大學(xué)物理(二)習(xí)題答案

大學(xué)物理(二)練習(xí)冊(cè)參考解答

第12章真空中的靜電場(chǎng)

一、選擇題

1(A),2(C),3(C),4(A),5(C),6(B),7(C),8(D),9(D),10(B),

二、填空題

(1).電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，。二r/夕°，

(2).(g2+q。/'0、([3、夕4;

(3).0,2/(26b);(4).B?/(2⑨)；

?I'

(7).-2X103V；⑻.乜?jī)?--------

4兀4Hrb)

(9).0,pEsina；(10).(-8-24xy)?+(-12x2+40y)J(SI)；

三、計(jì)算題

oo

1.將一“無(wú)限長(zhǎng)”帶電細(xì)線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，

電荷線密度為九四分之一圓弧AB的半徑為R,試求圓心O

點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

AM0L

------OO

B

解：在。點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖所示.

半無(wú)限長(zhǎng)直線A8在0點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)：

E=---(?-7)

7

4兀4R\

半無(wú)限長(zhǎng)直線88在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)：OO

及=---(-?+7)

-4吟jR'7

四分之?圓弧段在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)：

M----。+7)

4兀

由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，0點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為：_一一一OO

E=E+&+M=」一(：+j)B

1-34冗&/?'7

2.實(shí)驗(yàn)表明，在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E垂直于地面向下，大小約為100

N/C：在離地面1.5km高的地方，后也是垂直于地面向下的，大小約為25N/C.

(1)假設(shè)地面上各處巨都是垂直于地面向下，試計(jì)算從地面到此高度大氣中電荷佗平均

體密度；

(2)假設(shè)地表面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，且地球表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度完全是由均勻分布在地表面

的電荷產(chǎn)生，求地面上的電荷面密度.(已知：真空介電常量4=8.85Xl()/2c2?N」?m-2)

??解：(1)設(shè)電荷的平均體密度為〃，取圓桿形高斯而加圖(1)(側(cè)面乖百

底面，底面AS平行地面)上下底面處的

場(chǎng)強(qiáng)分別為Ei和則通過(guò)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：’

提?dS=E2A5-EIAS=(E2-￡I)AS

高斯面S包圍的電荷Xqi=h\Sp

由高斯定理(&-Ei)\S=h'Spl￡Q

p=-E,)=4.43X1013c/m3

h-

(2)設(shè)地面面電荷密度為⑦由了電荷只分布在地表面，所以電力線終止(1)

于地面，取高斯面如圖⑵

由高斯定理捱*

-￡AS=——o&S

與)

一￡OE=-8.9X10,℃/m3

3.帶電細(xì)線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度為Q/losinO，

式中務(wù)為一常數(shù)，0為半存R與x軸所成的夾角，如圖萬(wàn)?示.試

求環(huán)心。處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解：在。處取電荷元，其電荷為出/=&1/=/W?sin°d°

它在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為dE=

471%/?-4兀分/?

在x、)，軸上的二個(gè)分量

dEi二一dEcos。，dEv=—dEsin。

對(duì)各分量分別求和

E=--------[sin^cos0d族=0

xJo

4nsQR

E=———「sin2°d@=—^―

?'47t%RJ°84R

E=Ej+Ej=--^j

X,B%R

4.一“無(wú)限長(zhǎng)”圓柱面，其電荷面密度為：

<T=OJjCOS,式中0為半徑R與X軸所夾的角,

試求圓柱軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

解：將柱面分成許多與軸線平行的細(xì)長(zhǎng)條，每條可視為“無(wú)限

長(zhǎng)”均勻帶電直線，其電荷線密度為

2=5）cos0Rd0,

它在。點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：

dE=——-——=%cos。d(/>

2式％R2兀￡'o

它沿x、,，軸上的二個(gè)分量為：

d￡r=—d￡cos^=-——^―cos2

2兀4

()

d￡v-=_dEsin(j)=^~sin(bcos°d°

2兀4

積分：E=cos2=-^-

J。2兀42%

—ITsin°d(sin.)=0

4°2兀4

5.一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為

P='J（，WR）（。為一正的常量）

71R

p=0（/>/?）

試求：（1）帶電球體的總目荷；（2）球內(nèi)、外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（3）球內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢(shì).

解：（1）在球內(nèi)取半徑為八厚為”的薄球殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為

dq=pdV=qr4nr2dr/（7t/?4）=4qQdr/R*

則球體所帶的總電荷為Q=[,夕dV=（4q/R"/dr=q

（2）在球內(nèi)作一半徑為力的高斯球面，按高斯定埋有

/

4兀=一('SI—.4nr2d

11%JoRR"函

得E尸"二SWR）,￡方向沿半徑向外.

4兀

在球體外作半徑為r2的高斯球面，按高斯定理有4啟E?=qI￡。

得號(hào)二—^^S>R）,艮方向沿半徑向外.

■4兀￡0百一

（3）球內(nèi)電勢(shì)

q=『耳?d『+「及dr=「——―-dr+「~^-^-dr

九JR~%4兀％R梟4兀4廣

二」_______e二=q14一回d)

4

3TI￡0R12Tt￡()R12?！?寵(R3

球外電勢(shì)

［七d一/9>R)

6.如圖所示，一厚為b的“無(wú)限大”帶電平板，其電荷體密

度分布為夕=AA(OWKWZ?),式中我為一正的常量.求：

(1)平板外兩側(cè)任一點(diǎn)Pi和P2處的電場(chǎng)強(qiáng)度大??；

(2)平板內(nèi)任一點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度；

(3)場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)在何處？

解：(1)由對(duì)稱分析知，平板外兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)大小處處相等、方向垂直于平面且背離平面?.設(shè)

場(chǎng)強(qiáng)大小為E.

作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小為S,如圖所示.

