高等數(shù)學(xué)（工科類）課件 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）引例1：高鐵復(fù)興號(hào)高速平穩(wěn)運(yùn)行探究中國(guó)如今擁有世界上首條高寒高鐵（哈大高鐵），世界上單條運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的高鐵（京廣高鐵），世界上一次性建成里程最長(zhǎng)的高鐵（蘭新高鐵）.截至2021年底，中國(guó)高速鐵路運(yùn)營(yíng)總里程達(dá)4萬(wàn)公里，已能繞地球赤道一周，居世界第一.列車最高運(yùn)營(yíng)速度350千米/小時(shí)，居全球首位.高鐵已經(jīng)成為中國(guó)科技創(chuàng)新的標(biāo)志性成果，也是中國(guó)向世界遞出的一張靚麗的名片（見圖2-1）.在乘坐高速鐵路時(shí)你是否注意到，高鐵列車的所有車門處都有顯示列車速度的顯示屏，乘客可以通過顯示器了解高速鐵路的當(dāng)前運(yùn)行速度，即瞬時(shí)速度(見圖2-2）.那么，如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)刻畫這種隨時(shí)間變化的“瞬時(shí)速度”呢？為直觀理解列車運(yùn)行中的瞬時(shí)速度，我們利用數(shù)學(xué)模型對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)要分析.情景與問題假設(shè)物體前進(jìn)中的運(yùn)動(dòng)方程為，其中(米)表示時(shí)刻(秒)時(shí)物體的位移.通過計(jì)算得出在附近，的取值情況，列表如下：時(shí)刻t344.54.94.954.994.9995S(t)276491.125117.649121.287124.252124.925125ΔS(t)-98-61-33.875-7.351-3.713-0.746-0.07500Δt-2-1-0.5-0.1-0.05-0.01-0.0010ΔS/Δt496167.7573.5174.25374.85074.485/時(shí)刻t55.0015.015.055.15.567S(t)125125.075125.752128.788132.651166.375216343ΔS(t)00.07500.7523.7887.65141.37591218Δt00.0010.010.050.10.512ΔS/Δt/75.01575.15075.75376.5182.7591109從表2-1觀察發(fā)現(xiàn)，隨著趨近于0,也隨之趨近于0,但他們的比值卻越來(lái)越接近于常數(shù)75，這個(gè)數(shù)值就是秒時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.值得注意的是，并不是時(shí)間增加的量，而是時(shí)間的改變量，故的值應(yīng)是在的兩側(cè). 將上述過程用極限表示，這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是我們要探究的“導(dǎo)數(shù)”，記為或，即引例2事實(shí)上，高鐵列車不僅快，它還具有卓越的穩(wěn)定性.乘客在乘坐的過程中，不眺望車窗外幾乎感覺不到列車在急速前進(jìn).列車在運(yùn)行中要保持平穩(wěn)，轉(zhuǎn)彎處列車應(yīng)沿著軌道的切線方向前進(jìn).數(shù)學(xué)上切線的方向與切線的斜率密切相關(guān)，那么該如何表示平面曲線上過一點(diǎn)的切線斜率呢？分析平面上圓的切線可定義為“與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線”，但是對(duì)于其它曲線以此作為切線的定義就不一定合適了.一般平面曲線切線的定義為，設(shè)有曲線

及

上的一點(diǎn)(如圖2-3所示)，在點(diǎn)

外另取

上一點(diǎn)，作割線.當(dāng)點(diǎn)

沿曲線

趨于點(diǎn)

時(shí)，同時(shí)割線

繞點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置

，直線就稱為曲線

在點(diǎn)

處的切線.圖2-3設(shè)為割線

的傾角，于是割線

的斜率為.當(dāng)點(diǎn)

沿曲線

趨于點(diǎn)

時(shí)，.如果當(dāng)時(shí)，上式的極限存在(設(shè)為)，即,則就是切線的斜率.這里，其中是切線

的傾角.上述2個(gè)引例的實(shí)際意義完全不同，但從解決問題的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，均可歸結(jié)為類似的極限表達(dá)式，即函數(shù)值的增量與自變量增量商的極限.事實(shí)上，還有很多實(shí)際問題如物體的運(yùn)動(dòng)速度、電流強(qiáng)度、線密度、比熱、化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)問題.圖2-3設(shè)為割線

