人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一1.1 集合的概念及特征（精練）（含答案及解析）

1.1集合的概念及特征（精練）1．（2023·高一課時練習(xí)）下列語句中，正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個元素；（4）數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點集是有限集；（5）方程的解能構(gòu)成集合.A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為．A．1個 B．2個C．3個 D．4個3（2023·四川綿陽）已知集合，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．方程的解集是B．方程的解集為{(-2，3)}C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}與集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一個集合D．方程組的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}5．（2023·安徽）若關(guān)于的方程的解集為單元素集合，則（

）A． B．C．或 D．且6．（2023春·河北）下面四個命題正確的個數(shù)是（

）.①集合中最小的數(shù)是1；②若，則；③若，則的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．37．（2023·高一課時練習(xí)）由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．28．（2023·云南）已知集合，若，則實數(shù)的值為（

）A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．無解9（2023·山西）已知其，則由的值構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．10．（2023·陜西）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}11．（2023春·河南焦作）已知集合，且，則取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．12．（2023·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的解集只有一個元素，則m的值為（

）A．2 B． C． D．不存在13．（2023·高一課時練習(xí)）方程組的解集可以表示為（

）A． B． C． D．14．（2023春·江蘇泰州）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．15．（2023·河南周口）（多選）下列說法中不正確的是（

）A．與表示同一個集合B．集合＝與＝表示同一個集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示16．（2023·高一單元測試）（多選）設(shè)集合，且，則x的值可以為（

）A．3 B． C．5 D．17．（2023·高一課時練習(xí)）下列語句中：（1）和表示同一集合；（2）由1，2，3組成的集合可表示為或；（3）方程的所有解組成的集合是；（4）區(qū)間是有限集，其中正確的是__________.（填入所有正確的語句序號）18．（2023·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是________________①與集合相等②方程的所有實數(shù)根組成的集合可記為③全體偶數(shù)組成的集合為④集合表示一條過原點的直線19．（2023·高一單元測試）已知集合，則集合中元素的個數(shù)是______.20．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合A的所有元素為2，4，6，若，且有，則a的值是______.21．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）已知集合中的最大元素為，則實數(shù)________.22．（2023·山東）設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為________.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實數(shù)m＝________．24．（2023·海南）已知集合各元素之和等于3，則實數(shù)___________.25．（2023·西藏）含有三個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則______________.26．（2023·高一課時練習(xí)）用適當(dāng)方法表示下列集合：（1）從1，2，3這三個數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函數(shù)y＝3x2+1圖象上所有點組成的集合.1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）若對任意，，則稱為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B． C． D．2．（2023·河北）（多選）已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則3（2023·江西）設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．（2023·遼寧錦州）（多選）關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．55．（2023·高一課時練習(xí)）已知A為方程的所有實數(shù)解構(gòu)成的集合，其中a為實數(shù).(1)若A是空集，求a的范圍；(2)若A是單元素集合，求a的范圍：(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.6．（2023·黑龍江）已知集合.（1）若中有兩個元素，求實數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.7．（2023·河南）已知集合滿足以下條件：①；②若，則.(1)求證：集合至少有3個元素；(2)若集合，寫出屬于集合的兩個元素，并說明理由.8．（2023·高一課時練習(xí)）已知是滿足下列條件的集合：①②若，則,③若且，則（1）判斷是否正確，說明理由（2）證明：若則（3）證明：若則9．（2023·高一課時練習(xí)）集合A中的元素是實數(shù)，且滿足條件①若，則，②，求：(1)A中至少有幾個元素？(2)若條件②換成，A中至少含有的元素是什么？(3)請你設(shè)計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.10．（2023·遼寧）已知集合的元素全為實數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？請你設(shè)計一個實數(shù)，再求出中的所有元素？(3)根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論．11．（2023·北京）已知實數(shù)集，定義．(1)若，求；(2)若，求集合A；(3)若A中的元素個數(shù)為9，求的元素個數(shù)的最小值．12．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)集由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則．（1）若，則中至少還有幾個元素？（2）集合是否為雙元素集合？請說明理由．（3）若中元素個數(shù)不超過，所有元素的和為，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合．

