丹東·校考一模）如圖，等腰中，，點D在線段上運(yùn)動（不與A、B重合），將與分別沿直線翻折得到與，給出下列結(jié)論：①；②面積的最小值為；③當(dāng)點D在的中點時，是等邊三角形；④當(dāng)時，的長為；其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，點D在線段AB上運(yùn)動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CAQ，給出下列結(jié)論：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不變；③△PCQ面積的最小值為；④當(dāng)點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形；⑤當(dāng)PQ⊥BQ時，AD的長為．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．題型19等邊三角形的判定1．（2023·上海楊浦·二模）已知：在直角梯形中，，，沿直線翻折，點A恰好落在腰上的點E處．(1)如圖，當(dāng)點E是腰的中點時，求證：是等邊三角形；(2)延長交線段的延長線于點F，連接，如果，求證：四邊形是矩形．2．（2019·山東·?？家荒＃┤鐖D，已知等邊，于，，為線段上一點，且，連接，BF，于，連接．（1）求證：；（2）試說明與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．3．（2022·安徽馬鞍山·校考一模）如圖1，和都是等邊三角形，且A，C，E在同一條直線上，分別連接，．(1)求證：；(2)如圖2，連接，若，，分別為，，的中點，過作與的延長線交于，求證：；(3)如圖3，設(shè)與交于點，點在上，，交于，交的延長線于，試判斷的形狀．題型20等邊三角形與折疊問題1．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測）如圖，已知等邊的邊長為，點是邊上的一個動點（與點A、B不重合），直線是經(jīng)過點的一條直線，把沿直線l折疊，點B的對應(yīng)點是點．

(1)基礎(chǔ)圖形：如圖1，當(dāng)時，若點恰好在邊上，求的長度；(2)模型變式：如圖2，當(dāng)時，若直線，則的長度為______；(3)動態(tài)探究：如圖3，點在邊上運(yùn)動過程中，點到直線的距離為．如果直線始終垂直于，那么的值是否變化？若變化，求出的變化范圍；若不變化，求出的值；當(dāng)時，請直接寫出在直線的變化過程中，的最大值．2．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考三模）如圖1，等邊三角形紙片中，，點D在邊上（不與點B、C重合），，點E在邊上，將沿折疊得到（其中點是點C的對應(yīng)點）．

(1)當(dāng)點落在上時，依題意補(bǔ)全圖2，并指出與的位置關(guān)系；(2)如圖3，當(dāng)點落到的平分線上時，判斷四邊形的形狀并說明理由；(3)當(dāng)點到的距離最小時，求的長；(4)當(dāng)A，，D三點共線時，直接寫出的余弦值．題型21等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（2022·貴州遵義·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若干個邊長為1個單位長度的等邊三角形，按下圖中的規(guī)律擺放．點P從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“……”的路線運(yùn)動．設(shè)第n秒運(yùn)動到點（n為正整數(shù)），則點的坐標(biāo)是_____________．2．（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測）如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，頂點B與原點O重合，過點B作MA1⊥AC于點A1，過點A1，作A1B1∥OA，交OC于點B1；過點B1作B1A2⊥AC于點A2，過點A2作A2B2∥OA，交OC于點B2；…按著這個規(guī)律進(jìn)行下去，點A2021的坐標(biāo)是__________________．3．（2021·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為4的等邊ABC，AC邊在x軸上，點B在y軸的正半軸上，以O(shè)B為邊作等邊OBA1，邊OA1與AB交于點O1，以O(shè)1B為邊作等邊△O1BA2，邊O1A2與A1B交于點O2，以O(shè)2B為邊作等邊O2BA3，邊O2A3與A2B交于點O3，…，依此規(guī)律繼續(xù)作等邊On﹣1BAn，則A2021的橫坐標(biāo)___________．題型22利用等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部校考一模）如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，與相交于點H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，正的邊長為2，沿的邊翻折得，連接交于點O，點M為上一動點，連接，射線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)交于點N，連接．以下四個結(jié)論：①是等邊三角形：②的最小值是；③當(dāng)最小時；④當(dāng)時，．正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④3．（2022·福建廈門·?？级＃┤鐖D，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊矩形紙片，使點落在上的點，折痕與相交于點；再次展平，連接，，延長交于點．有如下結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④為線段上一動點，是的中點，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號是_________．