的傾角，于是割線

的斜率為.當(dāng)點(diǎn)

沿曲線

趨于點(diǎn)

時(shí)，.如果當(dāng)時(shí)，上式的極限存在(設(shè)為)，即,則就是切線的斜率.這里，其中是切線

的傾角.上述2個(gè)引例的實(shí)際意義完全不同，但從解決問題的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，均可歸結(jié)為類似的極限表達(dá)式，即函數(shù)值的增量與自變量增量商的極限.事實(shí)上，還有很多實(shí)際問題如物體的運(yùn)動(dòng)速度、電流強(qiáng)度、線密度、比熱、化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)問題.圖2-32.1.1導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得增量(仍在該領(lǐng)域內(nèi))時(shí),相應(yīng)的函數(shù)取得增量.如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為

,,，或.如果極限不存在,即稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).注意：定義中式子表示當(dāng)自變量發(fā)生一個(gè)單位的改變量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)改變了個(gè)單位.所以函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也稱作函數(shù)對(duì)自變量的變化率，它反映函數(shù)在該點(diǎn)處的變化快慢，這便是導(dǎo)數(shù)的本質(zhì).例1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解當(dāng)由

變到時(shí)，相應(yīng)增量為

所以,..例2已知，試計(jì)算極限：解已知，由導(dǎo)數(shù)定義可得,也有

定義2.2如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱函數(shù)在開區(qū)間可導(dǎo).此時(shí)，對(duì)于任一，都對(duì)應(yīng)著的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)，記作

，，，或.顯然，導(dǎo)數(shù)的求解式為.需注意的是該式中雖然可以取區(qū)間的任意值，但取極限的過程依賴于，即是常數(shù)，是變量.例3求函數(shù)(為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解

，即.解=，，即.所以.用類似的方法，可求得：.例4設(shè)函數(shù)，求及.例5設(shè)函數(shù)，求.解，故注意到當(dāng)時(shí)，，則，即.例6設(shè)函數(shù)，求.解，則注意到當(dāng)時(shí)，，有，故,即.

2.1.2可導(dǎo)的充要條件定義2.3如果極限值存在，則稱其值為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記為，即

.如果極限值存在，則稱其值為函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)，記為，即

.由極限存在的充要條件知，存在的充分必要條件是及都存在且相等，故有以下結(jié)論：定理2.1函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)

和右導(dǎo)數(shù)

都存在且相等.即

如果函數(shù)

在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)

且左端點(diǎn)

的右導(dǎo)數(shù)

和右端點(diǎn)

的左導(dǎo)數(shù)

都存在，稱

在閉區(qū)間

上可導(dǎo)注意：定理2.1常常用來(lái)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo).例7求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，由，得.2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義由引例2關(guān)于切線斜率問題的討論以及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率，即，其中是切線的傾角(如圖2-4所示).需特別指出的是，如果在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮，此時(shí)曲線的切線是過點(diǎn)且垂直于軸的直線.圖2-4由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平面直線的點(diǎn)斜式方程，可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為:

過切點(diǎn)且與切線垂直的直線叫做曲線在點(diǎn)處的法線.點(diǎn)處的法線方程為：例8求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解因?yàn)?，，故所求切線方程

即,對(duì)應(yīng)法線方程為，即.2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.2可導(dǎo)函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù).證明從略.例9討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解：由圖2-5可知，函數(shù)在處是連續(xù)的，因?yàn)椋?，?/p>

.所以函數(shù)在處是連續(xù)的.又因?yàn)?/p>

，顯然

，故函數(shù)在處不可導(dǎo).圖2-5例10討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解由知在處連續(xù).

但當(dāng)時(shí)，在和之間振蕩變化，故極限不存在，所以在處不可導(dǎo).注意：上述例子說明，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件而非充分條件.