按高斯定理￡￡?d亍二Z4/%，即

得到E=kb2/(4ib)(板外兩側(cè))

(2)過(guò)。點(diǎn)垂直平板作一柱形高斯面，底面為S.設(shè)該處場(chǎng)強(qiáng)為E',如圖所示.按高斯

定理有

得到(￡+?S=^。點(diǎn)=等

(OWxWb)F=—|x2--1

2%l2J

為2

(3)￡'=0,必須是/一,=0,可得x=b/g

2

7.一“無(wú)限大”平面，中部有一半徑為R的圓孔，設(shè)平面上均勻帶電,

電荷面密度為G如圖所示，試求通過(guò)小孔中心。并與平面垂直的直

線上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)(選。點(diǎn)的甩勢(shì)為零).

解：將題中的電荷分布看作為面密度為加勺大平面和面密度為H的圓盤疊加的

結(jié)果.選x軸垂直于平面.坐標(biāo)原點(diǎn)0在圓盤中心，大平面在x處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

E.=---j—rI

2%國(guó)

圓盤在該處的場(chǎng)強(qiáng)為

左2

???左=耳+及=——:X1

R2+W

該點(diǎn)電勢(shì)為

ocyxd.v

U=

2%JR2+X2

8.一真空二極管，其主要構(gòu)件是一個(gè)半徑4=5X10,m的

圓柱形陰極A和一個(gè)套在陰極外的半徑&=4.5X103m的

同軸圓筒形陽(yáng)極8,如圖所示.隨穎甯勢(shì)比E含趣高300V，

忽略邊緣效應(yīng).求電子剛從陰極射出時(shí)所受的電場(chǎng)力.(基本

電荷e=1.6X10l9C)

解：與陰極同軸作半徑為MRiVrVR)的單位長(zhǎng)度的圓柱形高斯面，設(shè)陰極上電荷線密度為

2.按高斯定理有2冗任二如食

得到E=2/Qjiar)(/?i<r<??2)

方向沿半徑指向軸線.兩極之間電勢(shì)差

〃口1己▲一Xdr4]R2

U,-UR=\Edr=-------=----------In—

JA27C/JRr2n￡0R、

得到上二午工，所以公號(hào)二號(hào)」

2兀4ln(/?2//?,)111(/?,//?))r

在陰極表面處電子受電場(chǎng)力的大小為

UHU

F=eE{Ri)=ei~\—

c(R/Rj叫

=4.37X1014N

方向沿半徑指向陽(yáng)極.

四研討題

1.真空中點(diǎn)電荷q的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為

4加0r

式中「為場(chǎng)點(diǎn)離點(diǎn)電荷的距離.當(dāng)r-0時(shí)，E-8,這一推論顯然是沒有物理意義的，應(yīng)如

何解釋？

參考解答：

點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式僅適用于點(diǎn)電荷，當(dāng)，一0時(shí)，任何帶電體都不能視為點(diǎn)電荷，所以

點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式已不適用.

若仍用此式求場(chǎng)強(qiáng)E,其潔論必然是錯(cuò)誤的.當(dāng)時(shí)，需要具體考慮帶電體的大小和電

荷分布，這樣求得的E就有確定值.

2.用靜電場(chǎng)的環(huán)路定理證明電場(chǎng)線如圖分布的電場(chǎng)不可能是靜電場(chǎng).

參考解答:

證；在電場(chǎng)中作如圖所示的扇形環(huán)路abcda.tnab和cd段場(chǎng)強(qiáng)方向

與路徑方向垂直.在反和曲段場(chǎng)強(qiáng)大小不相等（電力線疏密程度不

同）而路徑相等.因而

fEd/=￡；Ed/-￡E,d/^0

按靜電場(chǎng)環(huán)路定理應(yīng)有f￡-d/=0,

此場(chǎng)不滿足靜電場(chǎng)環(huán)路定理，所以不可能是靜電場(chǎng).

3.如果只知道電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，能否求出該點(diǎn)的電勢(shì)？如果只知道電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì),

能否求出該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)？為什么？

參考解答:

「零劣點(diǎn)一

由電勢(shì)的定義：U=1,Ed/

J場(chǎng)點(diǎn)

式中后為所選場(chǎng)點(diǎn)到零勢(shì)點(diǎn)的積分路徑上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，所以，如果只知道電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)

強(qiáng)，而不知道路徑上各點(diǎn)為場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式，不能求出該點(diǎn)的電勢(shì)。

由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系：E=-gradU

場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是該點(diǎn)電勢(shì)梯度的負(fù)值。如果只知道電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)值，而不知道其

表達(dá)式，就無(wú)法求出電勢(shì)的空間變化率，也就不能求出該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

4.從工廠的煙囪中冒出的滾滾濃煙中含有大量顆粒狀粉塵，它們嚴(yán)重污染了環(huán)境，影響到

作物的生長(zhǎng)和人類的健康。靜電除塵是被人們公認(rèn)的高效可靠

的除塵技術(shù)。先在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)模擬一下管式靜電除塵器除塵的全

過(guò)程，在模擬煙囪內(nèi)，可以看到，有煙塵從“煙囪”上飄出。

加上電源，煙囪上面的煙塵不見了。如果撤去電源，煙塵又出

現(xiàn)在我們眼前。請(qǐng)考慮如何計(jì)算出實(shí)驗(yàn)室管式靜電除塵器的工

作電壓，即當(dāng)工作電壓達(dá)到什么數(shù)量級(jí)時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)良好的靜

電除塵效果。

參考解答：

先來(lái)看看靜電除塵裝置的結(jié)構(gòu)：在煙囪的軸線上，懸置了一根導(dǎo)線，稱之謂電暈線；在

煙囪的四周設(shè)置了一個(gè)金屬線圈，我們稱它為集電極。電流面壓電源的正極接在線圈上，負(fù)