4．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，，，點E在邊上，連接．作點A關(guān)于的對稱點F，連接、、．現(xiàn)給出以下4個結(jié)論：①平分；②菱形的面積等于；③周長的最小值為；④當(dāng)時，，其中正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）題型23利用垂直平分線的性質(zhì)求解1．（2022·河南駐馬店·模擬預(yù)測）如圖，在中，，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線，直線與相交于點D，連接，若，則的長是（

）A．6 B．3 C．1.5 D．12．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接AF，若BF＝3，AE＝5，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB3．（2023·吉林松原·校聯(lián)考一模）如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是________．

題型24線段垂直平分線的判定1．（2020·河南焦作·統(tǒng)考一模）已知，在△ABC中，，如圖，（1）分別以B，C為圓心，BC長為半徑作弧，兩弧交于點D；（2）作射線AD，連接BD，CD．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．△BCD是等邊三角形C．AD垂直平分BC D．2．（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，在中，，分別以點為圓心，的長為半徑作弧，兩弧交于點，連接則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，點是的中點，的平分線交于點將沿折疊，點恰好落在上點處，延長、交于點，有下列四個結(jié)論：①垂直平分；②平分；③；④．其中，將正確結(jié)論的序號全部選對的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④真題實戰(zhàn)練一、單選題1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于12EF長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點P，作射線BP，交AD于點G，交CD的延長線于點H．若AB=AG=4，GD=5，則CH的長為（

A．6 B．8 C．9 D．102．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點E，連接CE，若AE=2ED，則CE的長為（

）

A．6 B．4 C．43 D．3．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=40°，分別以點B和點C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN，交邊AC于點D，連接BD，則

A．40° B．50° C．80° D．100°4．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧交AC于點D，連接BD，再分別以點B，D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BD于點M，交BC于點E，連接DE，則S△BDEA．1:2 B．1:3 C．2:5 D．5．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于12BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論A．∠BCE=36° B．BC=AEC．BEAC=56．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形有一個內(nèi)角為110°，則這個等腰三角形的底角是（

）A．70° B．45° C．35° D．50°7．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為4cm，矩形DEFG的長和寬分別為4cm和3cm，點C和點E重合，點B，CE，F(xiàn)在同一條直線上，令矩形DEFG不動，等邊三角形ABC以每秒1cm的速度向右移動，當(dāng)點C與點F重合時停止移動，設(shè)移動x秒后，等邊三角形ABC與矩形DEFG重疊部分的面積為y，則y

A． B．

C． D．

8．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在直線y=x+1和x軸之間由小到大依次畫出若干個等腰直角三角形（圖中所示的陰影部分），其中一條直角邊在x軸上，另一條直角邊與x軸垂直，則第100個等腰直角三角形的面積是（

）A．298 B．299 C．2197二、填空題9．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，已知點A3,0，B0,4，點C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點C的坐標(biāo)為______；點D

10．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形的周長是20cm，一腰長為7cm，則這個三角形的底邊長是_________11．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是正三角形，點A在第一象限，點B0,0、C1,0．將線段CA繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至CP1；將線段BP1繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至BP2；將線段AP2繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至AP3；將線段

12．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α至AB'，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC'(0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使∠BAC+∠B'AC'=180°①△ABC與△AB②BC=2AD；③若AB=AC，連接BB'和CC④若AB=AC，AB=4，BC=6，則B'13．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知，△OA1A2,△A3A4A5,△A

14．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點D在AB上，點E在BC上，點B關(guān)于直線DE的軸對稱點為點B'，連接DB'，EB'，分別與AC相交于F點，G點，若AF=8

三、解答題15．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)y=2x?4的圖象與x軸交于點A，且經(jīng)過點Bm,4