啟迪：在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，數(shù)學(xué)家們一直猜測(cè)：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個(gè)點(diǎn)外都是可導(dǎo)的.直到被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”的德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯，于1872年利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)構(gòu)造出了一個(gè)處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)，才為上述猜測(cè)做了一個(gè)否定的終結(jié).這一成果隨即引起數(shù)學(xué)界和思想界的極大震動(dòng)，并使得經(jīng)典數(shù)學(xué)陷入又一次危機(jī).危機(jī)的產(chǎn)生促使數(shù)學(xué)家們?nèi)ニ妓餍碌姆椒▽?duì)這類函數(shù)進(jìn)行研究，從而促成了一門新的學(xué)科“分形幾何”的產(chǎn)生.所謂“分形”，就是指幾何上的一種“形”，它的局部與整體按某種方式具有“自相似性”（如圖2-6）.自然界存在著許多不規(guī)則不光滑的幾何圖形，它們都具有“自相似性”.如云彩的邊界、山峰的輪廓、奇形怪狀的海岸線、蜿蜒曲折的河流、材料的無(wú)規(guī)則裂縫、視網(wǎng)膜血管網(wǎng)等等.因此“分形幾何”自產(chǎn)生起，就得到了數(shù)學(xué)家們普遍的關(guān)注，很快就發(fā)展為一門有著廣泛應(yīng)用前景的新的學(xué)科.“分形幾何”的產(chǎn)生啟示我們：科學(xué)研究必須一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，來(lái)不得半點(diǎn)馬虎；要正確認(rèn)識(shí)挫折，培養(yǎng)面對(duì)困難的勇氣和堅(jiān)強(qiáng)的意志，堅(jiān)信“危中有機(jī)”.圖2-6雪花的分形例11設(shè)函數(shù)，問取何值時(shí)，為可導(dǎo)函數(shù)？解只須討論在處可導(dǎo)時(shí)的取值情況.在處，因?yàn)?，，要使在處可?dǎo)，必須，即，由得.所以，當(dāng)時(shí)為可導(dǎo)函數(shù).應(yīng)用與實(shí)踐導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減變化快慢、最大（?。┑葐栴}最一般最有效的工具.“導(dǎo)數(shù)”與“變化率”有密切關(guān)系.通常變化率有兩種，其中“平均變化率”是指，表示某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度，平均變化率越大，表示函數(shù)的平均變化越快.當(dāng)時(shí)則可以得到“瞬時(shí)變化率”，瞬時(shí)變化率其實(shí)就是導(dǎo)數(shù).它表示的是函數(shù)值在某點(diǎn)處的變化趨勢(shì)，瞬時(shí)變化率越大，該點(diǎn)處切線的斜率也就越大.案例1設(shè)某商品的總收益是銷售量的函數(shù).求當(dāng)銷售量為50個(gè)單位時(shí)的總收益變化率,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，該問題即是求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).因?yàn)?，所?這表示銷售量為50個(gè)單位時(shí),總收益的變化率為60.其經(jīng)濟(jì)意義為：在銷售量為50個(gè)單位時(shí)，如果再多銷售一個(gè)單位,總收益將增加60個(gè)單位.案例2具有PN節(jié)的半導(dǎo)體器件，其電流微變和引起這個(gè)變化的電壓微變之比稱為低頻跨導(dǎo)．一種PN節(jié)的半導(dǎo)體器件，其轉(zhuǎn)移特性曲線方程為，求電壓V時(shí)的低頻跨導(dǎo)．解低頻跨導(dǎo)在V時(shí)的變化率為

.

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

情景與問題引例1電路中某點(diǎn)處的電流是通過該點(diǎn)處的電量關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，如果某一電路中的電量為,求電流函數(shù).分析電流函數(shù)即電量函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即需求解.但是，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義進(jìn)行求解就顯得比較復(fù)雜了.設(shè)想的求解能否在和的基礎(chǔ)上進(jìn)行呢？如果能，將極大簡(jiǎn)化求解難度.引例2鋅和稀硫酸發(fā)生化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生硫酸鋅和氫氣，化學(xué)方程式如下：