1.1集合的概念及特征（精練）1．（2023·高一課時練習(xí)）下列語句中，正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個元素；（4）數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點集是有限集；（5）方程的解能構(gòu)成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然數(shù)，故，（1）正確；是無理數(shù)，故，（2）錯誤；由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合為有4個元素，故（3）錯誤；數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點集是無限集，（4）錯誤；方程的解為，可以構(gòu)成集合，（5）正確；故選：A2．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】D【解析】表示實數(shù)集

，則①正確表示有理數(shù)集

，則②正確表示自然數(shù)集

，則③正確是集合的一個元素

，則④正確本題正確選項：3（2023·四川綿陽）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，即集合B的可能元素，則有：由，則，可得；由，且，可得，且；由，且，可得，且；由，且，可得；綜上所述：.故選：D.4．（2023·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．方程的解集是B．方程的解集為{(-2，3)}C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}與集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一個集合D．方程組的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}【答案】D【解析】對于A，方程的解集是，故A錯誤；對于B，方程的解集為，故B錯誤；對于C，集合表示數(shù)集，集合表示點集，故不是同一集合，故C錯誤；對于D，由解得，故解集為{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正確.故選：D.5．（2023·安徽）若關(guān)于的方程的解集為單元素集合，則（

）A． B．C．或 D．且【答案】C【解析】時，原方程為一元一次方程，有唯一解，滿足條件；時，原方程為一元二次方程，當(dāng)判別式時，方程有一個解，此時，，解得所以當(dāng)原方程的解集為單元素集合時，或，選項C正確.故選：C.6．（2023春·河北）下面四個命題正確的個數(shù)是（

）.①集合中最小的數(shù)是1；②若，則；③若，則的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1，故①正確；當(dāng)時，，但，故②錯誤；若，則a的最小值為1.又，則b的最小值為1，當(dāng)a和b都取最小值時，取最小值2，故③正確；由集合中元素的互異性知④錯誤.故選：C7．（2023·高一課時練習(xí)）由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數(shù)不是2，因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數(shù)為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯誤，D正確，故選：D8．（2023·云南）已知集合，若，則實數(shù)的值為（

）A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．無解【答案】B【解析】若，可得當(dāng)時，解得，此時，不滿足集合的互異性，故（舍去），當(dāng)，解得（舍去）或，此時，滿足題意，故實數(shù)的值為-3.故選：B9（2023·山西）已知其，則由的值構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)，即時，，集合中有相同元素，舍去；當(dāng)，即（舍）或時，，符合，故由的值構(gòu)成的集合是.故選：D10．（2023·陜西）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}【答案】D【解析】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x即有且只有一個實數(shù)解,∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.計算得出p＝－3，q＝4.則(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化為(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；則x－1＝0或x－1＝4，計算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故選：.11．（2023春·河南焦作）已知集合，且，則取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為集合，且，所以或.當(dāng)時，解得：或.而，不符合元素的互異性，故或.故選：B12．（2023·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的解集只有一個元素，則m的值為（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】C【解析】因為關(guān)于x的方程的解集只有一個元素，所以，解得.故選：C13．（2023·高一課時練習(xí)）方程組的解集可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，所以方程組的解集可以表示為，故選：C14．（2023春·江蘇泰州）已知集合，，則集合B中所有元素之和為（

）A．0 B．1 C．－1 D．【答案】C【解析】根據(jù)條件分別令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故選：C．15．（2023·河南周口）（多選）下列說法中不正確的是（