極接在電暈線上，如右上圖所示?？梢钥闯?，接通電源以后，集電極與電暈線之間就建立了

一個(gè)非均勻電場(chǎng)，電暈線周圍電場(chǎng)最大。改變直流高壓電源的電

壓值，就可以改變電暈線周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度。當(dāng)實(shí)際電場(chǎng)強(qiáng)度與空

氣的擊穿電場(chǎng)3x103Vmm7相近時(shí)空氣發(fā)生電離，形成大量的正

離子和自由電子。自由電子隨電場(chǎng)向正極飄移，在飄移的過(guò)程中和塵埃中的中性分子或顆

粒發(fā)生碰撞，這些粉塵顆粒吸附電子以后就成/荷電粒子，這樣

就使原來(lái)中性的塵埃帶上了負(fù)電。在電場(chǎng)的作用下，這些帶負(fù)電

的塵埃顆粒繼續(xù)向正極運(yùn)動(dòng)，并最后附著在集電極上。(集電極

可以是金屬線圈，也可以是金屬圓桶壁)當(dāng)塵埃積聚到一定程度

時(shí)，通過(guò)振動(dòng)裝置，生埃顆粒就落入灰斗中。這種結(jié)構(gòu)也稱管式

靜電除塵器。如右中圖所示。

對(duì)管式靜電除塵器中的電壓設(shè)置，我們可以等價(jià)于同軸電纜

來(lái)計(jì)算。如右下圖所示，心與〃，分別表示電暈極與集電極的半徑,

L及。分別表示圓筒高度及直徑。一般4為3-5m,。為20a300mm，

故L?D,此時(shí)電暈線外的電場(chǎng)可以認(rèn)為是無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱面的電場(chǎng)。設(shè)單位長(zhǎng)度的圓柱

面帶電荷為晨用靜電場(chǎng)高斯定理求出距軸線任意距離，?處點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)為：

E=一——r--------(1)式中戶為沿徑矢的單位矢量。

2碼/

內(nèi)外兩極間電壓U與電場(chǎng)強(qiáng)度E之關(guān)系為

U=]Edl---------(2),將式⑴代入式⑵，

積分后得：丸=—2皿，故E=

In上rln-^

rr

由于電暈線附近的電扇a雖度最大，使它達(dá)各a空氣電離的最大電

場(chǎng)強(qiáng)度E,”時(shí)，就可獲得高壓電源必須具備的電壓

U=Ellt-ra\n^

ra

代入空氣的擊穿電場(chǎng)，并取一組實(shí)測(cè)參數(shù)如下：

月”=3x106V-m",r=q=0.5xl0?2m，7=o」5m,計(jì)算結(jié)果U=5.1X104V.

若施加電壓U低于臨界值，則沒有擊穿電流，實(shí)現(xiàn)不了除塵的目的。也就是說(shuō)，在這

樣尺寸的除塵器中，通常當(dāng)電壓達(dá)到105V的數(shù)量級(jí)時(shí)，就可以實(shí)現(xiàn)良好的靜電除塵效果。

靜電除塵器除了上述的管式結(jié)構(gòu)外還有其它的結(jié)構(gòu)形式，如板式結(jié)構(gòu)等?？梢詤㈤営嘘P(guān)資料,

仿上計(jì)算，也可以自行獨(dú)立設(shè)計(jì)一種新型結(jié)構(gòu)的靜電除塵器。

第13章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電解質(zhì)

一、選擇題

1(D),2(A),3(C),4(C),5(C),6(B),7(C),8(B),9(C),10(B)

二、填空題

(I).4.55X105C；

(2).cr(x,y,z)/￡o,與導(dǎo)體表面垂直朝外(。>0)或與導(dǎo)體表面垂直朝里0).

(3).￡r91,￡r；(4).\l￡r，1/8；

(5).<T,(y/(￡o￡r);(6).---；

4nsQR

(7).P,-P,0；(8)(I-￡r)a/Sr；

(9).452；(10).￡r,￡r

三、計(jì)算題

1.如圖所示，一內(nèi)半徑為〃、外半徑為〃的金屬球殼，帶有電荷Q，在球殼

空腔內(nèi)距離球心，?處有一點(diǎn)電荷外設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，試求：

(1)球殼內(nèi)外表面上的電荷.

(2)球心O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢(shì).

(3)球心。點(diǎn)處的總電勢(shì).

解.：(1)由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷-分外表面上帶電荷妙Q.

(2)不論球殼內(nèi)表面二的感生電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍x。點(diǎn)的

距離都是公所以由這些電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為

u二也二二

“4?！?44兀

(3)球心O點(diǎn)處的總電勢(shì)為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷g在。點(diǎn)

產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和

Uo=U/U_q+UQ”

qq.Q+q_q/i,1、.Q

------------1-----=-----(----卜一)T--------

4兀4兀4?！辍?84兀rab4?！?)Z?

2.一圓柱形電容器，外柱的直徑為4cm,內(nèi)柱的直徑可以適當(dāng)選擇，若其間充滿各向同性

的均勻電介質(zhì)，該介質(zhì)的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為Eo=200KV/cm.試求該電容器可能承受的

最高電壓.(自然對(duì)數(shù)的底e=2.7183)

解：設(shè)圓柱形電容器單位長(zhǎng)度上帶有電荷為九則電容器兩極板之間的場(chǎng)強(qiáng)分布

為E=Ar)

設(shè)電容器內(nèi)外兩極板半徑分別為，?()，R則極板間電壓為

t/=(E-dr=f^—dr=—In—

,J.*2it￡r2?！?