.在實(shí)驗(yàn)中可以通過測(cè)定反應(yīng)產(chǎn)生的體積來(lái)觀察化學(xué)反應(yīng)速率.下圖為經(jīng)過測(cè)定的的體積隨時(shí)間變化的曲線（如圖2-7）：通過建立數(shù)學(xué)模型，該體積測(cè)定曲線符合函數(shù)

.那么如何算出該實(shí)驗(yàn)的瞬時(shí)化學(xué)反應(yīng)速率呢？分析瞬時(shí)化學(xué)反應(yīng)速率即體積測(cè)定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即需求解.但是，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義進(jìn)行求解就顯得比較復(fù)雜了.該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能否拆分求解呢？如果能，將極大簡(jiǎn)化求解難度.本節(jié)將介紹一些基本的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，利用這些知識(shí)可以方便地求出一些復(fù)雜初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).圖2-7的體積隨時(shí)間變化曲線圖抽象推理2.2.1基本求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

定理2.3設(shè)函數(shù)及在點(diǎn)處可導(dǎo)，則與的和、差、積、商（分母不為零）也可導(dǎo)，且(1)；(2)；(3).特別地，當(dāng)時(shí)，.2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

證設(shè)，則由導(dǎo)數(shù)的定義有

下面以(2)為例加以證明，其他兩條性質(zhì)類似可證.即.特別地，當(dāng)(是常數(shù))時(shí)，.注意：積的求導(dǎo)法則可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)之積的情形.例如

.例1求的導(dǎo)數(shù).解

.例2求的導(dǎo)數(shù).解

.例3求的導(dǎo)數(shù).解

同理可得：

.例4求的導(dǎo)數(shù).解

.同理可得：.顯然，引例1中的電流函數(shù)，為.引例2中化學(xué)實(shí)驗(yàn)的瞬時(shí)化學(xué)反應(yīng)速率為

2.2.3反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.4如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，且有或.證明從略.例5求的導(dǎo)數(shù).解是的反函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，又，所以，即.特別地，有.例6求的導(dǎo)數(shù).解由于是在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，而在該區(qū)間單調(diào)、可導(dǎo)，且，所以，即.類似地，有

.解

由于是在內(nèi)的反函數(shù)，而在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，所以

即.類似地，有.例7求的導(dǎo)數(shù).2.2.4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則引例3自工業(yè)革命以來(lái)，人類活動(dòng)產(chǎn)生二氧化碳排放量增多導(dǎo)致氣溫逐年升高形成溫室效應(yīng)，而氣溫升高又導(dǎo)致海平面上升，最終影響人類生活.為了保護(hù)人類賴以生存的地球環(huán)境，可以利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)幫助我們了解未來(lái)可能的環(huán)境變化趨勢(shì)，從而做出積極的應(yīng)對(duì)措施.假設(shè)海平面

（單位：米）與氣溫

（單位：）的關(guān)系為：，而氣溫

與二氧化碳排放量

（單位：噸）的關(guān)系為：.那么，海平面受二氧化碳排放量增加影響而發(fā)生改變的變化率是如何呢？分析由于知道海平面與氣溫的函數(shù)關(guān)系，又知道氣溫與二氧化碳排放量的函數(shù)關(guān)系，那么求海平面對(duì)二氧化碳排放量的變化率便是討論復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題.啟迪：2020年9月22日，國(guó)家主席習(xí)近平在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)一般性辯論上發(fā)表重要講話，鄭重向國(guó)際社會(huì)宣布中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，使二氧化碳量排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和，為實(shí)現(xiàn)應(yīng)對(duì)氣候變化《巴黎氣候協(xié)定》確定的目標(biāo)作出更大努力和貢獻(xiàn).碳達(dá)峰和碳中和戰(zhàn)略目標(biāo)的提出是中國(guó)推進(jìn)世界零碳排放進(jìn)程，引領(lǐng)世界經(jīng)濟(jì)綠色復(fù)蘇的核心戰(zhàn)略，體現(xiàn)了中國(guó)的大國(guó)擔(dān)當(dāng)和秉持人類命運(yùn)共同體理念.定理2.5如果在點(diǎn)可導(dǎo)，而在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為或，或.證明從略.注意：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可簡(jiǎn)述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)．這一法則又稱為鏈?zhǔn)椒▌t．另外，定理2.4可以推廣到由多個(gè)復(fù)合關(guān)系構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，如設(shè)，則例5求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解設(shè).則

