高等數(shù)學(xué)（工科類(lèi)）課件 第五章 微分方程

新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類(lèi)）

目

錄CONTENTS—————5微分方程------------------010203------------------------------------------------------------------------------------------------一階微分方程二階線(xiàn)性微分方程微分方程建模示例第五章微分方程第一節(jié)一階微分方程引例1：三星堆一醒驚天下2021年3月23日，“考古中國(guó)”重大項(xiàng)目進(jìn)展工作會(huì)議公布了對(duì)三星堆的新發(fā)現(xiàn).一時(shí)間三星堆火爆出圈，持續(xù)霸屏，社會(huì)各界探索古蜀文明的熱情被點(diǎn)燃.相信大家也有所耳聞，我們看到有絕美的黃金面具、造型獨(dú)特的青銅器（如圖5-1）等等，那我們是如何測(cè)算這些文物的年代的呢？情景與問(wèn)題圖5-1影像三星堆引例2：飛機(jī)安全著陸問(wèn)題（如圖5-2）由于航母上飛機(jī)跑道有限，常常使用減速傘作為飛機(jī)的減速裝置，以實(shí)現(xiàn)艦載機(jī)安全著陸.它的基本原理是，在飛機(jī)接觸跑道開(kāi)始著陸時(shí),由飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘并利用空氣對(duì)傘的阻力減少飛機(jī)的滑跑距離.設(shè)減速傘的阻力與飛機(jī)的速度成正比并忽略飛機(jī)所受的其它阻力.現(xiàn)已知機(jī)場(chǎng)跑道長(zhǎng)1500m,一架重為6.5噸的殲擊機(jī)以每小時(shí)600km的航速開(kāi)始著陸，在減速傘的作用下滑行500m后速度減為每小時(shí)100km，且能安全著陸.如果將同樣的減速傘裝備在9噸重轟炸機(jī)上，且以每小時(shí)700km的航速開(kāi)始著陸，此轟炸機(jī)能否安全著陸？要解決上述情景與問(wèn)題中的問(wèn)題，需建立一類(lèi)特殊方程，在該方程中含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這種類(lèi)型的方程在工程技術(shù)及社會(huì)生活中經(jīng)常會(huì)有所涉及.這類(lèi)問(wèn)題便是本章要討論的微分方程問(wèn)題.情景與問(wèn)題圖5-2航母艦載機(jī)減速傘5.1.1微分方程的基本概念定義5.1含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程叫做微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為偏微分方程.本章只討論常微分方程的一些初步知識(shí)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，后續(xù)內(nèi)容便直接把常微分方程簡(jiǎn)稱(chēng)為微分方程.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階.一般的，階微分方程的形式為

(5.1)其中是必須出現(xiàn)的，而其他變量則可以不出現(xiàn).例如階微分方程中只含而沒(méi)出現(xiàn)其他變量.

定義5.2如果將函數(shù)代入微分方程后使方程成為恒等式，則稱(chēng)為該微分方程的解.求微分方程的解的過(guò)程稱(chēng)為解微分方程.微分方程的解有兩種形式：凡解中含有任意常數(shù)，其個(gè)數(shù)與方程階數(shù)相同，且這些任意常數(shù)相互獨(dú)立，則該解稱(chēng)為微分方程的通解；在通解中，可由特定條件確定任意常數(shù)的取值，這樣得到的不含任意常數(shù)的解稱(chēng)為特解.確定特解的特定條件稱(chēng)為初始條件，求微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解的問(wèn)題叫做初值問(wèn)題.啟迪：在常微分方程課程中，“通解”和“特解”的名詞是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉最早引入的，常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的特征值法，歐拉方程的求解，常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程的逐次降階法都是歐拉的研究成果。歐拉，是一位全才的、多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他的成就遍及力學(xué)、數(shù)論、無(wú)窮級(jí)數(shù)﹑復(fù)變函數(shù)﹑微分方程、變分法、幾何學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。1735年28歲的歐拉右眼失明，1766年歐拉的左眼也因白內(nèi)障失明，在雙目失明后的17年內(nèi)，歐拉憑借超強(qiáng)的記憶力和心算能力，以驚人的毅力完成了多本著作和400余篇論文。歐拉杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，是永遠(yuǎn)值得我們學(xué)習(xí)的。例1驗(yàn)證函數(shù)：為二階微分方程的通解，并求方程滿(mǎn)足初始條件，的特解.解首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),.代入原方程得.所以函數(shù)是微分方程的解.因解中有兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，且其個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，故是微分方程的通解.將，代入與的表達(dá)式中，得，.故所求特解為5.1.2可分離變量的微分方程定義5.3形如(5.2)的方程叫做可分離變量的微分方程.其中,分別是變量的連續(xù)函數(shù)，且.可分離變量微分方程的求解比較簡(jiǎn)單.先把變量置于等式兩邊得再對(duì)上式兩邊積分，得這樣便可得到原方程的通解：我們把這種求解微分方程的方法叫做分離變量法.例2求解初值問(wèn)題

