第11講 圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（3類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙卷（文科），第12題,5分由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率已知方程求雙曲線的漸近線討論雙曲線與直線的位置關(guān)系2022年新Ⅱ卷，第16題,5分由中點(diǎn)弦求弦方程根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)2022年新Ⅱ卷，第21題,12分求雙曲線中的弦長(zhǎng)由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的中點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算2.會(huì)用點(diǎn)差法求解相關(guān)問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解橢圓中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓xkAB.kOM=?b2a2=e2kAB.雙曲線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則

k3.拋物線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則kAB=py04.中點(diǎn)弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于短軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有點(diǎn)差法妙解中點(diǎn)弦問(wèn)題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為Ax將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。

（1）設(shè)點(diǎn):若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=1a>b化簡(jiǎn)可得y1+考點(diǎn)一、橢圓中的中點(diǎn)弦問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點(diǎn)問(wèn)題：點(diǎn)差法令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因?yàn)?，所以?lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即2．（重慶·高考真題）直線與圓相交于兩點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為．【答案】.【詳解】設(shè)圓心，直線的斜率為，弦AB的中點(diǎn)為，的斜率為，則，所以由點(diǎn)斜式得．3．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【詳解】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)?，解?【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）橢圓上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，的中點(diǎn)為，可得，運(yùn)用“點(diǎn)差法”求解可得，代入求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，由點(diǎn)在橢圓上得，兩式相減得，整理得，由，，即，將代入，解得，，所以.故選：D．2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓＋＝1內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3)，過(guò)點(diǎn)P的一條弦恰好以P為中點(diǎn)，則這條弦所在的直線方程為．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求出弦所在直線的斜率得解.【詳解】設(shè)弦為，Ax1,y則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，則，所以弦所在直線的方程為，即.故答案為：.3．（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出的關(guān)系式，把，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】設(shè)，，，則，，，所以，所以，將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得：，兩式作差可得：，所以，則，故選：D4．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，由點(diǎn)差法求解離心率即可.【詳解】設(shè)，則，則，兩式相減可得，，即，即，，故.故選：B5．（23-24高三下·安徽六安·階段練習(xí)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)以及的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可得，可求出橢圓的方程.【詳解】不妨設(shè)Ax1,兩式相減可得，整理可得，根據(jù)題意可知直線的斜率為，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為可得；因此，可得，又焦點(diǎn)為可得，解得；所以橢圓的方程為.故選：A考點(diǎn)二、雙曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.2．（全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵kAB==1,∴直線AB的方程為y=x-3.由于雙曲線的焦點(diǎn)為F(3,0),∴c=3,c2=9.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),則-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴雙曲線E的方程為-=1.故選B.3．（全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)差法得，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點(diǎn)為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段的中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法結(jié)合選項(xiàng)得出方程，再與雙曲線方程聯(lián)立一一驗(yàn)證是否有兩個(gè)不同交點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)，所以，易知，由點(diǎn)差法可得，若，此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故B正確；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，顯然無(wú)解，即與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：B2．（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)Ax1,y1【詳解】設(shè)Ax1,y1，代入，得，兩式相減得：.又線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)，則.則.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選：D3．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，則，且，所以，整理得到：，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以，所以即所以，故選：A.4．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為．【答案】【分析】設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后利用點(diǎn)差法得到直線l的斜率即可求解直線方程．【詳解】設(shè)Ax1,則，，又，，兩式相減，得，即，整理得，直線l的斜率為，直線l的方程為，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故答案為：.5．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得，即，化簡(jiǎn)得，又，解得，所以雙曲線的方程為：.故選：D.6．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為、．(1)求以、為焦點(diǎn)，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，求出直線的方程；【答案】(1).(2).【分析】（1）根據(jù)題意可求得橢圓焦點(diǎn)，，再結(jié)合離心率為，求出得解；（2）利用點(diǎn)差法求出直線的斜率進(jìn)而求出直線方程；【詳解】（1）由題意可得，，，則，又，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，可得，兩式相減得，化簡(jiǎn)整理得，即，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.7．（22-23高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖1、2，已知圓方程為，點(diǎn)．M是圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點(diǎn)，且是線段中點(diǎn)．【答案】(1)(2)不存在這樣的直線【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得點(diǎn)的軌跡方程.（2）利用點(diǎn)差法求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，根據(jù)方程組無(wú)解求得正確答案.