例8求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解函數(shù)的最外層是，此時(shí)不管多復(fù)雜，都可視為一個(gè)整體作為中間變量，于是有：，接下來(lái)計(jì)算，視為中間變量，于是，最后，有.注意：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，總是從外層向內(nèi)層，逐層設(shè)置一個(gè)中間變量求導(dǎo).當(dāng)計(jì)算熟練后，可不寫中間變量，直接求出導(dǎo)數(shù).例9，求.解例10設(shè)，證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

證明.例11求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)?，所?/p>

拾趣：在進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，關(guān)鍵是分析清楚復(fù)合過程，然后從外層到內(nèi)層逐層求導(dǎo).每一層求導(dǎo)時(shí)認(rèn)清誰(shuí)是函數(shù)對(duì)應(yīng)哪個(gè)變量(不管是自變量還是中間變量)；熟練之后可以不設(shè)中間變量，只把中間變量看在眼里、記在心里，直接把中間變量的部分寫出來(lái)，保證整個(gè)求導(dǎo)過程流暢、一氣呵成.這種數(shù)學(xué)之美，要求同學(xué)們逐漸提高抽象概括能力，做到“重其意，而略其形”，而且這種思維訓(xùn)練對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)多有裨益.從宏觀角度看，這體現(xiàn)了“舉重若輕”觀念，但在落實(shí)到具體函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，務(wù)必嚴(yán)謹(jǐn)，做到“舉輕若重”.希望讀者們細(xì)細(xì)體會(huì)其中蘊(yùn)含的辯證關(guān)系.2.2.5高階導(dǎo)數(shù)引例4什么是變速直線運(yùn)動(dòng)物體的“速度、加速度、加加速度”？分析在變速直線運(yùn)動(dòng)中，路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是物體的瞬時(shí)速度，即.而速度仍為時(shí)間的函數(shù)，其關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)便是物體的加速度，即.加加速度，又稱變加速度、急動(dòng)度或沖動(dòng)度，是描述加速度變化快慢的物理量.加加速度是由加速度的變化量和時(shí)間決定的，即.于是，速度是路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，加速度是路程關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱路程關(guān)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，加加速度是路程關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)，稱路程關(guān)于時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù).

探究：現(xiàn)代科學(xué)意識(shí)到，人們?cè)谙碛闷嚒⒒疖嚨痊F(xiàn)代化交通工具時(shí)，發(fā)現(xiàn)加速度隨時(shí)間的變化率與乘客的舒適感相關(guān)，因此將加速度的時(shí)間改變率定義為急動(dòng)度.例如，在乘坐電梯下降時(shí)的“失重”引起的不適感主要存在于初始猝變瞬間，就與急動(dòng)度值相關(guān)。進(jìn)一步，又定義了急動(dòng)度相對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即位移對(duì)時(shí)間的四階導(dǎo)數(shù)，稱為痙攣度，也稱為“加加加速度”.請(qǐng)讀者結(jié)合自身經(jīng)歷做進(jìn)一步探討.一個(gè)函數(shù)關(guān)于變量求導(dǎo)再求導(dǎo)稱作二階導(dǎo)數(shù)，連求三次導(dǎo)數(shù)稱作三階導(dǎo)數(shù)，按照這種規(guī)律，有沒有四階導(dǎo)數(shù)，，階導(dǎo)數(shù)呢？如果有，又應(yīng)該如何求解呢？下面我們來(lái)著手解決這些問題.定義2.6一般地，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記為或或或.類似地，可以定義的三階、…、階導(dǎo)數(shù)，分別記為

或或或，…

或或或.二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，而把稱為一階導(dǎo)數(shù).如果函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在，則稱為階可導(dǎo)函數(shù).例12設(shè)，求.解，.例13求指數(shù)函數(shù)的階導(dǎo)數(shù).解，，……，.例14設(shè)，求.解，，，.例15設(shè)，求.解，，，，……