解分離變量，得兩邊積分，得，即再由得.所以初值問(wèn)題的解為例3求解情景與問(wèn)題2.解設(shè)飛機(jī)質(zhì)量為，著陸速度為，滑跑距離為，則，減速傘阻力為，其中為阻力系數(shù)，由牛頓第二定律，可得

即，兩邊積分，代入得

又，則即

兩邊積分，代入得

可知飛機(jī)滑行距離代入殲擊機(jī)相關(guān)數(shù)據(jù)得阻力系數(shù)；現(xiàn)將同樣的減速傘裝備在9噸重轟炸機(jī)上，且以每小時(shí)700km的航速開(kāi)始著陸，機(jī)場(chǎng)跑道為1500m，代入求得

，即轟炸機(jī)的安全著陸距離為1400m.故其能夠安全著陸.例4（傷口愈合問(wèn)題）醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，刀割傷口表面恢復(fù)的速度（單位：，其中表示傷口的面積，假設(shè)問(wèn)受傷5天后該病人的傷口表面積為多少？解由

分離變量，得

兩邊積分，得（C為常數(shù)）將代入上式得故5天后病人的傷口表面積.5.1.3一階線(xiàn)性微分方程方程(5.3)叫做一階線(xiàn)性微分方程，其中，為已知函數(shù)

稱(chēng)為自由項(xiàng).如果則方程(5.3)稱(chēng)為齊次的；反之，方程(5.3)則稱(chēng)為非齊次的.1.一階齊次線(xiàn)性方程的求解一階齊次線(xiàn)性方程其實(shí)就是可分離變量微分方程.先分離變量得

兩端積分，得

(5.4)這就是一階齊次線(xiàn)性方程的通解.例5求解滿(mǎn)足初值條件的特解.解直接由公式得通解：再由初始條件得所以原方程特解為：2.一階非齊次線(xiàn)性方程的求解現(xiàn)在我們使用所謂常數(shù)變易法來(lái)求解非齊次線(xiàn)性方程.該方法是把對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程通解(5.4)中的常數(shù)換成待定函數(shù)，即作變換此時(shí)，將及代入方程(5.3)，得兩端積分，得將此結(jié)果代入，便得非齊次線(xiàn)性方程(5.3)的通解公式：(5.5)

啟迪：公示(5.5)是法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉格朗日花了11年時(shí)間才研究出來(lái)的常數(shù)變易法，即將對(duì)應(yīng)一階齊次線(xiàn)性方程中的常數(shù)變換成待定函數(shù).這充分體現(xiàn)了科學(xué)家們?cè)谧非笳胬?、探求知識(shí)過(guò)程中的寶貴工匠精神：堅(jiān)持思考，不畏艱難，追求真理.例6求微分方程的通解.解所給方程即一階非齊次線(xiàn)性方程，其中由公式(5.5)得