電介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)最人處在內(nèi)柱福上，當(dāng)這里場(chǎng)強(qiáng)達(dá)到瓦時(shí)電容器擊穿，這時(shí)應(yīng)有

R

2=2兀er0E0，U=r0E0In—

G

適當(dāng)選擇用的值，可使U有極大值，

j21j

即令dU/d“=&)ln(A/“)—d=0,得q=A/e，顯然有一?<0,

%

故當(dāng)r(y=R/e時(shí)電容湍可承受最高的電壓=RE。/?=147kV.

3.如圖所示，一圓柱形電容器，內(nèi)筒半徑為修，外筒半徑

為&(&V2/?,),其間充有相對(duì)介電常量分別為分和&2=打

/2的兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R.若兩種介

質(zhì)的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度相同，問(wèn)：

(1)當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？

(2)該電容器能承受多高的電壓？

解：(I)設(shè)內(nèi)、外筒單位長(zhǎng)度帶電荷為+4和一九兩筒間電位移的大小為

0=2/(2")

在兩層介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為

E\=-A/(2TIG)￡r\r),氏二4/(2兀句82，)

在兩層介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)最大處是各層介質(zhì)的內(nèi)表面處，即

E\M-X!(2TICO￡出),EIM=2/(2nib&2R)

可得EIM//to/?.)=R/(2R^

已知Ri〈2R,可見因此外層介質(zhì)先擊穿.

(2)當(dāng)內(nèi)筒上電量達(dá)到%M，使E2M=&f時(shí)，即被擊穿，

Zw=2兀&)SrlREst

此時(shí).兩筒間電壓(即最高電壓)為：

4.一空氣平行板電容器，兩極板面積均為S,板間距離為d(d遠(yuǎn)小于極

板線度)，在兩極板間平行地插入一面枳也是S、厚度為“<")的金屬片，

如圖所示.試求：

(I)電容。于多少？

(2)金屬片放在兩極權(quán)間的位置對(duì)電容值有無(wú)影響？

解：設(shè)極板上分別帶電荷氣和-仍金屬片與4板距離為4,與“板距離為金屬片與A

板間場(chǎng)強(qiáng)為4=q/(%S)

金屬板與B板間場(chǎng)強(qiáng)為E?=qg)S)

金屬片內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為￡=0

則兩極板間的電勢(shì)差為

UA-UB=E,d+Ed)

.22=Ts(d'+d2=7sid~t)

由此得C=q/(UA-UB)=^S/(d-t)

因C值僅與d、/有關(guān)，與4、必?zé)o關(guān)，故金屬片的安放位置對(duì)電容值無(wú)影響.

5.如圖所示，一電容器由兩個(gè)同軸圓筒組成，內(nèi)筒半徑為

a,外簡(jiǎn)半徑為江筒長(zhǎng)都是中間充滿相對(duì)介電常量為&

的各向同性均勻電介質(zhì).內(nèi)、外筒分別帶有等量異號(hào)電荷

和-。.設(shè)0-a)?a,可以忽略邊緣效應(yīng)，求：

(1)圓柱形電容器的目容；

(2)電容器貯存的能量.

解：由題給條件(〃一和L>>〃，忽略邊緣效應(yīng)，應(yīng)用高斯定理可求出兩

筒之間的場(chǎng)強(qiáng)為：E=Q/(2Ti￡0￡rLr)

兩筒間的電勢(shì)差U=f—2——=—2—In-

a

*2Ttc^crLr2ngML

電容器的電容C=QIU=（2兀4jL）川n（b/a）］

電容器貯存的能量W=^CU2=［Q2/（4兀/￡，）］、（〃/4）

-Q

解：可將上下兩部分看作兩個(gè)單獨(dú)的電容器串聯(lián)，兩電容分別為

2cls—2c?、S

dd

C=2￡聲2s

串聯(lián)后的等效電容為

d（4+邑）

帶電荷土。時(shí)，電容器的電場(chǎng)能量為w=?=Q2"g+'

2C4uS

將8的介質(zhì)板抽去后，電容器的能量為卬，=020％+￡2)

4蓼0萬(wàn)2s

外力作功等于電勢(shì)能增加，即4=AW=Wr-W=^-\-1

4s1qcj

7.如圖所示，將兩極板間距離為d的平行板電容器垂直地插入到密度為「、

相對(duì)介電常量為&的液體電介質(zhì)中.如維持兩極板之間的電勢(shì)差U不變，

試求液體上升的高度力.

解：設(shè)極板寬度為心液體未上升時(shí)的電容為

G=G)HL/d

液體上升到"高度時(shí)的電容為

「\H-h)LhLF.3T）〃「

C=￡。-----+-y=1+

daH

在U不變下，液體上升后極板上增加的電荷為

△Q=CU-C°U=（￡，-\）hLD/d

電源作功A=RQU=￡o13—'）hLU2/d

液體上升后增加的電能

△嗎二CU?-沁行=9。")叱"

LzL

叫=/夕g加

液體上升后增加的重力勢(shì)能

因A=AWI+AW2,可解出h=

思考題1.無(wú)限大均勻帶電平面（面電荷密度為。）兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)為E=。/（2%）,而在靜電平

衡狀態(tài)下，導(dǎo)體表面（該處表面面電荷密度為。）附近場(chǎng)強(qiáng)為E=為什么前者比后

者小一半？

參考解答：

關(guān)鍵是題目中兩個(gè)式中的。不是一回事。下面為了討論方便，我們把導(dǎo)體表面的面電

荷密度改為",其附近的場(chǎng)強(qiáng)則寫為七=。7%.

對(duì)于無(wú)限大均勻帶電平面（面電荷密度為。），兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)為E=。/（2%）.這里的a是指

帶電平面單位面積上所帶的電荷。

對(duì)于靜電平衡狀態(tài)下的導(dǎo)體，其表面附近的場(chǎng)強(qiáng)為E=k/%.