【詳解】（1）由中垂線性質(zhì)知，所以所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線設(shè)此雙曲線方程為，則所以點(diǎn)的軌跡方程為．（2）設(shè)可得兩式相減得由題意，所以直線方程為，由，得∵．∴不存在這樣的直線．考點(diǎn)三、拋物線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題1．（四川·高考真題）已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)、，則等于（）A．3 B．4 C． D．【答案】C【詳解】設(shè)直線的方程為，由，進(jìn)而可求出的中點(diǎn)，又由在直線上可求出，∴，由弦長(zhǎng)公式可求出．本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．自本題起運(yùn)算量增大．2．（山東·高考真題）已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.3．（北京·高考真題）已知點(diǎn)在拋物線上，ΔABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)重合(如圖).（1）寫(xiě)出該拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求所在直線的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得，進(jìn)而求得拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）根據(jù)重心坐標(biāo)公式列方程，求得，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)（3）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】（1）將代入拋物線方程得，所以拋物線方程為；（2）設(shè)，由于，由重心坐標(biāo)公式得，化簡(jiǎn)得，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）設(shè)所在直線斜率為，將代入拋物線方程得，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，解得，所以直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查拋物線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.1．（2024·山西臨汾·二模）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．?2【答案】D【分析】直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)為弦AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)橹本€與相交于A，B兩點(diǎn)，所以，由題意得，故選：D2．（2024·甘肅蘭州·三模）過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法求弦長(zhǎng)AB的表達(dá)式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知：直線的斜率不為，但可以不存在，且直線與拋物線必相交，可設(shè)直線的方程為，Ax1,聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，即，設(shè)的中點(diǎn)為Px0,y0，則可知線段的垂直平分線方程為，因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，則，可得，聯(lián)立方程，解得，故選：B.3．（23-24高二上·湖北·期中）若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故和直線垂直，所以，故，又，所以，故中點(diǎn)坐標(biāo)是，即故選：B4．（23-24高三下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，且線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，求得拋物線的方程為，再利用點(diǎn)差法，即可求解.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，可得，可得，所以，設(shè)，可得，且，兩式相減，可得，可得，所以直線的方程為，即.故選：A．5．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線，過(guò)C的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為W，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)，代入拋物線方程兩式相減可得，進(jìn)而求得，由求得值.【詳解】設(shè)，則兩式相減，可得，所以，即，所以，所以，代入直線，得，所以，所以，解得.故選：B6．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為.過(guò)拋物線C頂點(diǎn)的直線l與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，與拋物線C交于另一點(diǎn)N.若MF=NF，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，表示出，再由，可得列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，由題意，得，準(zhǔn)線：.設(shè)直線l的方程為（由題意，知k存在且），則點(diǎn)，.設(shè)線段MN的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)，所以直線EF的斜率.由，得，所以，所以，整理得，解得，所以，所以點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為.故選：C.一、單選題1．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)交點(diǎn)為Ax1【詳解】因?yàn)椋庶c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)的直線恒與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為Ax1,y1,B又，兩式相減得，整理得，所以以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，即.故選：C.2．（21-22高三上·貴州·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：C3．（21-22高二下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)差法和兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.4．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開(kāi)學(xué)考試）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合“點(diǎn)差法”，即可直線的斜率，得到答案.【詳解】設(shè)，代入拋物線，可得，兩式相減得，所以直線的斜率為，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，可得，所以，即直線的斜率為.故選：C.5．（24-25高三上·貴州·開(kāi)學(xué)考試）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，線段的中點(diǎn)為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法求得，再利用三角形面積公式求解．【詳解】設(shè)Ax1,y1則，所以，即，解得，所以，則，所以，故選：B．二、填空題6．（23-24高二上·寧夏·期中）已知為拋物線上的兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為.【答案】/0.5【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)并代入拋物線的方程，即可求出直線AB的斜率.【詳解】由題意，為拋物線上的兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，

設(shè)，線段AB中點(diǎn)為，∴，，∴即∴直線AB的斜率為：故答案為：7．（2022高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的中心為，為左焦點(diǎn)，為橢圓上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的離心率為【答案】/【分析】設(shè)，，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到直線斜率為，再利用得到即可求解.【詳解】由題意設(shè)，，，則，兩式相減可得：，因?yàn)椋?，，所以即直線斜率為，又直線斜率為，所以，即，由，得，即，得，得.故答案為：三、解答題8．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)．求：(1)線段AB的長(zhǎng)；(2)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)8(2)（3，2）.【詳解】解：（1）（解法1：求交點(diǎn)）由解得或所以AB＝＝8.（解法2：設(shè)而不求——弦長(zhǎng)公式）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.由消去x并整理，得y2－4y－4＝0，所以Δ＝16＋16＝32>0，y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝6，所以AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）.由求根公式得|y1－y2|＝＝4，所以AB＝＝|y1－y2|＝8.（解法3）（設(shè)而不求——焦半徑公式）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.由消去x并整理，得y2－4y－4＝0.Δ＝32＞0，y1＋y2＝4.因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)拋物線的交點(diǎn)F（1，0），所以AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋p＝y(tǒng)1＋y2＋2＋2＝8.（2）由解法1知AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）.【考查意圖】直線被圓錐曲線截得弦長(zhǎng)和弦中點(diǎn)問(wèn)題的處理方法．9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出的值，然后由橢圓的離心率計(jì)算，再由平方關(guān)系得到，可寫(xiě)出橢圓的方程；（2）設(shè)的坐標(biāo)，點(diǎn)差法計(jì)算出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)所在直線可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）依題意得：，即，解得，解得橢圓的方程為（2）如圖所示：