即原方程通解為:例7求微分方程的通解.解如果將看作未知函數(shù)，則該方程不是一階線(xiàn)性方程.但如果將看作未知函數(shù)，則原方程便成為典型的一階非齊次線(xiàn)性方程，即此時(shí)，由公式(5.5)得原方程通解

該例說(shuō)明在微分方程求解中，“自變量”與“因變量（未知函數(shù)）”的稱(chēng)謂是相對(duì)的，在求解中應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，力求方法靈活.想一想：通過(guò)展開(kāi)公式（5.5）可以得到

(5.6)我們發(fā)現(xiàn)，一階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解可看作兩部分的和：一部分是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；另一部分是非齊次方程本身的一個(gè)特解.那么，二階及以上階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解是否也具有這樣的特征？案例1已知某放射性材料在任何時(shí)刻的衰變速度與該時(shí)刻的質(zhì)量成正比，若最初有50克的材料，2小時(shí)后減少了10%，求在任何時(shí)刻，該放射性材料質(zhì)量的表達(dá)式.分析設(shè)時(shí)刻材料的質(zhì)量為，由于材料的衰變速度就是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，由題意得：，（其中是比例系數(shù)）.這是一個(gè)可分離變量的微分方程.分離變量后積分，得：.當(dāng)時(shí)，，代入上式得，因此，.由題意知當(dāng),,把它們代入上式得，即所以,該放射性材料在任何時(shí)刻的質(zhì)量為：.案例2

設(shè)某廠(chǎng)生產(chǎn)某種商品的邊際收入函數(shù)為，其中為該種產(chǎn)品的產(chǎn)出量．如果該產(chǎn)品可在市場(chǎng)上全部售出,求總收入函數(shù)．解是變量已分離的微分方程．兩邊積分得當(dāng)，即產(chǎn)出量為零時(shí)，應(yīng)有，由此初始條件可得．所以，總收入函數(shù)為.案例3在一個(gè)含有電阻（單位：），電感

（單位：

）和電源

（單位：

）的RL串聯(lián)回路中，由回路電流定律，知電流（單位：

）滿(mǎn)足微分方程

若電路中有電源

，電阻10，電感和初始電流，求電路中任意時(shí)刻的電流．解將，，代入RL電路中電流應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程，得

初始條件為.此方程是一階非齊次線(xiàn)性微分方程，將，代入公式(5.5)，得通解

將時(shí),代入通解，得

解得：.所以在任何時(shí)刻的電流為

注:中的稱(chēng)為瞬時(shí)電流，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，它變?yōu)榱悖ā跋А保?；稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)電流，當(dāng)時(shí)電流趨于穩(wěn)態(tài)電流的值.第五章微分方程第二節(jié)二階線(xiàn)性微分方程引例1在航空航天領(lǐng)域，當(dāng)向太空發(fā)射衛(wèi)星時(shí)，為了擺脫地球的引力，必須保證初始速度不小于第二宇宙速度，那么應(yīng)如何確定該初始速度呢？分析設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為，地球質(zhì)量為,衛(wèi)星質(zhì)心到地心的距離為，則由牛頓第二定律得（

為引力系數(shù)）.又設(shè)衛(wèi)星的初速度為，已知地球半徑.則有初值問(wèn)題

設(shè)，則，代入上述方程可得一階微分方程：

.其解為：.顯然，則應(yīng)滿(mǎn)足：.因?yàn)楫?dāng)(在地面上)時(shí)，重力=引力，即.于是，，代入上式可得.這樣就得到了第二宇宙速度：.情景與問(wèn)題引例2某型大炮發(fā)射炮彈時(shí)的仰角為,初速度為.如果不考慮空氣阻力，試討論炮彈發(fā)射后的運(yùn)行曲線(xiàn)（即彈道曲線(xiàn)）.分析不妨取炮口為坐標(biāo)原點(diǎn)，炮彈前進(jìn)的水平方向?yàn)檩S，鉛直向上方向?yàn)檩S,并設(shè)炮彈水平位移為，鉛直位移為.于是，由已知條件可得如下兩個(gè)初值問(wèn)題：及.上述情景與問(wèn)題中的方程屬于二階線(xiàn)性微分方程.接下來(lái)我們便較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)二階線(xiàn)性方程相關(guān)知識(shí).5.2.1二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)定義5.4