(1)求點A和點B的坐標(biāo)；(2)直接在上圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=2x?4的圖象；(3)點P在x軸的正半軸上，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo)．16．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，連結(jié)DE．已知BC=10，AD=12，求BD，DE的長．17．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC=32，點D在AB邊上，連接CD，將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，(1)求證：△CAD≌△CBE；(2)若AD=2時，求CE的長；(3)點D在AB上運(yùn)動時，試探究AD18．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在△ABC中，AB=BC=2AC=8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C對應(yīng)點分別是D、E．點F是線段BE上的一個動點，連接AF，將線段AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至線段AG，使得∠BAD=∠FAG，連接FG．

(1)當(dāng)點F與點C重合時，求FG的長；(2)如圖2，連接BG、DF．在點F的運(yùn)動過程中：①BG和DF是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由；②當(dāng)BF的長為多少時，△ABG能構(gòu)成等腰三角形？19．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當(dāng)點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．20．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線段AC上任取一點Р（端點除外），連接PD．將線段PD繞點Р逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒?dāng)點Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由．(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

第18講等腰三角形答案解析題型過關(guān)練題型01等腰三角形的定義1．（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？级＃┮阎獂，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對【答案】B【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出，的值，利用分類討論的思想思考問題即可．【詳解】解：，又，，，，當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L為4，4，8時，不符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，8，4時，周長為20，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的概念、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．（2019·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知等腰三角形的一個外角等于，則它的頂角是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】已知條件中的外角可能是頂角的外角，也可能是底角的外角，需要分情況進(jìn)行討論，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為，即可求出頂角的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)頂角的外角等于時，則該頂角為：；②當(dāng)?shù)捉堑耐饨堑扔跁r，則該底角為，又由于是等腰三角形，故此時頂角為：．綜上所述，這個等腰三角形的頂角為或．故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，難度不大，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想的應(yīng)用，以免漏解．3．（2023·四川廣安·統(tǒng)考二模）已知等腰三角形的兩邊長滿足，那么這個等腰三角形的周長為______．【答案】10【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性求得，分情況討論，求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，當(dāng)腰長為2，底邊為4時：，不滿足三角形三邊條件，不符合題意；當(dāng)腰長為4，底邊為2時：，，滿足三角形三邊條件，此時等腰三角形的周長為．故答案為：10．【點睛】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗證是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)等邊對等角求角度1．（2023·廣東東莞·三模）如圖，正方形的兩條對角線，相交于點，點在上，且．則的度數(shù)為__________．【答案】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到線段相等和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形．，，，，，故答案為：2．（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？级＃┲?，，的平分線與邊所夾的銳角為，則________．【答案】或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況分別求得等腰三角形的頂角是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義得到，當(dāng)時，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，即可求得；當(dāng)時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，即可求得．【詳解】解：設(shè)的角平分線交于點，當(dāng)時，如圖1，，，，，，；當(dāng)時，如圖2，，，，，，，綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．3．（2022·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，于點，與相交于點，且，．若，則的度數(shù)為______．