這里的o'是指帶電導(dǎo)體表面某處單位面枳上所帶的電荷。

如果無(wú)限大均勻帶電平面是一個(gè)靜電平衡狀態(tài)下的無(wú)限大均勻帶電導(dǎo)體板，則。是此導(dǎo)

體板的單位面積上（包括導(dǎo)體板的兩個(gè)表面）所帶的電荷，而/僅是導(dǎo)體板的一個(gè)表面單位

面積上所帶的電荷。

在空間僅有此導(dǎo)體板（即導(dǎo)體板旁沒有其他電荷和其他電場(chǎng)）的情形下，導(dǎo)體板的表面

上電荷分布均勻，且有兩表面上的面電荷密度相等。在此情況下兩個(gè)面電荷密度間的關(guān)系為

。=2。'。這樣，題目中兩個(gè)￡式就統(tǒng)一了。

思考題2：由極性分子組成的液態(tài)電介質(zhì)，其相對(duì)介電常量在溫度升高時(shí)是增大還是減??？

參考解答：

由極性分子組成的電介質(zhì)（極性電介質(zhì)）放在外電場(chǎng)中時(shí)，極性分子的固有電矩將沿外

電場(chǎng)的方向取向而使電介質(zhì)極化。由于極性分子還有無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)存在，這種取向不可能完

全整齊。

當(dāng)電介質(zhì)的溫度升高對(duì)，極性分子的無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)更加劇烈，取向更加不整齊，極化的

效果更差。此情形下，電極化強(qiáng)度2=注將會(huì)比溫度升高前減小。

AV

在電介質(zhì)中的電場(chǎng)E不太強(qiáng)時(shí)，各向同性電介質(zhì)的戶和區(qū)間的關(guān)系為

。-1）豆.

很明顯，在同樣的電場(chǎng)下，當(dāng)溫度升高后，相對(duì)介電常量乙要減小。

思考題3：有一上下極板成。角的非平行板電容器（長(zhǎng)為〃，寬為6）,其電

容如何計(jì)算？

參考解答：

設(shè)一平行板電容器是由長(zhǎng)為〃，寬為。的兩導(dǎo)體板構(gòu)成，板間距為d，則電容為

品=竿，若該電容器沿兩極板的長(zhǎng)度同一方向有dx的長(zhǎng)度增

量，則電容為C='S+dx）=c0+竺包,在此基礎(chǔ)上推廣到

dd

如圖所示的電容器，可以認(rèn)為是在C。的基礎(chǔ)上,上極板沿與長(zhǎng)度

方向成。角度連續(xù)增加到"下極板沿長(zhǎng)度方向連續(xù)增加到〃cos。

構(gòu)成，把該電容器看成是由兩個(gè)電容器并聯(lián)時(shí)，該電容器的電容為

反產(chǎn)出山ai,cl+bs\nO

+-------In--------------

Dd+1tan0tan。d

即非平行板電容器的電容，

八fxi,d+bs\nO

C=-------In--------------

tan。d

思考題4：為了實(shí)時(shí)檢測(cè)紡織品、紙張等材料的厚度（待

測(cè)材料可視作相對(duì)電容率為母的電介質(zhì)），通?；a(chǎn)流

水線上設(shè)置如圖所示的傳感裝置，其中A、8為平板電容

器的導(dǎo)體極板，S為極板面積，義為兩極板間的距離。試

說(shuō)明檢測(cè)原理，并推出直接測(cè)量電容。與間接測(cè)量厚度〃

之間的函數(shù)關(guān)系。如果要檢測(cè)鋼板等金屬材料的厚度，結(jié)

果又將如何？

參考解答：

設(shè)極板帶電夕=&B,

兩板電勢(shì)差：△〃=絳電電介/

△（7=生（4）-〃）+旦〃

4%%

則c=—=——包空——

A[7d+sr（dQ-d）

介質(zhì)的厚度為：d=jd°C_￡°*S=_^_冊(cè)

DC￡r-\⑸-1)C

實(shí)時(shí)地測(cè)量A、3間的電容量C,根據(jù)上述關(guān)系式就可以間接地測(cè)出材料的厚度、通常

智能化的儀表可以實(shí)時(shí)地顯示出待測(cè)材料的厚度。

如果待測(cè)材料是金屬導(dǎo)體，其A、8間等效電容與導(dǎo)體材料的厚度分別為：

￡QS

do~d

第14章穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)

一、選擇題

1(B),2(D),3(D),4(B),5(B),6(D),7(B),8(C),9(D),10(A)

二、填空題

（1）.最大磁力矩，磁矩；(2).TIK2C；

4,.

(3).外）〃（4。）；(4).

4兀H

(5).網(wǎng)i,沿軸線方向朝右.；⑹.〃0〃/(2欣；),0

(7).4；(8).mg/(IB)；

(9).alB;(10).正，負(fù).

三計(jì)算題

1.一無(wú)限長(zhǎng)圓柱形銅導(dǎo)體(磁導(dǎo)率網(wǎng)),半徑為R，通有均勻分布的電流/.今

取一矩形平面S(長(zhǎng)為1m,寬為2R),位置如右圖中畫斜線部分所示，求

通過(guò)該矩形平面的磁通量.

解.：在圓柱體內(nèi)部與導(dǎo)體中心軸線相距為廠處的磁感強(qiáng)度的大小，由安培

環(huán)路定

律可得:(r<R)

因而，穿過(guò)導(dǎo)體內(nèi)畫斜線部分平面的磁通6為

0,=(B-dS==f^4rdr=^

JJJ2JI/?24兀

在圓形導(dǎo)體外，與導(dǎo)體中心釉線相距，?處的磁感強(qiáng)度大小為

3="(r>R)

271r

因而，穿過(guò)導(dǎo)體外畫斜線部分平面的磁通魚為

R=fB-dS=dr=^ln2

」“2兀

穿過(guò)整個(gè)矩形平面的磁通量。=二必+組ln2

47i2兀

2.橫截面為矩形的環(huán)形螺線管，圓環(huán)內(nèi)外半徑分別為尺和&，芯子材

料的磁導(dǎo)率為〃，導(dǎo)線總匝數(shù)為N,繞得很密，若線圈通電流/,求.

