廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年（上）高二級期中考試數(shù)學(xué)本試卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得，即可求得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：.2.一組數(shù)據(jù)23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位數(shù)是（）A.14 B.15 C.23 D.25【答案】D【解析】【分析】利用百分位數(shù)的計(jì)算步驟求解即可.【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列可得11，14，16，17，19，23，27，31，共8個數(shù)據(jù)，又，所以該數(shù)據(jù)的百分之七十五分位數(shù)是第6個和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：.3.在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】延長交于點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合重心的性質(zhì)將表示為的線性形式即可.【詳解】延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，故選：C.4.已知隨機(jī)事件和互斥,且,,則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因?yàn)楹突コ?由求出,再由即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹突コ?所以,又,所以,因?yàn)?所以.故選:B.5.已知直線l過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算與的夾角的余弦值得出直線與直線的夾角的正弦值，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離．【詳解】由題意得，所以，又直線的方向向量為，則，所以，設(shè)直線與直線所成的角為，則，則，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：A．6.雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，一條漸近線的方程為，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓方程求得半焦距，則漸近線方程及焦點(diǎn)位置設(shè)出雙曲線方程，再由半焦距求得參數(shù)值得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題意知，設(shè)雙曲線的方程為，∴，∴，∴.故選:A.7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)Ax1,y1,B【詳解】設(shè)Ax代入橢圓方程可得：，兩式作差可得：，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，又，所以，即，又，所以，所以橢圓的方程為：.故選：.8.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓的離心率的取值范圍為，則線段的長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可求得，，即可得出，再根據(jù)離心率范圍即可求出.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，，又，，，，，則，即線段的長度的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是通過兩種不同方式求出的面積，得出，再利用離心率的取值范圍可求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在棱長為的正方體中，，分別是AB，中點(diǎn)，則（）A.平面B.直線與平面所成的角為C.平面平面D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量關(guān)系證明，；利用向量法求線面角即可判斷；根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式即可判斷.【詳解】在棱長為的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，，，，，對于，，，，顯然，即平行于平面，而平面，因此平面，正確；對于，，，，，所以，，即，，又，平面，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，所以直線與平面所成的角為，錯誤；對于，，，而，顯然，，即，，又，，平面，于是平面，而平面，因此平面平面，正確；對于，，，設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z則，令，得，，又，所以點(diǎn)到平面的距離，正確.故選：10.已知點(diǎn)是左、右焦點(diǎn)為，的橢圓：上的動點(diǎn)，則（）A.若，則的面積為B.使為直角三角形的點(diǎn)有6個C.的最大值為D.若，則的最大、最小值分別為和【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積的相關(guān)結(jié)論即可判斷A；結(jié)合橢圓性質(zhì)可判斷B；結(jié)合橢圓定義可求線段和差的最值，判斷CD.【詳解】A選項(xiàng)：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項(xiàng)：當(dāng)或時為直角三角形，這樣的點(diǎn)有4個，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，則,同理，知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點(diǎn)有6個，故B正確；C選項(xiàng)：由于，所以當(dāng)最小即時，取得最大值，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋?，則最大、最小值分別為和，當(dāng)點(diǎn)位于直線與橢圓的交點(diǎn)時取等號，故D正確.故選：BCD11.如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上B.點(diǎn)在上，則C.點(diǎn)橢圓上，若，則D.過作軸的垂線交于兩點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確，對選項(xiàng)B，根據(jù)“雙紐線”定義得到，再計(jì)算即可判斷B錯誤，對選項(xiàng)C，根據(jù)“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確，對選項(xiàng)D，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，再解方程即可判斷D正確.【詳解】對選項(xiàng)A，因?yàn)?，由定義知，故A正確；對選項(xiàng)B，點(diǎn)在上，則，化簡得，所以，，B錯誤；對選項(xiàng)C，橢圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以，C正確；對選項(xiàng)D，設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，又，所以，化簡得，故，所以，故1，所以，故D正確，故選：ACD第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在角的終邊上，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解即可.【詳解】由點(diǎn)在角的終邊上可得，，則，故答案為：.13.若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.【答案】0【解析】【分析】由求出的值，然后再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，而函數(shù)fx為偶函數(shù)，所以由得，解得：.當(dāng)時，，符合題意.故答案為：14.如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且，I為的內(nèi)心，，I，G三點(diǎn)共線，且，x軸上點(diǎn)A，B滿足，，則的最小值為________；的最小值為________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，結(jié)合離心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合橢圓定義和雙曲線定義可得，，進(jìn)而根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.【詳解】①依題意，橢圓與雙曲線的焦距均為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得：，由橢圓的定義得：，聯(lián)立解得，又，由余弦定理得：，即，整理得：，即，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為；②為的內(nèi)心，則為的角平分線，由，得，同理：，則，即，因此，而，即，則，為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，即為的角平分線，延長射線，連接，由點(diǎn)向作垂線，垂足分別為，由，得，即為的角平分線，則，即為的角平分線，則有，又，于是，即，而，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線上，且與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線被圓M截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，然后根據(jù)條件求出圓心，進(jìn)而可得半徑，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）檢驗(yàn)直線的斜率存在，設(shè)出直線方程，然后利用垂徑定理列方程求解.【小問1詳解】圓M的圓心在直線上，設(shè)，則，解得，即，圓的半徑為，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】經(jīng)過點(diǎn)的直線被圓M截得的弦長為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓M截得的弦長為，不符，舍去；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，，解得或，直線的方程為或.16.已知三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且.（1）若，求；（2）點(diǎn)在邊上且平分，若，求三角形的周長.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可求B，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）利用面積關(guān)系可得，結(jié)合列式求解即可.【小問1詳解】由正弦定理可知，則.可得，整理可得.由余弦定理知，且，可得，由知.可知為直角三角形，所以.【小問2詳解】點(diǎn)在邊上且平分，可知，則，即，可得.①又因?yàn)椋?，可?②①代入②得到，解得或（舍去），所以的周長為.17.橢圓C：過點(diǎn)P（，1）且離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，定點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若面積為3，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及，即可求解.【小問1詳解】由已知可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，則，則，解得，所以直線的方程為.18.在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，側(cè)面底面ABCD，，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)，（1）證明：平面PAB；（2）若直線PF與平面PAB所成的角為，①求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.②平面ADE將四棱錐分成上、下兩部分，求平面ADE以下部分幾何體的體積.【答案】（1）證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，利用幾何關(guān)系，構(gòu)造輔助線，即可證明線面平行；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，①求平面和平面的法向量，代入向量公式，求二面角的余弦值；②首先根據(jù)垂直關(guān)系，說明平面，再根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合三棱錐的體積公式，即可求解.【小問1詳解】取PB中點(diǎn)M，連接AM，EM，為PC的中點(diǎn)，，，又，，，，四邊形ADEM為平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；【小問2詳解】平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，，平面PAB，取AB中點(diǎn)G，連接FG，則，平面PAB，，，，，又，，，①如圖以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB為x軸，GF為y軸，GP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面PCD的一個法向量，，則，取，則，平面PAB的一個法向量可取，設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為，，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.②如圖，，從而AD垂直于AM，四邊形AMED為矩形，正三角形PAB中，AM垂直于PB，又AD垂直于PM，從而PM垂直于平面AMED.所以四棱錐體積，又四棱錐的體積為，所以五面體ABCDEM為.19.已知雙曲線的實(shí)軸長為4，漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作與軸不重合的直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S，直線與交于點(diǎn).（i）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，求的值；（ii）求的面積的取值范圍.【答案】（1）