【答案】/35度【分析】首先根據(jù)證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：，，在和中，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法以及性質(zhì)．題型03利用等邊對等角證明1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）在中，，，點在內(nèi)部，若的面積為，且滿足，則______．【答案】【分析】過點作直線于，設(shè)，，證明，得出，證明，得出，證明，根據(jù)的面積為，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，過點作直線于，設(shè)，，∴，∵，∴，，，，∴，∴，∵，∴，在和中，，，∴，的面積為，∴，即，∴，負(fù)值舍去．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明．2．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，于D，E是的中點，的延長線交的延長線于F，若，則______．【答案】12【分析】由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，即，則，，證明，則，由，可得，解得，，設(shè)，則，，，，則，即，計算求解的值，進(jìn)而可求的值．【詳解】解：由題意知，，∴，∵，是的中點，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得，，設(shè)，則，，，，∴，即，解得，∴，故答案為：12．【點睛】本題考查正切，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用以上知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦，交于點P，過點B的直線交的延長線于點C，若，，，則的長為________．【答案】4【分析】由垂直定義得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由得，根據(jù)對頂角相等得，所以，而，所以，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得到，然后解方程即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，而，∴，∵，∴，∴，∴為直角三角形，設(shè)，則，在中，，，∵，∴，解得：，即的長為4．故答案為：4．【點睛】本題考查了圓的基本知識，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，垂線定義理解，正確應(yīng)用勾股定理求出的長是解題關(guān)鍵．4．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點，，均落在格點上，連接，．（1）線段的長等于______．（2）以為圓心，為半徑作圓，在上找一點，滿足．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點，作出，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）______．【答案】圖見解析，利用垂徑定理找到點【分析】（1）利用勾股定理求出的長即可；（2）延長交于點，取格點，連接并延長交于點，點即為所求．【詳解】解：（1）由勾股定理，得：；故答案為：；（2）延長交于點，取格點，連接并延長交于點，點即為所求．如圖所示：由圖可知：，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴點即為所求．M點是根據(jù)垂徑定理找到的；故答案為：利用垂徑定理找到點M【點睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理．掌握并運(yùn)用相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．題型04根據(jù)三線合一求解1．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測）如圖，中，，于，點在線段上，，若，，則的長為_______．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意及各角之間的關(guān)系得出，再由等腰三角形的性質(zhì)得出，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)，∵，∴．中，，∴．中，．∴．∴．∴．∵，∴．∴．中，．中，．故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形兩稅角互余、等角對等邊、勾股定理、等腰三角形三線合一；靈活運(yùn)用勾股定理求解線段長度是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在中，．以為直徑作半圓O，交于點D．若，則的度數(shù)是_____度．

【答案】【分析】如圖所示，連接，利用圓周角定理得到，則由三線合一定理可得．【詳解】解：如圖所示，連接，∵為直徑，∴，即，∵，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三線合一定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在中，，的面積為，則的值為__________．【答案】或【分析】過點作，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，設(shè)，，利用三角形面積公式和勾股定理得到，再利用代數(shù)式變形得到，，則解得，或，，然后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過點作，，，設(shè)，，，，，，，，，，，或，，在中，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，故答案為：或．【點睛】本題考查了解直角三角形，在直角三角形中根據(jù)三角形面積和勾股定理求出和的長是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，是等邊三角形，點E是的中點，過點E作于點F，延長交的反向延長線于點D，若，則的長為__________．【答案】3【分析】由是等邊三角形，點E是的中點，得，，根據(jù)，得，得到，在中，求得，即可得答案．【詳解】解：連接，∵是等邊三角形，點E是的中點，∴，，∵，∴，即，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用含30度角的直角三角形的性質(zhì)解決問題．題型05根據(jù)三線合一證明1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，中，，是的外接圓，的延長線交邊于點D．(1)求證：；(2)若，時，求的半徑．

【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接，得到，進(jìn)而得到，利用外接圓的圓心是三邊中垂線的交點，以及等腰三角形三線合一，即可得證；（2）延長交于點，過點作，交的延長線于點，得到，，推出，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）連接，∵，∴，又∵O為的外心，∴垂直平分，又∵，∴，∴；（2）解：延長交于點，則：，過點作，交的延長線于點，

∵，∴，，∴，，∴，設(shè)，在中：，即：，解得：（負(fù)值已舍掉）；∴，即：的半徑為4．【點睛】本題考查三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形的外接圓的圓心是三邊中垂線的交點，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知在中，，，點D是外一點，．

(1)尺規(guī)作圖：請利用直尺和圓規(guī)作出的高（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)連接，若，判斷四邊形的形狀并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)四邊形ABED是平行四邊形；理由見解析．【分析】（1）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的基本作法畫圖即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊一半，得到，推出，證明四邊形是矩形，進(jìn)而即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）解：如圖：AE即為所求；