設(shè)，中點(diǎn)為，所以則又兩點(diǎn)在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理得，①.過(guò)點(diǎn)斜率為的直線為.因?yàn)樵谥本€上，故，②聯(lián)立①②，解得所以中點(diǎn)坐標(biāo)為.10．（2021·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意，聯(lián)立方程求出，即可得到雙曲線方程；（2）利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)斜式求出直線方程即可.【詳解】（1）由焦點(diǎn)可知，又一條漸近線方程為所以，由可得,解得，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為則①，②，②①得：，即，又，所以，所以直線的方程為，即一、單選題1．（2024·吉林白山·一模）不與坐標(biāo)軸垂直的直線過(guò)點(diǎn)，，橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求出，再結(jié)合進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓中，設(shè)，則，所以，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，所以，由線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,y1，得出所以，又，∴，即，又，∴，所以所求離心率為.故選：C．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)恰好在上．若線段的中點(diǎn)在直線上，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，利用點(diǎn)差法得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及點(diǎn)在橢圓上得到，求出k和點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】設(shè)Ax1,y1則，兩式相減，得，故，即①．又四邊形為平行四邊形，為線段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，所以，又P在橢圓上，所以，即②．由①②，得，故直線的方程為，即．故選：B．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)差法可得，由，，可得，可求橢圓的離心率.【詳解】設(shè)Ax1,兩式相減得，即，又，所以，整理得，又，，所以，所以，所以橢圓的離心率.故選：D.二、多選題4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線l上，且直線OP把分成面積相等的兩部分，則下列能作為點(diǎn)P的坐標(biāo)的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用直線與雙曲線的位置關(guān)系逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】由A，B，P三點(diǎn)共線且直線OP把分成面積相等的兩部分可得點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，選項(xiàng)A：數(shù)形結(jié)合可知，直線l的方程為時(shí)，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，故可以作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，A正確．已知雙曲線()直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，兩式相減可得，，得選項(xiàng)B：由二級(jí)結(jié)論可得直線l的斜率，故直線l的方程為，聯(lián)立得得，，不能作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C：可得直線l的斜率，故直線l的方程為，聯(lián)立得，得，，可以作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，C正確．選項(xiàng)D：可得直線l的斜率，故直線l的方程為，聯(lián)立得得，，可以作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】本題將中點(diǎn)弦問(wèn)題和直線與雙曲線的位置關(guān)系有機(jī)整合，設(shè)問(wèn)角度新穎，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力，需要考生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷直線與雙曲線是否有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)是否正確，考查考生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力，在注重考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，對(duì)考生的思維能力要求較高，有較好的選拔功能．三、填空題5．（23-24高三上·山東德州·期末）若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，的中垂線交軸于點(diǎn)，則．【答案】【分析】設(shè)，其中點(diǎn)為C，將A，B兩點(diǎn)代入拋物線方程，結(jié)合斜率公式與，可得，即可得，后由拋物線定義可得AB，即可得答案.【詳解】設(shè)，其中點(diǎn)為C，坐標(biāo)為.將A，B兩點(diǎn)代入拋物線方程，有，兩式相減可得：，設(shè)，則，因，則.又F1,0，則.又準(zhǔn)線方程為，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別做準(zhǔn)線垂線，垂足為，則由拋物線定義，可得.故.故答案為：.6．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】利用點(diǎn)差法即可得到，最后利用離心率公式即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，把，的坐標(biāo)代入橢圓方程可得:，兩式作差可得：，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，故答案為：.四、解答題7．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為1.(1)拋物線的方程；(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，結(jié)合拋物線的定義分析可知，即可得方程；（2）由題意可得直線過(guò)點(diǎn)和F1,0，求直線的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由題意可知：直線與拋物線必相交（斜率不為0），設(shè)Ax1,y1且直線過(guò)點(diǎn)和F1,0，則直線的方程，即，聯(lián)立方程，消去x得，則，可知，將yM=2代入可得，所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.8．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線()經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)不能，證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由漸近線方程求得一個(gè)關(guān)系，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，若是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出直線l方程，再聯(lián)直線與雙曲線查看是否有解，即可判斷.【詳解】（1）由題雙曲線()經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其漸近線方程為，所以，，解得，所以雙曲線C的方程為：.（2）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)Ax所以，兩式作差得，即，若是線段的中點(diǎn)，則，則，所以直線l的斜率，則直線l的方程為，將直線l與雙曲線聯(lián)立，得，，方程無(wú)解，所以這樣的直線不存在，即點(diǎn)P不能是線段的中點(diǎn).9．（22-23高二上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，該直線方程為【分析】（1）根據(jù)圓與圓外切、內(nèi)切列式得，結(jié)合橢圓的定義可求出結(jié)果；（2）根據(jù)點(diǎn)差法求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，依題意得，所以為定值，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，，，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減得，得，即，由點(diǎn)斜式得直線方程為，即.所以存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，使得為中點(diǎn)，且該直線方程為.

