河南省商丘市商師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023~2024學(xué)年度高二下學(xué)期期中聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第六章~第七章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】．故選:A．2.《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場(chǎng)．某電影院同時(shí)段播放這三部電影，小李和小王每人只能選擇看其中的一場(chǎng)電影，則不同的選擇方案有（）A.2種 B.3種 C.6種 D.9種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到答案.【詳解】依題意，每個(gè)人選擇方案都有3種，所以兩個(gè)人不同的選擇方案有種，故選：D．3.已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前7項(xiàng)的和為（）A.256 B.255 C.128 D.127【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，建立基本量方程組求解，再應(yīng)用前項(xiàng)和公式即可得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，可得解得，，所以?shù)列前項(xiàng)的和.故選：D.4.設(shè)隨機(jī)變量，若，則的最大值為（）A.4 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望得的范圍，再根據(jù)二項(xiàng)分布方差運(yùn)算公式結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得的最大值.【詳解】隨機(jī)變量，由得，解得.，易知二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，于是時(shí)取得最大值，即最大值為.故選：C.5.已知事件，，若，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算，注意在時(shí)，．【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，，故選：C．6.從中任取5個(gè)數(shù)字，記由這5個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)為，其中滿足的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.126 B.756 C.1260 D.7560【答案】B【解析】【分析】采用分步乘法計(jì)數(shù)原理，第一步先任取共有種取法，第二步按照已知條件的排列順序排位共有種排法，最后求出乘積即可.【詳解】第一步：從9個(gè)數(shù)中任取5個(gè)數(shù)，有種取法；第二步：將取出的5個(gè)數(shù)中最大的放中間數(shù)位，從余下的4個(gè)數(shù)字中取2個(gè)排在一端，余下的排在另一端，共有種排法，所以符合條件的五位數(shù)有個(gè).故選：B.7.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求出，求出，求出即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，所以的最小值是1.故選：B.8.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理將多項(xiàng)式進(jìn)行展開(kāi)，利用整除的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】，∵能被11整除，∴要使能被11整除，則能被11整除，∵，∴，則，解得，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，則（）A.公差 B. C. D.時(shí)，最小【答案】AD【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)有，可得公差的符號(hào)和數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)公差為，，即，得，所以，即，有，因，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.故選：AD.10.2024年3月，中華人民共和國(guó)全國(guó)人民代表大會(huì)與中國(guó)人民政治協(xié)商會(huì)議在北京召開(kāi)（以下簡(jiǎn)稱“兩會(huì)”），兩會(huì)結(jié)束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若A與B相鄰，則有48種不同站法B.若C與D不相鄰，則有24種不同站法C.若B在E的左邊（可以不相鄰），則有60種不同站法D.若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法【答案】ACD【解析】【分析】利用捆綁法求A與B相鄰的排法數(shù)，判斷選項(xiàng)A；利用插空法求C與D不相鄰的排法數(shù)，判斷選項(xiàng)B；根據(jù)倍縮法求B在E的左邊的排法數(shù)，判斷選項(xiàng)C；優(yōu)先考慮的位置，結(jié)合排列知識(shí)和兩大計(jì)數(shù)原理求A不在最左邊，D不在最中間的排法，判斷選項(xiàng)D.【詳解】若A與B相鄰，則有種不同站法，A正確；若C與D不相鄰，則有種不同站法，B錯(cuò)誤；若B在E的左邊（可以不相鄰），則有種不同站法，C正確；若A不在最左邊，D不在最中間，當(dāng)A排在最中間時(shí)，滿足條件的排法有種，當(dāng)A不排在最中間時(shí)，滿足條件的排法有種，故共有種不同排法，D正確.故選：ACD.11.甲盒中裝有3個(gè)藍(lán)球、2個(gè)黃球，乙盒中裝有2個(gè)藍(lán)球、3個(gè)黃球，同時(shí)從甲、乙兩盒中取出個(gè)球交換，分別記交換后甲、乙兩個(gè)盒子中藍(lán)球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】按分別求出的分布列及期望，即可逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】X表示交換后甲盒子中的藍(lán)球數(shù)，Y表示交換后乙盒子中的藍(lán)球數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，則，，AB正確；當(dāng)時(shí)，，，，，，因此，，C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，若，則______．【答案】##【解析】【分析】直接根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得到答案.【詳解】由正態(tài)分布的性質(zhì)得.故答案為：.13.