（2）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，以為直徑作分別交、于點、，過點作的切線交于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是90°得到，再由三線合一得到，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)的面積求出的長即可．【詳解】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴，又∵∴，∴；（2）連接，是作的切線，則，∵，，∴，∴∴是的中位線，∴∴，又∵，∴【點睛】本題考查直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)，勾股股定理，切線的性質(zhì)，三角形的中位線，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型06格點圖中畫等腰三角形1．（2021·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？既＃┤鐖D，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．故共有3個點，故選：B．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．2．（2022·貴州貴陽·校考一模）如圖，A、B是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上的兩個格點，其余的格點中任意放置點C（不包含點A、點B所在的格點），恰好能使△ABC構(gòu)成等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】除了點A、點B以外，共有23個點，再在其中找出頂點C使其能構(gòu)成等腰三角形，由概率的定義可求出答案．【詳解】解：如圖所示，一共有23個符合條件的點，其中能與點A，點B構(gòu)成等腰三角形的頂點C有9個，所以恰好能使△ABC構(gòu)成等腰三角形的概率為，故選C．【點睛】本題考查等腰三角形的判定，概率的計算，理解概率的定義是正確解答的前提，掌握等腰三角形的判定是得出正確答案的關(guān)鍵．3．（2018·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，A、B是格點，以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數(shù)為（

）

A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【答案】B【詳解】解：如圖所示，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點C3、C8、C7即為點C的位置；以B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點C1、C2、C6、C4、C5即為點C的位置；作線段AB的垂直平分線，垂直平分線沒有經(jīng)過格點．故以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數(shù)為8個．

