應(yīng)力狀態(tài)課件

*

應(yīng)力狀態(tài)*一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)PPmm以前計(jì)算的是：桿件橫截面上各點(diǎn)的應(yīng)力?；仡櫍骸?–1應(yīng)力狀態(tài)的概念

*

PPmmnnnnPkmmPk構(gòu)件一點(diǎn)的所有截面中應(yīng)力的總體情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。PPk*二、微體xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)截取一無(wú)限小正六面體稱為微體。微體相對(duì)兩面上的應(yīng)力大小相等，方向相反。若所取微體各面上只有正應(yīng)力，而無(wú)剪應(yīng)力，此微體稱為主微體。三、主平面和主應(yīng)力*

⒉若三個(gè)主應(yīng)力中，有一個(gè)等于零，兩個(gè)不等于零，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)，或平面應(yīng)力狀態(tài)，如梁的彎曲。ABP

x

x

x

x

x

x

⒊若三個(gè)主應(yīng)力都不等于零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)，三向應(yīng)力狀態(tài)是最復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)。*§8–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法一、斜截面上的應(yīng)力

x

x

x

y

ynt

x

x

y

y

y

y

x

x

y*同理，由得：任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為*二、主平面的方位設(shè)主平面的方位角為

0，有三、主應(yīng)力將主平面的方位角為

0代入斜截面正應(yīng)力公式，得*四、最大切應(yīng)力※解題注意事項(xiàng)：

⒈上述公式中各項(xiàng)均為代數(shù)量，應(yīng)用公式解題時(shí)，首先應(yīng)寫清已知條件。⑴

x、

y以拉為正，以壓為負(fù)；⑵

x沿微體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)；⑶

為斜截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。*

⒉求得主應(yīng)力

max、

min與0排序，確定

1、

2、

3的值。

⒊

0為主應(yīng)力

ˊ所在截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。在主值區(qū)間，2

0有兩個(gè)解，與此對(duì)應(yīng)的

0也有兩個(gè)解，其中落在切應(yīng)力箭頭所指象限內(nèi)的解為真解，另一解舍掉。*

如何從構(gòu)件中截取微體截取微體原則是：微體各側(cè)面上的應(yīng)力可用以前各章的知識(shí)求出來(lái)。1、拉壓桿

PFNPP*mmττ2、受扭圓軸Tmτ*PMFSFSM3、梁*VMedcbaσaaσbτbbτccσdτddσeeP*[例8-1]求圖示微體a－b斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。ab解：已知xn

*n

[練習(xí)1]求圖示微體a－b斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。解：已知*[例8-2]求圖示微體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在微體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知*

1

1

3

3

0=11.98°*[練習(xí)2]求圖示微體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在微體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知*此解在第二、四象限，為本題解。此解在第一象限，不是本題解，舍掉；

3

3

1

1

0=－67.5°*[練習(xí)3]求圖示微體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在微體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知*此解在第一象限，為本題解；此解在第二象限，不是本題解，舍掉。

1

1

3

3

0=18.43°*§8–3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法由解析法知，任意斜截面的應(yīng)力為將第一式移項(xiàng)后兩邊平方與第二式兩邊平方相加*得：取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的切應(yīng)力，則上式為一圓方程。

x

x

x

y

ynt

yr圓心坐標(biāo)為半徑為*

x

x

x

y

ynt

y圓上各點(diǎn)與微體各斜截面一一對(duì)應(yīng)，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)與各斜截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力一一對(duì)應(yīng)。因此，該圓稱為應(yīng)力圓。圓上D1點(diǎn)代表x截面；D1

x

x

y-xD2D2點(diǎn)代表y截面；EE點(diǎn)代表方位為

角的斜截面；

A1、A2

點(diǎn)代表兩個(gè)主平面。

1

2A1A2*tD2點(diǎn)代表y截面；

1應(yīng)力圓的畫法*

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2應(yīng)力圓的畫法步驟:⒈作橫軸為

軸，縱軸為

軸；⒉在橫軸上取OB1=

x，過(guò)B1引垂線B1D1=

x；⒊在橫軸上取OB2=

y，過(guò)B2引垂線B2D2=-

x；

⒋

連接D1D2交橫軸于C，

⒌以C為圓心，CD1為半徑作圓，此圓即為應(yīng)力圓。*

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2證明:*[例8-3]試用圖解法求圖示微體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在微體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知50303030取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。*50303030

1

1

3

3

0=18.43°*[例8-4]試用圖解法求圖示微體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在微體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。2020*

2020

0=45°20

1

1

3

3*[練習(xí)4]試用圖解法求圖示微體的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力、并在微體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。