已知隨機(jī)變量的分布列如下：236若隨機(jī)變量滿足，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列求得a，即可求得的期望，由方差公式求得，根據(jù)方差的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，所以，所以，故，因?yàn)?，所以，故答案為?214.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】條件可轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)根，令，可得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及圖象可得結(jié)論.【詳解】令，所以.令，x∈0,+∞，求導(dǎo)可得，所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，且，所以，令，則有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知二項(xiàng)式且為常數(shù)的展開(kāi)式中第7項(xiàng)是常數(shù).（1）求的值；（2）若該二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，求展開(kāi)式中的系數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值；（2）先利用題給條件求得a的值，進(jìn)而即可求得展開(kāi)式中的系數(shù).【小問(wèn)1詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第7項(xiàng)為，由題意得，解得.小問(wèn)2詳解】令，得，所以或，解得，或（舍去）.該二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.16.已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足.（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最值.【答案】（1）（2）最大值為36，最小值為-16【解析】【分析】（1）有2個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)條件運(yùn)用韋達(dá)定理求解；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性以及閉區(qū)間兩端的函數(shù)值求解.【小問(wèn)1詳解】，令，則有2個(gè)零點(diǎn)，顯然，由韋達(dá)定理得，又代入①得：，再代入②得：，，符合題意，；【小問(wèn)2詳解】，得下表：-1200單調(diào)遞減極小值-16單調(diào)遞增極大值11單調(diào)遞減又，，所以在區(qū)間上的最大值為36，最小值為-16；綜上，，在區(qū)間上的最大值為36，最小值為-16.17.為了迎接即將到來(lái)的生物實(shí)驗(yàn)操作考試，小李同學(xué)每天都要去實(shí)驗(yàn)室做兩次實(shí)驗(yàn).某天，他來(lái)到實(shí)驗(yàn)室，決定做實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)，已知小李同學(xué)做實(shí)驗(yàn)成功的概率為，做實(shí)驗(yàn)成功的概率為，假設(shè)每次做實(shí)驗(yàn)是否成功相互獨(dú)立.（1）小李每次都隨機(jī)等可能的從實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)中選擇一個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行操作，求他兩次實(shí)驗(yàn)恰好成功一次的概率；（2）小李同學(xué)決定進(jìn)行2次實(shí)驗(yàn)操作，有以下兩種方案，方案一:第一次實(shí)驗(yàn)，小李隨機(jī)等可能選擇實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)中的一種，若第一次實(shí)驗(yàn)成功，則第二次繼續(xù)做第一次的實(shí)驗(yàn)，若第一次實(shí)驗(yàn)不成功，則第二次做另一個(gè)實(shí)驗(yàn)；方案二:第一次實(shí)驗(yàn)，小李隨機(jī)等可能的選擇實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)中的一種，無(wú)論第一次實(shí)驗(yàn)是否成功，第二次都繼續(xù)做第一次的實(shí)驗(yàn).若方案選擇以及實(shí)驗(yàn)操作互不影響，以實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)的期望值作為決策依據(jù)，你認(rèn)為哪個(gè)方案更好?【答案】（1）（2）方案一略好【解析】【分析】（1）記選擇實(shí)驗(yàn)為事件，選擇實(shí)驗(yàn)為事件，實(shí)驗(yàn)成功為事件，利用全概率公式求出，再由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算可得；（2）記和分別是方案一與方案二中實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)，則、的取值均為，，，求出相應(yīng)的概率，計(jì)算出期望，即可判斷.【小問(wèn)1詳解】記選擇實(shí)驗(yàn)為事件，選擇實(shí)驗(yàn)為事件，實(shí)驗(yàn)成功為事件，則所以.所以兩次實(shí)驗(yàn)恰好成功一次的概率.【小問(wèn)2詳解】記和分別是方案一與方案二中實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)，則、的取值均為，，，所以，，，所以.，，，所以因?yàn)?，所以方案一略?18.在數(shù)列中，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，然后根據(jù)累加法結(jié)合條件即可求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，然后根據(jù)恒成立分類(lèi)討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，所以，又符合，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意知，，兩式相減得，所以，若不等式對(duì)任意的恒成立，當(dāng)，時(shí)，則，所以，當(dāng)，時(shí)，則，所以，即，所以，即的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)且，若存在，使得，試比較與的大小.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù),再分和兩種情況討論判斷正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間;（2）根據(jù)已知設(shè)