10．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，橢圓的右焦點(diǎn)為．(1)求過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)；(2)判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，并求以為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線方程．【答案】(1)(2)在橢圓內(nèi)部，．【分析】（1）解法一：將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得；解法二：將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線的方程，再由弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算；（2）將點(diǎn)代入橢圓方程，即可判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)以為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于，利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)弦的斜率，從而求出中點(diǎn)弦方程.【詳解】（1）解法一：因?yàn)闄E圓，即，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，由，消去整理得，顯然，設(shè)直線與橢圓交于，，∴，，所以．解法二：橢圓，即，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，即，由，其中，所以．（2）∵，∴點(diǎn)在橢圓內(nèi)部．設(shè)以為中點(diǎn)的弦與橢圓交于，∵為中點(diǎn)，∴，把分別代入橢圓，得，∴，∴，∴，∴以為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線方程為，整理得．1．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p=116，求拋物線（Ⅱ）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．【答案】（Ⅰ）(132【分析】（Ⅰ）求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得答案；（Ⅱ）方法一使用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式和解方程法分別求得關(guān)于p,m,λ的表達(dá)式，得到關(guān)于p,m,λ的方程，利用基本不等式消去參數(shù)，得到關(guān)于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式求得A(x0,y0)的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)A(x0,y0)在橢圓上，得到關(guān)于關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)得解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三利用點(diǎn)差法得到y(tǒng)02+y1y0+8p2=0．根據(jù)判別式大于零，得到不等式Δ【詳解】（Ⅰ）當(dāng)p=116時(shí)，的方程為y2=18（Ⅱ）[方法一]：韋達(dá)定理基本不等式法設(shè)A(x由{x∴y由在拋物線上，所以λ2m又{y∴y1+∴x由{x2???2p+4所以4p2+2≥18p，所以，的最大值為1040，此時(shí)A(2[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)直線l:x=my+t(m≠0,t≠0)，A(x將直線的方程代入橢圓得：(m2+2)所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yM=?將直線的方程代入拋物線得：，所以y0yM=?2pt，解得由解得1p2所以當(dāng)m=2,t=105時(shí)，[方法三]：點(diǎn)差和判別式法設(shè)A(x1,因?yàn)閧x12整理得，所以y0x又y1所以y0y0因?yàn)榇嬖冢陨鲜鲫P(guān)于的二次方程有解，即判別式Δ=y12?32由{y12因此y12=2p當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1010,±510[方法四]：參數(shù)法設(shè)M(2pt由kABkOM令u=(2t+t)2，則u∈[8,+所以pmax=1040，此時(shí)2．（2018·全國(guó)·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，公差為或．【分析】（1）方法一：設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明．（2）方法一：解出m,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到,再由兩點(diǎn)間距離公式表示出，，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】點(diǎn)差法設(shè)，則.兩式相減，并由得，由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.［方法二］：【通性通法】常規(guī)設(shè)線設(shè)，，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意；由得，，所以，，，即，而，所以，又，所以，，即，解得：．［方法三］：直線與橢圓系的應(yīng)用對(duì)原橢圓作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的橢圓為．兩橢圓方程相減可得，即為的方程，故．又點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部可得，解得：．所以．［方法四］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)l的參數(shù)方程為（為l傾斜角，t為參數(shù)）代入橢圓C中得．設(shè)是線段中點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，是線段中點(diǎn)，知得，即．而點(diǎn)在C內(nèi)得，解得：，所以．（2）［方法一］：【通性通法】常規(guī)運(yùn)算＋整體思想由題意得，設(shè)，則.由（1）及題設(shè)得.又點(diǎn)P在C上，所以，從而，.于是.同理，所以.故，即，，成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.②將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以該數(shù)列的公差為或.［方法二］：硬算由，知點(diǎn)F為的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可得，即．由點(diǎn)P在橢圓上，把坐標(biāo)代入方程解得，即．由（1）有，直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立消去y得，求得，不妨設(shè)，所以，，，同理可得，，所以，而，故．即該數(shù)列的公差為或.［方法三］：【最優(yōu)解】焦半徑公式的應(yīng)用因?yàn)榫€段