故選B．點睛：本題主要考查了等腰三角形的判斷，解題時需要通過尺規(guī)作圖，找出點C的位置．掌握等腰三角形的判定，分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．題型07根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形1．（2018·河北·模擬預(yù)測）如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點D，DE∥AC．求證：△BDE是等腰三角形．【答案】證明見解析．【分析】直接利用平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用角平分線的定義結(jié)合互余的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，正確得出是解題關(guān)鍵．2．（2021·陜西西安·?？寄M預(yù)測）在中，對角線平分交于點，交于點．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得再由平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，即可得，由此可得；（2）由勾股定理求得，過點F作于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得AF=FH，再由，即可得，由此即可求得．【詳解】（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴∵平分，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，過點F作于點H，∵平分，，∴AF=FH，∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)定理，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)及定理是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，矩形，將沿對角線翻折得到（如圖1），交邊于點，再將沿翻折得到（如圖2），延長交邊于點．設(shè)、．(1)求證：為等腰三角形；(2)當(dāng)，四邊形為正方形時，求的值；(3)當(dāng)四邊形為菱形時，求與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由矩形性質(zhì)及翻折的性質(zhì)，證得，從而證得為等腰三角形．（2）由四邊形為正方形及翻折性質(zhì)，證得與是等腰直角三角形，再由求得CF與BF的長，進(jìn)而求得n的值．（3）由四邊形為菱形及矩形，翻折性質(zhì)，證得BD與FH的交點即為G點，再由，求得，從而求得與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵矩形，將沿對角線翻折得到，∴，，∵，∴在與中，，∴，∴，即為等腰三角形．（2）解：∵將沿對角線翻折得到，將沿翻折得到，∴，∵四邊形為正方形，∴．∵矩形，，∴，，∵，，，∴．∵矩形，，將沿對角線翻折得到，∴，，∵，∴，∵，∴，即．（3）解：∵四邊形為菱形，∴，∵矩形，∴．∵將沿對角線翻折得到，將沿翻折得到，∴，∵，∴BD與FH的交點即為G點，∴，∵，∴，∵矩形，沿對角線翻折得到，∴，在中，，，∴，，由（1）得，BF=FD，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了特殊四邊形的性質(zhì)以及圖形翻折的性質(zhì)及應(yīng)用，掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)及翻折性質(zhì)，且熟練掌握解特殊直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？既＃┤鐖D，在矩形中，，點E是邊上一點，，延長至點F，使C，交于點G，連接，交于點H．’(1)求證：是等腰三角形；(2)若點E為的中點，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)GF//BE證明∠GFC=∠BEC=90°，再根據(jù)HL證明Rt△BFC≌Rt△GBC，得∠FBC=∠BGC，再由GF//BE證出∠HGF=∠GHB，可得∠BGH=∠BHG，從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得出BC=AD=2AB=24，再由勾股定理求出BE=CE=，設(shè)BG=BH=GF=x，由GF//BE證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出x的值，再根據(jù)正切函數(shù)的定義求值即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∵GF//BE，∴∠GFC=∠BEC=90°，∴∠GFC=∠ABC，在Rt△GFC和Rt△GBC中，，∴Rt△GFC≌Rt△GBC（HL）∴∠BGC=∠CGF，BG=FG，∵GF//BE，∴∠FGC=∠BHG，∴∠BHG=∠BGH∴BG=BH，∴是等腰三角形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠∵點E為的中點，，∴∴在和中，由勾股定理得：設(shè)則，∵//，∴，∴即解得，∴BG=在Rt△BCG中，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．題型08根據(jù)等角對等邊證明邊相等1．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，為的中位線，且平分交于點F．若，，則_____________．【答案】2【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：∵是的中位線，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，是的中位線，∴，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，以及等角對等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)以及定理，求出是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點E，F(xiàn)；再分別以點E，F(xiàn)為圈心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交于點D．則與的數(shù)量關(guān)系是_______．【答案】【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可知平分，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，由角平分線的尺規(guī)作圖可知，平分，，，，在中，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的定義、含角的直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃┤鐖D，在平行四邊形中，，的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)．若，，則BE的長為____．（用含a，b的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】過點E作，，得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，推出四邊形與四邊形都是平行四邊形，推出，，根據(jù)角平分線的定義得到，，推出，得到，推出，根據(jù)，推出，推出，得到，根據(jù)勾股定理得到．【詳解】過點E作，，則，，∵中，，∴四邊形與四邊形都是平行四邊形，∴，，∵BE平分，CF平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行四邊形，角平分線，等腰三角形，勾股定理等，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)和判定，角平分線定義，等角對等邊，勾股定理解直角三角形．4．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）我們把寬與長的比為黃金比（）的矩形稱為黃金矩形，如圖，在黃金矩形ABCD中，，BC＝4，的平分線交AD邊于點E，則AE的長為______．【答案】【分析】根據(jù)黃金矩形的定義求出AB，根據(jù)矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)求出∠ABE和∠AEB，再根據(jù)等角對等邊即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是黃金矩形，BC=4，∴，∠ABC=90°，．∴．∵AE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°．∴∠AEB=∠EBC=45°．∴∠ABE=∠AEB．∴．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，直線與雙曲線交于、兩點，直線經(jīng)過點，與雙曲線交于另一點，，連接，若的面積是50，則_____．【答案】/【分析】作出如解圖的輔助線，設(shè)，由反比例函數(shù)的對稱性以及等腰直角三角形的性質(zhì)可知，然后證明得到，，則點K的坐標(biāo)為，然后求出直線BC的解析式，得到J點坐標(biāo)，設(shè)C點坐標(biāo)為，然后推出得到關(guān)于m、n的方程組，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作軸于M，過點O作交于K，過點K作軸于T，設(shè)直線與y軸交于J，連接，設(shè)，則，，∴由反比例函數(shù)的對稱性可知，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∴點K的坐標(biāo)為，設(shè)直線BC的解析式為，∴，解得，∴直線BC的解析式為，∴J點坐標(biāo)為，設(shè)C點坐標(biāo)為，∵，∴，∴，解得，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)比例系數(shù)，等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型09根據(jù)等角對等邊求邊長1．（2020·河北·模擬預(yù)測）把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點，且另外三個銳角頂點在同一直線上．若，則____．【答案】．【分析】如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點作于，在中，，，，兩個同樣大小的含角的三角尺，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，故答案為．【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是平行四邊形，以點B為圓心，的長為半徑作弧交于E，分別以點C，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線交的延長線于點F，，則______．【答案】【分析】利用基本作圖得到，平分，則，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，所以．【詳解】解：由作法得，平分，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定．3．（2023·浙江杭州·?？级＃┮阎鐖D，在矩形中，點E是的中點，連接，將沿著翻折得到，交于點H，延長，相交于點G，若，，則_____．