.例16設(shè)，求.解，，……

，即.同理，可得.應(yīng)用與實(shí)踐案例1一個(gè)電阻為,可變電阻為的電路中的電壓由下式給出：（單位：

）．求在時(shí)電壓關(guān)于可變電阻的變化率．解電壓關(guān)于可變電阻的變化率為

.在時(shí)電壓關(guān)于可變電阻的變化率為（/）.案例2某汽配公司生產(chǎn)一種小型的汽車配件，設(shè)市場(chǎng)上對(duì)此配件的商品需求量為，銷售的價(jià)格為，由多年的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐得知此配件的需求量與價(jià)格之間的關(guān)系（經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為需求函數(shù)）近似為.如果配件的價(jià)格按每年的比率均勻增加，現(xiàn)在銷售價(jià)格為1.00元，問此時(shí)需求量將如何變化？解因?yàn)樾枨罅侩S價(jià)格的變化而變化，而價(jià)格又隨時(shí)間的變化而變化，所以是的復(fù)合函數(shù)．根據(jù)題意可知，，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

代入,，得.即該配件的商品需求量減少的速率為每年個(gè)單位（該問題又稱為相關(guān)變化率的問題）．案例3某運(yùn)動(dòng)員參加

短跑比賽，經(jīng)過

到達(dá)終點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)函數(shù)為：，分析這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的速度、加速度和急動(dòng)度.解：根據(jù)運(yùn)動(dòng)函數(shù)，該運(yùn)動(dòng)員的速度函數(shù)：，加速度函數(shù)：，急動(dòng)度函數(shù)：.四個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形為：圖2-8由圖分析可知，該運(yùn)動(dòng)員開始速度漸增，在最后沖刺階段，速度漸減，由于急動(dòng)度不變，為負(fù)值，故加速度均勻減小.圖2-8運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)函數(shù)圖案例4一個(gè)裝滿水的圓錐形容器，如圖2-9.其高為

，底面半徑為.若水在容器底端以

的速度排出，問當(dāng)水深為

時(shí)，水位的下降速度為多少？解設(shè)在時(shí)間為時(shí)，容器中的水的體積為，水面的半徑為

，容器中水的深度為.由題意，有

.又，即.因此，.因?yàn)樗纳疃?/p>

是時(shí)間

的函數(shù)，即，所以水的體積

通過中間變量

與時(shí)間

發(fā)生聯(lián)系，是時(shí)間

的復(fù)合函數(shù)，即.在上式中，兩端關(guān)于

求導(dǎo)數(shù)，得其中是體積的變化率，是水的深度的變化率.由已知，，.

代入上式，得.所以，當(dāng)

時(shí)，水位下降的速度約為.

§2.3函數(shù)的微分情景與問題引例1一塊正方形金屬薄片受到溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)由變到(如圖2-10），問此薄片的面積改變了多少？分析設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為，面積為，則為的函數(shù)：.薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量，可以看成當(dāng)自變量自取得增量時(shí)，面積相應(yīng)的增量，即.從上述薄片面積的改變量可以看出，分成兩部分，第一部分是一個(gè)有關(guān)的線性表達(dá)式，第二部分是，它們對(duì)應(yīng)的面積如圖2-10所示.當(dāng)時(shí)，第二部分是比高階的無(wú)窮小，即.如果邊長(zhǎng)的改變量很微小的時(shí)候，即當(dāng)很小時(shí)，第二部分的面積會(huì)比第一部分的面積小得多，可以忽略不計(jì)，僅用第一部分近似地替代.我們注意到，第一部分的中，恰好是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的巧合么？還是存在什么有意義的規(guī)律？下面我們用圖形做進(jìn)一步分析.