方程.(5.7)稱(chēng)為階線(xiàn)性微分方程.特別地，當(dāng)右側(cè)自由項(xiàng)時(shí)，二階線(xiàn)性方程

.(5.8)稱(chēng)為齊次的；當(dāng)時(shí)，方程稱(chēng)為非齊次的.本節(jié)只討論的情形，即二階線(xiàn)性微分方程.1.二階齊次線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)先引入一個(gè)定義.定義5.5

設(shè)是定義在區(qū)間上的個(gè)函數(shù)，如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)恒有

則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上線(xiàn)性相關(guān)；否則稱(chēng)線(xiàn)性無(wú)關(guān).例如，在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)是線(xiàn)性相關(guān)的，而函數(shù)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.根據(jù)上述定義可知，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)性的判定，可采取簡(jiǎn)單易行辦法，即只需看它們的比是否為常數(shù)：如果比為常數(shù)，則它們就線(xiàn)性相關(guān)；否則就線(xiàn)性無(wú)關(guān).比如，函數(shù)與是線(xiàn)性相關(guān)的，而函數(shù)與是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.在線(xiàn)性相關(guān)性定義基礎(chǔ)上，便可引入關(guān)于二階齊次線(xiàn)性微分方程通解結(jié)構(gòu)的定理.定理5.1設(shè)與是方程(5.8)的兩個(gè)解，則對(duì)任意常數(shù)與,

也是(5.8)的解.進(jìn)一步，若與線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則是微分方程(5.8)的通解.證明從略.2.二階非齊次線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)在上節(jié)“想一想”中我們已看到，一階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解可看作兩部分的和：一部分是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；另一部分是非齊次微分方程本身的一個(gè)特解.實(shí)際上，不僅一階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解具有這樣的結(jié)構(gòu)，二階及以上階非齊次線(xiàn)性微分方程的通解也具有這樣的結(jié)構(gòu).定理5.2設(shè)是二階非齊次線(xiàn)性微分方程

(5.9)的一個(gè)特解.是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則

是二階非齊次線(xiàn)性方程(5.9)的通解.證只需證是方程（5.9）的解即可.將代入方程（5.9）的左端，得

.由于是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，是非齊次的解，則上式右側(cè)第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式結(jié)果為零，第二個(gè)結(jié)果為.于是，滿(mǎn)足(5.9)式，即是(5.9)的解,定理得證.5.2.2二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程定義5.6對(duì)于方程

當(dāng)系數(shù)函數(shù)均為常數(shù)時(shí)，稱(chēng)為二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)為二階常系數(shù)線(xiàn)性方程.當(dāng)時(shí)，方程

(5.10)稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程.當(dāng)時(shí)，方程

(5.11)稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程.1.二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程由定理5.1可知，要找微分方程(5.10)的通解，只需找出兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解即可.為此，我們先分析方程(5.10)解的特點(diǎn).從方程(5.10)的形式可看出，未知函數(shù)同其一、二階導(dǎo)數(shù)經(jīng)常數(shù)倍因子相加為零.這種情況有可能是由于未知函數(shù)同其一、二階導(dǎo)數(shù)相差常數(shù)因子而導(dǎo)致的.那么，什么樣的函數(shù)具有這樣的特性呢？恰好以為底的指數(shù)函數(shù)便具有如此性質(zhì).因此，我們不妨用來(lái)嘗試，如果能找到適當(dāng)?shù)某?shù)，便得到了方程(5.10)的解.將代入方程(5.11)，得.由于,所以有.（5.12）由此可見(jiàn)，只要滿(mǎn)足代數(shù)方程（5.12），函數(shù)便是微分方程（5.10）的解，這樣便將解微分方程轉(zhuǎn)化為解代數(shù)方程.我們把方程（5.12）稱(chēng)為微分方程（5.10）的特征方程，其根為特征根.下面就特征根的三種情況分別加以討論:(1)特征方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，這時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)解為，由不是常數(shù)知與是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.于是方程（5.10）的通解為：