(1)芯子中的8值和芯子截面的磁通量.

(2)在"Ri和處的B值.

解.：(1)在環(huán)內(nèi)作半徑為，,的圓形回路，由安培環(huán)路定理得

B?2口=心1,8=/(2")

在r處取微小截面dS=灰1二通過(guò)此小截面的磁通量

d^=B6S=^-bdr

2nr

穿過(guò)截面的磁通量

G=(BdS=幺"力”=處"In&

⑵同樣在環(huán)外(rvRi和廠〉&)作圓形回路，由于，=0

B?2nr=0

/.8=0

3.一根很長(zhǎng)的圓柱形銅導(dǎo)線均勻載有10A電流，在導(dǎo)線內(nèi)部作一平面S,S的一個(gè)邊是導(dǎo)

線的中心軸線，另一邊是S平面與導(dǎo)線表面的交線，如圖所示.試計(jì)算通__________

過(guò)沿導(dǎo)線長(zhǎng)度方向長(zhǎng)為1m的一段S平面的磁通量.（

（真空的磁導(dǎo)率〃（）=4RX107T-m/A,銅的相對(duì)磁導(dǎo)率〃/M）\y~~S~

解：在距離導(dǎo)線中心軸線為k與x+dx處，作一個(gè)單位長(zhǎng)窄條,

其面積為dS=ldx.窄條處的磁感強(qiáng)度

~2兀R2

所以通過(guò)dS的磁通量為dS=8dS=KMVdx

2九R2

通過(guò)1m長(zhǎng)的一段S平面的磁通量為

0=f2&事工=及紀(jì)=10-6Wb

J2兀R24兀

4.計(jì)算如圖所示的平面載流線圈在"點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度.設(shè)線圈中的

電流強(qiáng)度為/.

解：如圖，CD、人廠在P點(diǎn)產(chǎn)生的B=0

B=BAB+BBC+BDE+BEF

BAB=a，(sin人一sin/Q,方向③

4TUZ

其中sin=a1(42a)=1/叵,sin=0

同理，^5=——,方向?.

BC4vlm

同樣BDE=處叵似i），方向

?B—2從（）/N（）l_^^從。］

407ta8兀a

方向區(qū).

5.如圖所示線框，銅線橫截面積S=2.0mm?,其中OA和。O'兩段保持水平不動(dòng)，ABCD

段是邊長(zhǎng)為"的正方形的三邊，它可繞OO'軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng).整個(gè)

導(dǎo)線放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)月中，月的方向豎直向上.已知銅的密度p=8.9

X103kg/m\當(dāng)銅線中的電流/二10A時(shí)，導(dǎo)線處于平衡狀態(tài)，44

段和CO段與豎直方向的夾角a=15".求磁感強(qiáng)度月的大小.

解：在平衡的情況下，必須滿足線框的重力矩與線框所受的磁力矩平衡（對(duì)00'軸而言）.

重力矩M、=2apgS?（asin。+apgSasina

=2Sa2p^sina

2

磁力矩A/2=Biersin(—K-6Z)=laBcosa

平衡時(shí)A/,=M2

所以2S/°gsina=/片8＜：052

B=2S/?gtga//k9.35xlO-3T

6.如圖兩共軸線圈，半徑分別為凡、電流為八、h.電流

的方向相反，求釉線上相電中點(diǎn)O為x處的尸點(diǎn)的磁感強(qiáng)度.

解：取x軸向右，那么有

用=2—沿,軸正方向

B,=—產(chǎn)―”沿x軸負(fù)方向

-2[/?；+(b-x)2]

氏R；i\〃0氏212

宿?S?%)2]3/2[咫1(》X)2]3,2

若B>0,則月方向?yàn)檠?軸正方向.若8<0,則月的方向?yàn)檠豿軸負(fù)方向.

7.如圖所示.一塊半導(dǎo)體樣品的體積為aX/7Xc.沿c方向有電流/,沿厚度。邊方向加有

均勻外磁場(chǎng)月（月的方向和樣品中電流密度方向垂

直）.實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)為a=O.IOcm、力=0.35cm、c=

1.0cm、7=1.0mAsB=3.0X101T,沿8邊兩側(cè)的電勢(shì)

差U=6.65mV,上表面電勢(shì)高.

（1）問(wèn)這半導(dǎo)體是p型（正電荷導(dǎo)電）還是n型（負(fù)電

荷導(dǎo)電）？

（2）求載流子濃度山］即單位體積內(nèi)參加導(dǎo)電的帶

電粒子數(shù)）.

解：（1）根據(jù)洛倫茲力公式：若為正電荷導(dǎo)電，則正電荷堆枳在上表面，霍耳電場(chǎng)的方?向由

上指向下，故上表面電勢(shì)高，可知是p型半導(dǎo)體。

（2）由霍耳效應(yīng)知，在磁場(chǎng)不太強(qiáng)時(shí)，霍耳電勢(shì)差U與電流強(qiáng)度/，磁感強(qiáng)度B成正比,

ID1

而與樣品厚度〃成反比，即：U=K—而K=—

a”o4

:.根據(jù)題給條件，載流子濃度為：%=衛(wèi)=2.82x102。m3

aqU

四研討題

1.將磁場(chǎng)的高斯定理與電場(chǎng)的高斯定理相比，兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。從類比的角度可作

何聯(lián)想？

參考解答：

磁場(chǎng)的高斯定理與電場(chǎng)的高斯定理:

§/.dS=0,正"dS=Z夕

作為類比，反映自然界中沒有與電荷相對(duì)應(yīng)“磁荷”（或叫單獨(dú)的磁極）的存在。但是狄拉

克1931年在理論上指出，允許有磁單極子的存在，提出：

n

94=2

式中。是電荷、沏是磁荷。電荷量子化已被實(shí)驗(yàn)證明了。然而迄今為止，人們還沒有發(fā)現(xiàn)

可以確定磁單極子存在可重復(fù)的直接實(shí)驗(yàn)證據(jù)。如果實(shí)驗(yàn)上找到了磁單極子，那么磁場(chǎng)的高

斯定理以至整個(gè)電磁理論都將作重大修改。

1982年，美國(guó)斯坦福大學(xué)曾報(bào)告，用直徑為5cm的超導(dǎo)線圈放入直徑20cm的超導(dǎo)鋁筒，

由于邁斯納效應(yīng)屏蔽外磁場(chǎng)干擾，只有磁單極子進(jìn)入才會(huì)引起磁通變化。運(yùn)行151天，記錄

到一次磁通變化，但此結(jié)果未能重及。

據(jù)查閱科學(xué)出版社1994年出版的，由美國(guó)引力、宇宙學(xué)和宇宙線物理專門小組撰寫的

《90年代物理學(xué)》有關(guān)分冊(cè)，目前已經(jīng)用超導(dǎo)線圈，游離探測(cè)器和閃爍探測(cè)器來(lái)尋找做單

極子。在前一種情況，一個(gè)磁單極子通過(guò)線圈會(huì)感應(yīng)出一個(gè)階躍電流，它能被一個(gè)復(fù)雜裝置

探測(cè)出來(lái)，但這種方法的探測(cè)面積受到線圈大小的限制。游離探測(cè)器和閃爍探測(cè)器能做成大

面積的，但對(duì)磁單極子不敏感?，F(xiàn)在物理學(xué)家們?nèi)詧?jiān)持?jǐn)U大對(duì)磁單極子的研究，建造閃爍體

或正比計(jì)數(shù)器探測(cè)器，相應(yīng)面積至少為1000m2。并建造較大的，面積為lOOmz量級(jí)的環(huán)狀

流強(qiáng)探測(cè)器，同時(shí)加強(qiáng)尋找陷落在隕石或磁鐵礦中的磁單極子的JJ乍。

2.當(dāng)帶電粒子由弱磁場(chǎng)區(qū)向強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，平行于磁場(chǎng)方向的速度分量如何變

化？動(dòng)能如何變化？垂直于磁場(chǎng)方向的速度分量如何變化？

參考解答：

當(dāng)帶電粒子由弱磁場(chǎng)區(qū)向強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí).，它所受到的磁場(chǎng)力有一個(gè)和前進(jìn)方向

相反的分量，這個(gè)分量將使平行于磁場(chǎng)方向的速度分量減小，甚至可使此速度分量減小到零,

然后使粒子向相反方向運(yùn)動(dòng)（這就是磁鏡的原理）。

當(dāng)帶電粒子由弱磁場(chǎng)區(qū)向強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于平行于磁場(chǎng)方向的速度分量減

小，因而與這個(gè)速度分量用關(guān)的動(dòng)能也減小。然而磁力對(duì)帶電粒子是不做功的，粒子的總動(dòng)

能不會(huì)改變，因此，與垂直于磁場(chǎng)方向的速度分量相關(guān)的動(dòng)能在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中將會(huì)增大，垂

直于磁場(chǎng)方向的速度分量也相應(yīng)地增大。

3.電磁流量計(jì)是一種場(chǎng)效應(yīng)型傳感器，如圖所示：截面矩形的非磁性管，其寬度為乩高度為

人管內(nèi)有導(dǎo)電液體自左向右流動(dòng)，在垂直液面流動(dòng)的方向

加一指向紙面內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B時(shí),測(cè)得液

體上表面的〃與下表面的b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為U,求管店導(dǎo)

電液體的流量。

參考解答：

導(dǎo)電液體自左向右在非磁性管道內(nèi)流動(dòng)時(shí)，在洛侖茲力作用下，其中的正離子積累于

上表面，負(fù)離子積累于下表面，于是在管道中又形成了從上到下方向的勻強(qiáng)霍爾電場(chǎng)E,它

同勻強(qiáng)磁場(chǎng)4一起構(gòu)成了速度選擇器。因此在穩(wěn)定平衡的條

件下，對(duì)于以速度u勻速流動(dòng)的導(dǎo)電液體，無(wú)論是對(duì)其中的

正離子還是負(fù)離子,都有

qE=q—=qvB

???流速u=葛,液體流量Q=vhd=與.

如果截面園形的非磁性管，磁感應(yīng)強(qiáng)度；。一測(cè)量管內(nèi)徑；U—流量信號(hào)(電動(dòng)勢(shì));

u—液體平均軸向流速，L測(cè)量電極之間距離。

霍爾電勢(shì)Uc

Ue=kBLv(1)k1無(wú)量綱)的常數(shù)，

在圓形管道中，體積流量是：

八出

Q=——u(2)

4

把方程(1)、(2)合并得：液體流量。=更.巳

4kLB

或者。=K￡,K校準(zhǔn)系數(shù)，通常是靠濕式校準(zhǔn)來(lái)得到。

第15章磁介質(zhì)的磁化

一、選擇題

1(C),2(B),3(B),4(C),5(D)

二、填空題

(1).-8.88X106,抗.

(2).鐵磁質(zhì)，順磁質(zhì)，抗磁質(zhì).

(3).7.96XIO5A/m,2.42X102A/m.

(4).各磁疇的磁化方向的指向各不相同，雜亂無(wú)章.