【答案】//【分析】連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得與是直角三角形，，再根據(jù)即可證明．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，可設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可求的長，即的長，再在中，根據(jù)勾股定理可求的長，從而求出的長．【詳解】解：如圖，連接，

∵四邊形是矩形，∴，，.由折疊的性質(zhì)可得：．∴，．是的中點，，，，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，即，，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴=，故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)特點，勾股定理的應(yīng)用等知識，本題的關(guān)鍵在于通過矩形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、方程思想求出的長．4．（2021·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學(xué)校校考三模）如圖，在矩形中，點是線段上的一點，，，將沿翻折，得到，連接，若，，則線段的長度為______．【答案】【分析】過點作，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)得到，從而得到為的中點，求得、的長度，勾股定理求得，等面積法求得，勾股定理即可求得．【詳解】解：過點作，如下圖：在矩形中，，，，∴由折疊的性質(zhì)可得：，，∴∴又∵∴∴∴∴，即為的中點在中，由勾股定理得得由勾股定理得由勾股定理得故答案為【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海徐匯·上海市第四中學(xué)?？家荒＃┰谥?，，M為的中點，將繞點M旋轉(zhuǎn)，使點C與點B重合得到，設(shè)邊交邊于點N．若，則___________．【答案】/【分析】根據(jù)題意畫圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，推導(dǎo)出相等的角，根據(jù)等角對等邊可得出于相等，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形如下圖所示，由題意可得：，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，∴故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，等邊對等角，直角三角形的中線的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．題型10求與圖形中任意兩點構(gòu)成等腰三角形的點1．（2020·福建廈門·?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A（3，2），點P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，則m可取的值最多有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】分三種情況分析：①以點O為頂角頂點，②以A為頂角頂點，③線段AO的垂直平分線，討論點P的個數(shù).【詳解】由點P（m，0）（m＜6）知點P在x軸上，分三種情況：①當(dāng)A為頂角頂點時，以點O為圓心OA長為半徑畫弧，交x軸于一點，根據(jù)對稱性得到此點的坐標(biāo)為（6,0），不符合，舍去；②當(dāng)點O為頂角頂點時，以點A為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸有兩個交點均滿足小于6的條件，故此時有兩個；③作線段OA的垂直平分線，與x軸交于一點，滿足小于6的條件，故此時有一個；綜上，共有3個點P，即m有3個值，故選：B.【點睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題時分三種情況進(jìn)行討論，注意以點A、O為頂角頂點時應(yīng)以點為圓心畫弧線，避免有遺漏.2．（2018·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在矩形ABCD的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)為_______________.【答案】8【分析】根據(jù)題意作出圖形即可得出答案,【詳解】如圖，AD＞AB，△CDE1，△ABE2，△ABE3，△BCE4，△CDE5，△ABE6，△ADE7，△CDE8，為等腰三角形，故有8個滿足題意得點.【點睛】此題主要考查矩形的對稱性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形.3．（2018·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長為_____．【答案】4．【詳解】試題分析：如圖，當(dāng)AB=AD時，滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），則AB=AD=4，故答案為4．考點：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；分類討論．題型11等腰三角形性質(zhì)與判定綜合1．（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)30°【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，得到，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，證得，得到，設(shè)，，則，得到α+β的關(guān)系即可．【詳解】（1）∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；（2）結(jié)論：．證明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）在AD上取一點M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，