.(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根.此時(shí)，我們只能得到方程（5.10）的一個(gè)解，還需。找出另一個(gè)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.不妨設(shè)，即，如果找得到適當(dāng)?shù)?，那么也就找到?將代入方程（5.10）并整理得

.由于是特征方程（5.12）的二重根.因此，，且，于是有.因?yàn)檫@里只需要得到一個(gè)不為零的解，所以不妨選取，由此便得到了方程（5.10）的另一個(gè)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解:.這樣便得到了方程（5.10）的通解：

.(為任意常量).特征方程

的根微分方程

的通解

兩個(gè)不等的實(shí)根

兩個(gè)相等的實(shí)根

一對(duì)共軛復(fù)根

(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根.此時(shí)方程（5.10）通解為

,此處是任意常量.利用歐拉公式，便可得到方程（5.10）另一種形式的通解:.其中，.綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程（5.10）的通解的一般步驟如下：第一步寫(xiě)出方程（5.10）對(duì)應(yīng)的特征方程；第二步求出特征根；第三步根據(jù)特征根的三種不同情形，按照下列表格寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的通解：表5-1例1求微分方程的通解.解特征方程為，特征根為，因此所求方程的通解為例2求微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解.解特征方程為，特征根為，因此所求方程的通解為由初始條件得，故所求方程的特解為2.二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程根據(jù)定理5.2，求二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程(5.13)的通解，可由對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程的通解與其非齊次方程一特解之和而得，即，其中是齊次方程通解，是非齊次方程的特解.關(guān)于的計(jì)算已解決了，在此只需討論特解的求解.這里僅就自由項(xiàng)為工程中兩種常見(jiàn)的情形加以討論，即，或，其中為次多項(xiàng)式，、常數(shù).下面對(duì)這兩種情形分別加以討論.（1）因?yàn)橛覀?cè)自由項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，而多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積，那么可以猜測(cè)其特解形式也為一個(gè)多項(xiàng)式乘指數(shù)式.為此，我們?cè)O(shè),只要找到適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式便可得方程的特解.將所設(shè)代入方程，得等式

(5.14)①

如果不是特征方程的根，則.要使（5.14）成立，可令為另一次多項(xiàng)式:，然后比較（5.14）式兩端同次冪的系數(shù)，便可確定，并得到所求特解.②

如果是特征方程的單根，則且.要使（5.14）成立，必須是次多項(xiàng)式，于是可令為一次多項(xiàng)式:，然后代入方程確定的系數(shù)，進(jìn)而得到所求特解：.③

如果是特征方程的二重根，則且.要使（5.14）成立，

必須是次多項(xiàng)式，于是可令為一次多項(xiàng)式:，然后代入方程確定的系數(shù)，進(jìn)而得到所求特解：.

例3求方程的一個(gè)特解.解方程自由項(xiàng)，不是特征方程的特征根，故可令特解為.代入原方程得：.比較等式兩端系數(shù)有：

解得，故所求特解為.綜上所述，我們有如下結(jié)論：當(dāng)自由項(xiàng)為時(shí)，則二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程有形如的特解，其中是與同次的多項(xiàng)式，而按不是特征根、是特征單根或是特征重根依次取為0、1或2.例4求方程的通解.解特征方程有兩個(gè)特征實(shí)根.對(duì)應(yīng)齊次方程通解為.自由項(xiàng),是特征單根，故可令特解為.代入原方程得比較等式兩端系數(shù)有