全部磁疇的磁化方向的指向都轉(zhuǎn)向外磁場(chǎng)方向.

(5).矯頑力大，剩磷也大；例如永久磁鐵.

(6).磁導(dǎo)率大，矯頑力小，磁滯損耗低.變壓器，交流電機(jī)的鐵芯等.

三計(jì)算題

1.一根同軸線由半徑為體的長(zhǎng)導(dǎo)線和套在它外面的內(nèi)半徑為&、外半徑

為R3的同軸導(dǎo)體圓筒組成.中間充滿磁導(dǎo)率為〃的各向同性均勻非鐵磁絕

緣材料，如圖.傳導(dǎo)電流/沿導(dǎo)線向上流去，由圓筒向下流怛I,在它們的

截面上電流都是均勻分布的.求同軸線內(nèi)外的磁感強(qiáng)度大小B的分布.

解：由安培環(huán)路定理:印3=。

0<r</?)區(qū)域：2nrH=Ir2/R；

IrB="o"

2咽2，-2兀R；

R\<r</?2區(qū)域:=I

—,B=-^~

2兀廠2兀廠

0“7M產(chǎn)-R：）

R2Vr</?3區(qū)域:

（R"R；）

“="2nr工R；-R；

°2"R；-R；

區(qū)域:H=0,8=0

2.一根很長(zhǎng)的同軸電纜，由一導(dǎo)體圓柱(半徑為幻和同軸的導(dǎo)體圓管(內(nèi)、外半徑分別為4

c)構(gòu)成，使用時(shí)，電流/從一導(dǎo)體流出，從另一導(dǎo)體流回.設(shè)電流都是均勻地分布在導(dǎo)體的

橫截面上，求：導(dǎo)體圓柱內(nèi)(X。)和兩導(dǎo)體之間3<，y份的磁場(chǎng)強(qiáng)度〃的大小.

解：由電流分布的軸對(duì)稱性可知，在同一橫截面上繞軸半徑為「的圓周上各點(diǎn)的B值相等,

其方向是沿圓周的切線方向.用，的環(huán)路定律可求出.

(1))<aH?2兀r=反［H=—^-r-

na~2ncr

(2)a</<bH?2nr=I,H=—^―

2nr

3.螺繞環(huán)中心周氏/二10cm,環(huán)上均勻密繞線圈N=2C0匝，線圈中通有電流/=0.1A.管

內(nèi)充滿相對(duì)磁導(dǎo)率4200的磁介質(zhì).求管內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感強(qiáng)度的大小.

解:H=nl=Nl/1=200A/m

B=/JH=RW,H=1.06T

4.一鐵環(huán)的中心線周長(zhǎng)為0.3m,橫截面積為1.0X104m2,在環(huán)上密繞300值表面絕豫的

導(dǎo)線，當(dāng)導(dǎo)線通有電流3.2X1CPA時(shí)，通過(guò)環(huán)的橫截面的磁通量為2.0X10工Wb.求：

(1)鐵環(huán)內(nèi)部的磁感強(qiáng)度；

(2)鐵環(huán)內(nèi)部的磁場(chǎng)強(qiáng)度；

(3)鐵的磁化率；

(4)鐵環(huán)的磁化強(qiáng)度.

8=2=2x10-21

解：⑴

S

⑵n=1000mbH=nh=32A/m

(3)相對(duì)磁導(dǎo)率〃，==497

N°H

???磁化率X，n=1=496

(4)磁化強(qiáng)度M=R〃"=1.59X104A/m

四研討題

1.順磁質(zhì)和鐵磁質(zhì)的磁導(dǎo)率明顯地依賴于溫度，而抗磁質(zhì)的磁導(dǎo)率則幾乎與溫度無(wú)關(guān)，為

什么？

參考解答：

順磁質(zhì)的磁性主要來(lái)源于分子的固有磁矩沿外磁場(chǎng)方向的取向排列。當(dāng)溫度升高時(shí)，由

于熱運(yùn)動(dòng)的緣故，這些固有磁矩更易趨向混亂，而不易沿外磁場(chǎng)方向排列，使得順磁質(zhì)的磁

性因磁導(dǎo)率明顯地依賴于溫度。

鐵磁質(zhì)的磁性主要來(lái)源于磁疇的磁矩方向沿外磁場(chǎng)方向的取向排列。當(dāng)溫度升高時(shí)，各

磁疇的磁矩方向易趨向混亂而使鐵磁質(zhì)的磁性減小，因而鐵磁質(zhì)的磁導(dǎo)率會(huì)明顯地依賴于溫

度。當(dāng)鐵磁質(zhì)的溫度超過(guò)居里點(diǎn)時(shí)，其磁性還會(huì)完全消失。

至于抗磁質(zhì)，它的磁性來(lái)源于抗磁質(zhì)分子在外磁場(chǎng)中所產(chǎn)生的與外磁場(chǎng)方向相反的感生磁

矩，不存在磁矩的方向排列問(wèn)題，因而抗磁質(zhì)的磁性和分子的熱運(yùn)動(dòng)情況無(wú)關(guān)，這就是抗磁

質(zhì)的磁導(dǎo)率幾乎與溫度無(wú)關(guān)的原因。

2.在實(shí)際問(wèn)題中用安培環(huán)路定理￡后(7=￡/。計(jì)算由鐵磁質(zhì)組成的閉合環(huán)路，在得出H

后，如何進(jìn)一步求出對(duì)應(yīng)的B值呢？

參考解答：

由于鐵磁質(zhì)的〃「不是一個(gè)常數(shù)，因此不能用B代，來(lái)進(jìn)行計(jì)算，而是應(yīng)當(dāng)查閱手冊(cè)

中該鐵磁材料的B-H曲線圖，找出對(duì)應(yīng)于計(jì)算值H的磁感強(qiáng)度B值