河南省信陽市平橋區(qū)2024屆高三下學(xué)期三校聯(lián)考一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆河南省信陽市平橋區(qū)高三三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，由此可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因，，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D2.已知函數(shù)，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式求得正確答案.【詳解】.故選：D3.函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個最小值點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】令，因為，所以，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在時恰有兩個最小值點，所以有，因為，所以，故選：A4.某小區(qū)的公共交流充電樁每小時的充電量為，收費標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：時間段00：00—07：0007：00—10：0010：00—15：0015：00—18：0018：00—21：0021：00—23：0023：00—24：00收費（元/）1.21.41.61.41.61.41.2小王的新能源汽車于17：30開始在該小區(qū)的公共交流充電樁充電，當(dāng)天21：00還未充滿，21：30來查看，發(fā)現(xiàn)已充滿，則小王應(yīng)繳納的充電費可能為（）A.31.5元 B.37.5元 C.45.3元 D.51.1元【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意算出各時間段的充電費用即可判斷選項.【詳解】由題知，小王在15：00—18：00時段充電0.5小時，費用為元；在18：00—21：00時段充電3小時，費用為元；記在21：00—23：00時段充電時間為x小時，費用為元.綜上，小王應(yīng)繳納的充電費，因為，所以.故選：B5.在直三棱柱中，，，E為棱上一點，且，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平行線作出與所成的角，在三角形中計算邊長，再利用余弦定理求解.【詳解】如圖，過點E作交于點F，連接，則或其補角為與所成的角.由已知可得，，不妨設(shè)，則，，，從而易得，，，由余弦定理可得，則與所成角的余弦值為.故選：B.6.已知雙曲線有一個焦點在拋物線：準(zhǔn)線上，則的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線的的焦點坐標(biāo)，由焦點求得拋物線的焦參數(shù)．【詳解】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是，，，，焦點為，所以，．故選：B．7.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知不等式，得到之間的關(guān)系及與1的關(guān)系，利用不等式的比較方法即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，，，，∴，∴，∴.故選：A.8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性和最值可以的大小關(guān)系，構(gòu)建，求導(dǎo)判斷單調(diào)性可以判斷的大小關(guān)系，進而可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)建，則，令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，構(gòu)建，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，可得在上恒成立，則，即，故.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知是函數(shù)（且）的三個零點，則的可能取值有（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)可得其為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，從而可得關(guān)于對稱，即可得到結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時，，設(shè)，則，即為偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，因為，所以,即函數(shù)單調(diào)遞增，所以關(guān)于對稱，且上遞減，在上遞增，所以，且，所以，令，，，即在上遞減，所以所以.故選：CD10.某中學(xué)為了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，從本校所有學(xué)生中隨機調(diào)查了50名男生和50名女生，得到如下列聯(lián)表：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉男4010女3020a0.10.050.012.7063.8416.635經(jīng)計算，則可以推斷出（

）A.該學(xué)校男生中經(jīng)常體育鍛煉的概率的估計值為B.該學(xué)校男生比女生更經(jīng)常鍛煉C.有95%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異D.有99%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)列聯(lián)表判斷概率估值，判斷AB，以及和參考臨界值比較，判斷CD.【詳解】對選項A：該學(xué)校男生中經(jīng)常體育鍛煉的概率的估計值為，故A錯誤；對選項B：經(jīng)常體育鍛煉的概率的估計值男生為，女生為，故B正確；對選項C：，故有95%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，故C正確；對選項D：,故沒有99%的把握認(rèn)為男、女生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，故D錯誤.故選：BC11.給定函數(shù)．下列說法正確的有（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)圖象與x軸有兩個交點C.當(dāng)時，方程有兩個不同的的解D.若方程只有一個解，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，進而得函數(shù)圖像，再數(shù)形結(jié)合,依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：，所以，時，，遞減，時，，遞增，故A正確；所以，，，時，，因此只在上有一個零點，它與只有一個交點，B錯；由上面討論知時，遞減，，時，遞增，，作出圖象和直線，如圖，知當(dāng)時，方程有兩個不同的的解，C正確；由圖可知若方程只有一個解，則或，D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，分別是角，，所對的邊，且，則的最大值為_________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理邊化角化簡可求得,則有,則借助正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求出.【詳解】因為，所以，所以．所以，因為，所以當(dāng)時，取得最小值．故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于?？碱}.13.