解得，故所求特解為.從而所求的通解為：.（2）或類(lèi)似于前述討論有：當(dāng)不是特征根時(shí)，可設(shè)其特解為

.當(dāng)是特征根時(shí)，可設(shè)其特解為

.其中與是次待定多項(xiàng)式.例5求方程的通解.解特征方程，有兩個(gè)特征根.由于不是特征根，所以應(yīng)設(shè)特解為

.代入原方程得：.比較兩端同類(lèi)型的系數(shù)可得解得.因此,所給方程的一個(gè)特解為：.案例1一個(gè)RLC串聯(lián)回路(如圖5-3)由電阻，電容F，電感H和電源V構(gòu)成．假設(shè)在初始時(shí)刻，電容上沒(méi)有電量，電流是1A，求任意時(shí)刻電容上的電量所滿(mǎn)足的微分方程．解將,代入回路電流定律所確定電流方程得將已知條件，F(xiàn)，H和V代入上式，得初始條件為．

圖5-3案例2一質(zhì)量為的物體在某沖擊力作用下以的初速度在水面上滑動(dòng)，已知作用于該物體的摩擦力為（為常數(shù)），求該物體的運(yùn)動(dòng)方程，并求物體滑行的距離.分析設(shè)物體運(yùn)動(dòng)方程為，則物體運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)為，加速度函數(shù)為，由牛頓第二定律得運(yùn)動(dòng)方程：.即.通過(guò)兩次積分，得通解：

又由題意得初始條件，將其代入通解求得.所以,所求運(yùn)動(dòng)方程為：.令，得，即經(jīng)過(guò)時(shí)間后物體停止運(yùn)動(dòng)，總的滑行距離為

第五章微分方程第三節(jié)微分方程建模示例5.3.1人口模型1.馬爾薩斯（Malthus）模型英國(guó)神父Malthus（1766-1834）擔(dān)任牧師期間，研究了所在教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料后認(rèn)為，在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中，人口出生率是一個(gè)常數(shù).1789年他在《人口原理》一書(shū)中提出了著名的馬爾薩斯人口模型.模型基本假設(shè)：①在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率（出生率與死亡率之差）是常數(shù)，記為;②時(shí)刻人口數(shù)記為.由于人口總數(shù)很大，可將作連續(xù)可微處理（即離散變量連續(xù)化處理）；③人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加和減少只取決于人口中個(gè)體的生育和死亡，且每一個(gè)體都具有同樣的生育能力和死亡率.微分方程已被廣泛地應(yīng)用到科學(xué)、技術(shù)、工程、社會(huì)及經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，并已有若干經(jīng)典案例.譬如，1846年9月23日，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家合作，利用微分方程知識(shí)，發(fā)現(xiàn)了一顆有名的新星——海王星，這一發(fā)現(xiàn)一直在科學(xué)界被傳為佳話(huà).本節(jié)主要討論微分方程在實(shí)際應(yīng)用中的幾個(gè)案例，讀者可從問(wèn)題的求解中，了解微分建模的基本步驟，熟悉微分建模的主體工作，并深刻領(lǐng)會(huì)微分建模的魅力.建模與求解：在到時(shí)間段內(nèi)，人口增長(zhǎng)量為

于是可得馬爾薩斯人口模型:

用分離變量法易求出其解為：.模型評(píng)價(jià)與檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)，1961年全球人口總數(shù)為，而且在隨后7年內(nèi)，人口總數(shù)年平均自然增長(zhǎng)率為2%，這樣，，，于是

(5.15)結(jié)合1700—1961年間世界人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)與上式計(jì)算結(jié)果相當(dāng)吻合.特別地，在此期間全球人口大約每35年翻一番，而上式算出每36.6年增加1倍，模型檢驗(yàn)效果相當(dāng)理想.但是，利用式(5.15)對(duì)世界人口進(jìn)行預(yù)測(cè)也會(huì)出現(xiàn)較大差異.比如，有科學(xué)家以美國(guó)人口為例，用馬爾薩斯指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1810-1920的人口數(shù)，見(jiàn)表5.2.