圖2-10在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖形是一條曲線（如圖2-11所示）.對(duì)于某一固定的，曲線上有一個(gè)確定的點(diǎn)，當(dāng)自變量有微小增量時(shí)，就得到曲線上另一點(diǎn).過點(diǎn)作曲線的切線.由圖2-11可知，當(dāng)是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí)，就是切線縱坐標(biāo)增量，即當(dāng)很小時(shí)，在點(diǎn)的附近變得非常小了，此時(shí)可以看作，即.在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)遇到這樣的問題：當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，求函數(shù)的微小改變量.但是，往往問題中給出的函數(shù)會(huì)較復(fù)雜，其差值會(huì)是一個(gè)更復(fù)雜的表達(dá)式，很難求出其值.由分析可以想到：能否設(shè)法將近似表示成一個(gè)有關(guān)的線性函數(shù)，從而簡(jiǎn)化問題的求解呢？微分就是實(shí)現(xiàn)這種方法的一種數(shù)學(xué)模型.探究：微分代表了當(dāng)給定自變量增量時(shí)，曲線在點(diǎn)

處切線的縱坐標(biāo)增量，這便是微分的幾何意義（如圖2-11）.同時(shí)，在較小時(shí)，常用切線段

代替曲線段

，這便是科學(xué)研究中常見的“以直代曲”思想.其實(shí)，這種近似思想還很多，比如計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的“以平面代曲面”、運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中的“以勻速代變速”及科學(xué)計(jì)算中的“以線性代替非線性”等思想.請(qǐng)同學(xué)們探討.引例2將物體以與水平方向呈夾角的初速度拋出，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡可用參數(shù)方程表示為指物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間.軌跡如圖2-12.試求.分析我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何求解的導(dǎo)數(shù).但是，當(dāng)和以參數(shù)方程形式進(jìn)行表達(dá)時(shí)的應(yīng)該如何求解呢？解決的一個(gè)思路是，將參數(shù)通過代入法消元，解得的函數(shù)表達(dá)式再求導(dǎo).將代入，得到求導(dǎo)得.但是，有的參數(shù)方程通過代入法消元有可能過程很復(fù)雜，或者根本無(wú)法消元.因此，本節(jié)將介紹參數(shù)方程的一般求導(dǎo)方法.圖2-12抽象推理2.3.1微分的概念定義2.5若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作，即.此時(shí)也稱函數(shù)在點(diǎn)處可微.由微分的定義可知，自變量的微分，所以上式又可以寫成.關(guān)于微分有如下定理：定理2.6函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且.即可微與可導(dǎo)是等價(jià)的.證明從略.例1求函數(shù)當(dāng)由

改變到的微分.解因?yàn)?，，，所?例2求函數(shù)在處的微分.解函數(shù)在處的微分為.另外，函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，稱為函數(shù)的微分，記作或，即.這就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即.因此，對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說，導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”.2.3.2微分的運(yùn)算1.基本微分公式從函數(shù)微分的表達(dá)式可以看出，要計(jì)算函數(shù)的微分，只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分即可.由此，可得到如下基本微分公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)微分四則運(yùn)算法則:根據(jù)微分的定義，結(jié)合函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推得相應(yīng)的微分法則(設(shè)，都可導(dǎo))：(1).(2)(是常數(shù))..(4)().討論：微分與導(dǎo)數(shù)有著緊密聯(lián)系，甚至在本質(zhì)上都是刻劃事物變化快慢程度的.鑒于此，有人認(rèn)為有了導(dǎo)數(shù)就夠了，何需再引進(jìn)微分呢？請(qǐng)談?wù)勀目捶?例3求函數(shù)的微分.解

.例4求函數(shù)的微分.解.2.復(fù)合函數(shù)的微分法設(shè)及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分為由于，所以復(fù)合函數(shù)的微分公式也可以寫成或.由此可見，無(wú)論是自變量還是中間變量，一階微分的形式保持不變.這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性.例5設(shè)，求.解

設(shè)，，利用一階微分形式的不變性，有

.注意:與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)類似，當(dāng)計(jì)算熟練以后，復(fù)合函數(shù)的微分求解也可不寫出中間變量.例6設(shè)，求.解

例7設(shè),求.解

.3.利用微分求解參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)利用微分求參數(shù)方程所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)特別方便.設(shè)變量和之間的函數(shù)關(guān)系由方程組所確定，若，均可微，求.由一階微分形式的不變性，有

，

.故

.例8設(shè)橢圓，（）.求其在

處的切線方程.解當(dāng)時(shí)，橢圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為.由于，，則

.故所求切線方程為:.例9設(shè)