已知為曲線：上一點，，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】曲線是拋物線的右半部分，是拋物線的焦點，作出拋物線的準(zhǔn)線，把轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，則到準(zhǔn)線的距離為所求距離和的最小值．【詳解】易知曲線是拋物線的右半部分，如圖，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，是拋物線的焦點，所以等于到直線的距離．過作該直線的垂線，垂足為，則的最小值為．故答案為：．14.設(shè)A.B分別為雙曲線（a>0，b>0）的左.右頂點，P是雙曲線上不同于A.B的一點，直線AP.BP的斜率分別為m.n，則當(dāng)取最小值時，雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)點的關(guān)系確定mn，再根據(jù)基本不等式確定最小值，最后根據(jù)最小值取法確定雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，則，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以離心率是.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線離心率和基本不等式求最值的簡單綜合問題，屬于基礎(chǔ)題型，一般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關(guān)于的方程.四、解答題：本題共5小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其首項和公差都為1，數(shù)列是等比數(shù)列，其首項和公比都為2，數(shù)列的前項和為．（1）求；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知條件求出數(shù)列和的通項公式，從而可求得的通項，然后利用錯位相減法求，（2）由（1）可得，當(dāng)時，可得，從而可得當(dāng)時，，化簡可得結(jié)論【小問1詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以．因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以．所以．①．②由①②得：，所以．【小問2詳解】證明：因為，所以，．當(dāng)時，因為，所以，即．當(dāng)時，．所以，當(dāng)時，．16.如圖.在四棱錐P-ABCD中.平面.底面ABCD為菱形.E.F分別為AB.PD的中點.（1）求證：平面；（2）若，，，求直線CD與平面EFC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由中點還需中點幫.取PC中點M.連接FM.BM..很容易得到四邊形BEFM為平行四邊形，再用線面平行的定理證明.（2）很顯然.可以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系.求出點C、D、E、F的坐標(biāo).算出平面EFC的法向量.用向量夾角余弦值來算直線CD與平面EFC所成角的正弦值即可.【小問1詳解】取PC中點M，連接FM，BM.在中，因為M，F(xiàn)分別為PC，PD的中點，所以，.在菱形ABCD中，因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，因此.又因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，.因為，所以.在菱形ABCD中，，因為E為AB中點，所以.建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz.在正三角形中，.因為，，，，所以向量，.設(shè)平面EFC的法向量為，則，即.取得,.設(shè)直線CD與平面EFC所成角為，.17.重慶市第二外國語學(xué)校在83周年校慶時組織了“校史”知識競賽，有兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得40分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得60分，否則得0分.已知小王同學(xué)能正確回答A類問題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.5，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小王先回答A類問題，記為小王的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小王應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）分布列見解析（2）A類，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，，，再列出分布列即可.（2）分別算出數(shù)學(xué)期望，再比較即可得到答案.【小問1詳解】因為，，.所以分布列為：0401000.30.350.35【小問2詳解】若小王先回答B(yǎng)類問題，記為小王的累計得分，因為，，.所以分布列為：0601000.50.150.35，，，所以先回答A類問題.18.已知橢圓，直線過的左頂點與上頂點，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，（異于點）是橢圓上不同的兩點，且，過作的垂線，垂足為，求到直線的距離的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知條件得到之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形的面積求得的值，進而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程和的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩點坐標(biāo)間的關(guān)系，接著根據(jù)得到直線過定點；當(dāng)直線的斜率不存在時得直線也過點，最后根據(jù)圓的性質(zhì)求得結(jié)果.小問1詳解】在中，令，得，令，得，因為直線過的左頂點與上頂點，所以．因為直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，所以，得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，由可得，則，即，，則，．由可得，故，即，即，化簡可得，所以或．若時，直線的方程為，直線過點，不符合題意；若時，直線的方程為，直線過定點．當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)其方程為，則可令，，由得，即，解得或（直線過點，舍去），此時直線的方程為，顯然也過點．由可得點在以為直徑的圓上，圓心為的中點，半徑為，故點在圓上，則到直線的距離的最大值為．19.已知函數(shù).（1）若，判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）當(dāng)，探究在上的極值點個數(shù).【答案】（1）時，在上單調(diào)遞增.理由見解析.（2）當(dāng)時，在上的極值點個數(shù)為0；當(dāng)時，在上極值點個數(shù)為1.【解析】【分析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)時，導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求的導(dǎo)函數(shù)，將探究的極值點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為探究的變號零點個數(shù)，再求的導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，得到的極值點個數(shù).【小問1詳解】時，，，，，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由，得，依題意，只要探究在0,π上的變號零點個數(shù)即可