∴，∴，即∠ADB＝30°．【點睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用知識，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知是等邊三角形，點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接AD，CD．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)在線段AC上任取一點Р（端點除外），連接PD．將線段PD繞點Р逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處．請?zhí)骄浚寒?dāng)點Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？說明理由．(3)在滿足（2）的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)大小不變，理由見解析(3)，證明見解析【分析】（1）連接BD，由等邊三角形的性質(zhì)可得AC垂直平分BD，繼而得出，便可證明；（2）連接PB，過點P作交AB于點E，PF⊥AB于點F，可證明是等邊三角形，由等腰三角形三線合一證明，，即可求解；（3）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AF=FE，QF=BF，即可證明．【詳解】（1）連接BD，是等邊三角形，，點B，D關(guān)于直線AC對稱，AC垂直平分BD，，，四邊形ABCD是菱形；（2）當(dāng)點Р在線段AC上的位置發(fā)生變化時，的大小不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：將線段PD繞點Р逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在BA延長線上的點Q處，，是等邊三角形，，連接PB，過點P作交AB于點E，PF⊥AB于點F，則，，是等邊三角形，，，，點B，D關(guān)于直線AC對稱，點P在線段AC上，PB=PD，∠DPA=∠BPA，PQ=PD，，，∠QPF-∠APF=∠BPF-∠EPF，即∠QPA=∠BPE，∠DPQ=∠DPA-∠QPA=∠BPA-∠BPE=∠APE=60°；（3）AQ=CP，證明如下：AC=AB，AP=AE，AC-AP=AB–AE，即CP=BE，AP=EP，PF⊥AB，AF=FE，PQ=PD，PF⊥AB，QF=BF，QF-AF=BF–EF，即AQ=BE，AQ=CP．【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點，，分別平分和，的延長線交于點，連接．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求的長．【答案】(1)為等腰直角三角形，詳見解析(2)【分析】（1）由角平分線的定義、結(jié)合等量代換可得，即；然后再根據(jù)直徑所對的圓周角為90°即可解答；（2）如圖：連接，，，交于點．先說明垂直平分．進(jìn)而求得BD、OD、OB的長，設(shè)，則．然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，證明如下：證明：∵平分，平分，∴，．∵，，∴．∴．∵為直徑，∴．∴是等腰直角三角形．（2）解：如圖：連接，，，交于點．∵，∴．∵，∴垂直平分．∵是等腰直角三角形，，∴．∵，∴．設(shè)，則．在和中，．解得，．∴．∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂直平分線的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識點，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·北京西城·統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD，將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．(1)如圖1，當(dāng)點E在正方形ABCD的內(nèi)部時，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為______；(2)當(dāng)點E在正方形ABCD的外部時，①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點G，交EA的延長線于點F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)135，(2)①作圖見解析，45°；②【分析】（1）過點E作于點K，由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角平分線的定義可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形可求出，，繼而可證明，便可求解；（2）①根據(jù)題意作圖即可；由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出，即可求解；②過點B作垂足為H，由等腰三角形的性質(zhì)得到，再證明即可得到，再推出為等腰直角三角形，即可得到三者之間的關(guān)系．【詳解】（1）過點E作于點K四邊形ABCD是正方形BE平分∠ABC，AB=4，將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，，四邊形ABCE的面積為故答案為：135，（2）①作圖如下四邊形ABCD是正方形由旋轉(zhuǎn)可得，②，理由如下：如圖，過點B作垂足為H，∠EBC的平分線BF交EC于點G為等腰直角三角形即【點睛】本題屬于四邊形和三角形的綜合題目，涉及正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用上述知識點是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．(1)求證：；(2)若時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，即可根據(jù)證明；（2）勾股定理求得根據(jù)已知條件證明是等腰三角形可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，，，，在與中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型12等腰三角形有關(guān)的折疊問題1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）在中，是邊的中點，是邊上一動點，連接，將沿直線折疊得．（1）如圖（1），若為邊長為4的等邊三角形，當(dāng)點D恰好落在線段上時，則＝___；（2）如圖（2），若為直角三角形．，．分別連接、、，若，且，則＝___．【答案】48【分析】（1）過作于，由是邊長為4的等邊三角形，為中點，可得，，，設(shè)，根據(jù)沿直線折疊得，點恰好