COB1D1D2B21005050*

COB1D1D2B21005050A1A220

1

1

3

3

0=22.5°*[例8-5]已知一點(diǎn)處兩個(gè)斜截面上的應(yīng)力如圖所示，試用圖解法求

角、該點(diǎn)的主應(yīng)力、主平面，并在圖上畫出主應(yīng)力和主平面的方位。95MPa45MPa

2

oaabbC9545*95MPa45MPa

2

oaabbC9545A1A2

1

22

a2

b

a

b*§8–4梁的主應(yīng)力及主應(yīng)力跡線124512345mm153

1

1

1

1

3

3

3

3234*梁的各點(diǎn)皆處于平面應(yīng)力狀態(tài)，各點(diǎn)的主應(yīng)力為拉主應(yīng)力

1和壓主應(yīng)力

3。各點(diǎn)的拉主應(yīng)力和壓主應(yīng)力的走向形成兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱為梁的主應(yīng)力跡線。過(guò)一點(diǎn)沿兩組主應(yīng)力跡線的切線則表示該點(diǎn)兩個(gè)主應(yīng)力的方向。x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd主應(yīng)力跡線的畫法：*拉力壓力

1

3

1

3圖示為懸臂梁的主應(yīng)力跡線實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。*q

1

3

3

1圖示混凝土梁自重下的主應(yīng)力跡線?；炷翆俅嘈圆牧?，抗壓不抗拉。沿拉主應(yīng)力跡線方向鋪設(shè)鋼筋，可增強(qiáng)混凝土梁的抗拉強(qiáng)度。*§8–5空間應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介

s1s2xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)*2、三向應(yīng)力圓

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3**

max

min3、最大切應(yīng)力

1

2

3最大切應(yīng)力所在的截面與

2平行，與第一、第三主平面成45°角。*§8–6廣義虎克定律PP

′*=+

1′

2″

2′

1″一、平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律*正應(yīng)變只跟正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無(wú)關(guān)；剪應(yīng)變只跟切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無(wú)關(guān)；*二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律

1

2

3xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy*[例8-6]邊長(zhǎng)為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的應(yīng)力

x、

y

、

z

和應(yīng)變

x、

y、

z。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：*Pxyz

x

y

z*[例8-7]已知E=10GPa、

=0.2，求圖示梁n－n截面上

k點(diǎn)沿30°方向的線應(yīng)變

30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°*nnk1m1m2mAB2001507575k30°*nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°*nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°*[例8-8]薄壁筒內(nèi)壓容器(t/D≤1/20)，筒的平均直徑為D，壁厚為t，材料的E、

已知。已測(cè)得筒壁上

k點(diǎn)沿45°方向的線應(yīng)變

45°，求筒內(nèi)壓強(qiáng)p。

kptD

x

x

y

y解：筒壁一點(diǎn)的軸向應(yīng)力：筒壁一點(diǎn)的環(huán)向應(yīng)力：*

kptD

x

x

y

y

45°

-45°45°-45°*[練習(xí)5]受扭圓軸如圖所示，已知m、d、E、

，求圓軸外表面沿ab

方向的應(yīng)變

ab。ABm

m

dab45°

解：*ABm

m

dab45°

45°

-45°*§8–7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變、比能一、體積應(yīng)變dxdydzdx+△dxdy+△dydz+△dz*略去高階微量，得微體的體積應(yīng)變代入式*得：

純切應(yīng)力狀態(tài)：可見切應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對(duì)于非主應(yīng)力微體，其體積應(yīng)變可改寫為體積應(yīng)變只與三個(gè)主應(yīng)力（正應(yīng)力）之和有關(guān)，而與其比例無(wú)關(guān)。*令

m稱為平均正應(yīng)力，K稱為體積彈性模量。二、比能單位體積的變形能稱為變形能密度，簡(jiǎn)稱比能。⒈單向拉壓比能dxdzdy

d(△l)*dxdzdy

⒉純剪切比能dxdydz

⒊復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的比能*⒋體積改變比能與形狀改變比能

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf狀態(tài)1受平均正應(yīng)力

m作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無(wú)形狀改變，相應(yīng)的比能稱為體積改變比能uV。狀態(tài)2的體積應(yīng)變：狀態(tài)2無(wú)體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為形狀改變比能uf。*

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf*[例8-9]邊長(zhǎng)為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的體積應(yīng)變

V和形狀改變比能uf

。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：*

x

y

z*[例8-10]證明彈性模量E、泊桑比

、剪切彈性模量G之間的關(guān)系為