年實(shí)際人口（百萬(wàn)）指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)人口（百萬(wàn)）誤差（%）17903.9

18005.3

18107.27.31.418209.610.06.2183012.913.76.2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.823.8188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3表5.2美國(guó)實(shí)際人口與按指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較從表5.2可看出，1810-1870間的預(yù)測(cè)人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)吻合較好，但1880年以后的誤差越來(lái)越大.更離譜的是，人們?cè)诖嘶A(chǔ)上，預(yù)測(cè)到2670年，地球上將有36000億人口，這是個(gè)什么概念呢？假設(shè)地球表面全是可供人站立的陸地（事實(shí)上，地球表面多達(dá)80%被水覆蓋），每平米至少要容納16人，只有人重人站幾層了.顯然，這一預(yù)測(cè)結(jié)果非?；闹?，其原因是對(duì)人口增長(zhǎng)率估計(jì)過(guò)高，因此應(yīng)該對(duì)是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.2.阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）如何對(duì)人口增長(zhǎng)率進(jìn)行修正，進(jìn)而利用修正的人口模型進(jìn)行正確的人口預(yù)測(cè)呢？事實(shí)上，隨著人口的增加，相關(guān)自然資源、所處環(huán)境條件等因素對(duì)人口再增長(zhǎng)的限制作用將越來(lái)越顯著.如果當(dāng)人口較少時(shí)，將人口的自然增長(zhǎng)率

看作常數(shù)有其合理性，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，該增長(zhǎng)率再看作同前面一樣的常數(shù)便不科學(xué)，而應(yīng)當(dāng)將其視作隨人口的增加而減少的變量，即將增長(zhǎng)率表示為人口的關(guān)于的減函數(shù).于是應(yīng)該對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口凈增長(zhǎng)率是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.下面的模型是在所作修改的模型中最著名的一個(gè).1838年，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst引入常數(shù)表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)，并將凈增長(zhǎng)率假設(shè)為顯然當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)率.由此建立阻滯增長(zhǎng)人口模型：

(5.16)經(jīng)變量分離解得

(5.17)根據(jù)方程（5.16）作出曲線(xiàn)圖，見(jiàn)圖5-4.由該圖可看出人口增長(zhǎng)率隨人口數(shù)的變化規(guī)律，即人口增長(zhǎng)率由增到減，并在處最大，也即是說(shuō)在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長(zhǎng)期，經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)后進(jìn)入減速生長(zhǎng)期，人口增長(zhǎng)速率逐漸變小，最終達(dá)到0.根據(jù)結(jié)果（5.17）作出曲線(xiàn)，見(jiàn)圖5-5.由該圖可看出人口數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律.

圖5-4圖5-5后來(lái)，人們用該模型檢驗(yàn)美國(guó)人口的變化趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)從1790年——1930年，模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際人口都非常吻合，不過(guò)1930年后誤差愈來(lái)愈大，一個(gè)明顯的原因是在20世紀(jì)60年代美國(guó)的實(shí)際人口已突破了20世紀(jì)初所設(shè)立的極限人口.由此可見(jiàn)，該模型所設(shè)定常值仍有待研究.譬如，隨著一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，它所能提供的物質(zhì)財(cái)富就越豐富，相應(yīng)地的值也就越大.需要指出的是，人口的預(yù)測(cè)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，影響人口增長(zhǎng)的因素除了人口基數(shù)與可利用資源量之外，還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善、人們生育觀(guān)念的變化等因素有關(guān)，特別在做中短期預(yù)測(cè)時(shí)，我們希望得到滿(mǎn)足一定預(yù)測(cè)精度的結(jié)果，比如在剛剛經(jīng)歷過(guò)戰(zhàn)爭(zhēng)或是由于在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等，這些因素本身以及由此而引起的人口年齡結(jié)構(gòu)的變動(dòng)就會(huì)變的相當(dāng)重要，進(jìn)而需要予以考慮.但另一方面，我們針對(duì)人口數(shù)量變化所建立的阻滯增長(zhǎng)模型，可推展到在自然環(huán)境下生存的其他生物，如森林中的樹(shù)木，草原中的象群，池塘中的魚(yú)類(lèi)等.有興趣的讀者可參閱其他書(shū)籍或資料，以進(jìn)行更深入的研究.通過(guò)人口模型的學(xué)習(xí)，我們已基本對(duì)微分建模有了初步認(rèn)識(shí)，對(duì)相關(guān)建模步驟也有了一定了解.其實(shí)，一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)用微分方程建模解決實(shí)際問(wèn)題的步驟可概括為以下幾步：①分析問(wèn)題，簡(jiǎn)化假設(shè)，提煉出關(guān)鍵因素；②根據(jù)實(shí)際問(wèn)題并結(jié)合相關(guān)學(xué)科知識(shí)建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程(組)；③求解并研究該微分方程(組)，包括分析解的若干特征；④對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，必要時(shí)修改模型并對(duì)問(wèn)題作進(jìn)一步探討.5.3.2衰變問(wèn)題放射性物質(zhì)因不斷放射出各種射線(xiàn)而逐漸減少其質(zhì)量的現(xiàn)象稱(chēng)為衰變.在本章第一節(jié)，我們借用微分方程對(duì)放射性元素的衰變已進(jìn)行了初步研究.其實(shí)微分方程在該領(lǐng)域的使用非常廣泛，比如考古發(fā)掘物年齡的確定、藝術(shù)品真?zhèn)蔚蔫b定.1991年，科學(xué)家在阿爾卑斯山發(fā)現(xiàn)一個(gè)肌肉豐滿(mǎn)的冰人后，根據(jù)軀體所含碳原子消失的程度，通過(guò)微分方程求解，推斷出這個(gè)冰人大約在5000年前遇難.那么該項(xiàng)研究中的碳原子分析是如何進(jìn)行的呢?1949年美國(guó)芝加哥大學(xué)教授威拉得·利比(WillardLibby)首先提出了用測(cè)定古代遺址年齡的方法，并因創(chuàng)立了的年代測(cè)定技術(shù)而獲得1960年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng).目前，年齡測(cè)定法已成為測(cè)定考古挖掘物年代的最精確方法之一.地球周?chē)拇髿獠粩嗍艿接钪嫔渚€(xiàn)的沖擊而產(chǎn)生大量中子，這些中子轟擊占空氣80%的氮原子核后，產(chǎn)生放射性.而與氧結(jié)合生成，在大氣中運(yùn)動(dòng)被植物吸收，動(dòng)物又通過(guò)進(jìn)食植物把放射性碳代入到它們的組織中，這樣就形成了自然界碳的交換循環(huán)運(yùn)動(dòng).在活性組織中，提取的速率正好與的衰變速率相平衡，而當(dāng)組織死亡以后，它就停止提取，此后組織內(nèi)的濃度按照的衰變速率減少.由于碳在自然界的交換循環(huán)很快，因此處于與大氣相互交換的各種物質(zhì)在各地的水平基本是一致的.眾所周知放射性物質(zhì)的衰減速度與該物質(zhì)的含量成比例，并符合指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律.下面從某發(fā)掘出的考古文物的年代（如古墓遺體死亡時(shí)間）入手，分析的衰變過(guò)程，并建立相應(yīng)微分方程模型.模型建立與求解：設(shè)樣本形成時(shí)的含量為，時(shí)刻的含量為，為的衰變常數(shù)，由此建立微分模型：

解得由化學(xué)知識(shí)可知的半衰期為5730，即易得于是，的函數(shù)模型為：設(shè)挖掘出考古樣本含量為原含量的百分比為，即由上式易解出考古樣本形成時(shí)間計(jì)算式：另外，也可通過(guò)衰變速率得到考古樣本形成的時(shí)間.具體來(lái)說(shuō)，由及有（5.18）進(jìn)而可得（5.19）模型假設(shè)：假設(shè)地球大氣層中放射性碳的含量在文物形成到發(fā)掘測(cè)量之前是