）A．與表示同一個集合B．集合＝與＝表示同一個集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示【答案】ABC【解析】對于A中，是一個元素（數(shù)），而是一個集合，可得，所以A不正確；對于B中，集合＝表示數(shù)構(gòu)成的集合，集合＝表示點集，所以B不正確；對于C中，方程＝的所有解的集合可表示為，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程＝的所有解的集合可表示為，所以C不正確；對于D中，集合含有無窮個元素，不能用列舉法表示，所以D正確.故選：ABC.16．（2023·高一單元測試）（多選）設(shè)集合，且，則x的值可以為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】BC【解析】∵，則有：若，則，此時，不符合題意，故舍去；若，則或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；綜上所述：或.故選：BC.17．（2023·高一課時練習(xí)）下列語句中：（1）和表示同一集合；（2）由1，2，3組成的集合可表示為或；（3）方程的所有解組成的集合是；（4）區(qū)間是有限集，其中正確的是__________.（填入所有正確的語句序號）【答案】（2）（3）【解析】對于（1），表示集合中只有這一個元素，而表示不等式的解，故不是同一集合；對于（2），集合中的元素滿足無序性，所有由1，2，3組成的集合可表示為或；對于（3），方程的所有解組成的集合是；對于（4），區(qū)間中有無限多個元素，所以是無限集，故答案為：（2）（3）18．（2023·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是________________①與集合相等②方程的所有實數(shù)根組成的集合可記為③全體偶數(shù)組成的集合為④集合表示一條過原點的直線【答案】④【解析】解方程化簡集合，可判斷①錯；討論的取值，可判斷②錯；用集合表示偶數(shù)集，可判斷③錯；根據(jù)點集的集合表示，可判斷④正確.①由得或，因此與集合不相等；即①錯；②當(dāng)時，方程的解為，方程的所有實數(shù)根組成的集合為，不能表示為；即②錯；③全體偶數(shù)組成的集合為；即③錯；④集合表示直線上的所有點，即集合表示一條過原點的直線；即④正確.故答案為：④.19．（2023·高一單元測試）已知集合，則集合中元素的個數(shù)是______.【答案】5【解析】當(dāng)或或時，

當(dāng)，或時，或

，當(dāng)，或時，或

，當(dāng)，或時，或

，綜上所述：，共個元素故答案為：20．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合A的所有元素為2，4，6，若，且有，則a的值是______.【答案】2或4【解析】若，則，符合題意；若，則，符合題意；若，則，不符合題意.故答案為:2或4.21．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）已知集合中的最大元素為，則實數(shù)________.【答案】1【解析】因為，所以，所以，解得或，顯然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗符合題意．故答案為：22．（2023·山東）設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為________.【答案】【解析】因為，即，所以或，若，則或；若，即，則或.由與互異，得，故或，又，即，所以，解得且，綜上所述，的取值集合為.故答案為：23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實數(shù)m＝________．【答案】3【解析】由題意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，經(jīng)驗證，當(dāng)m＝0或m＝2時，不滿足集合中元素的互異性，當(dāng)m＝3時，滿足題意，故m＝3.答案：324．（2023·海南）已知集合各元素之和等于3，則實數(shù)___________.【答案】或【解析】由題意知：中元素，即為的解，∴或，可知：或∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴或，故答案為：或25．（2023·西藏）含有三個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則______________.【答案】【解析】要使得有意義，則，由集合，故可得，此時，故只需或，若，則集合不滿足互異性，故舍去.則只能為.則.故答案為：.26．（2023·高一課時練習(xí)）用適當(dāng)方法表示下列集合：（1）從1，2，3這三個數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函數(shù)y＝3x2+1圖象上所有點組成的集合.【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.【解析】（1）當(dāng)從1，2，3這三個數(shù)字中抽出1個數(shù)字時，自然數(shù)為1，2，3；當(dāng)抽出2個數(shù)字時，可組成自然數(shù)12，21，13，31，23，32；當(dāng)抽出3個數(shù)字時，可組成自然數(shù)123，132，213，231，321，312.由于元素個數(shù)有限，故用列舉法表示為{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算術(shù)平方根及絕對值的意義，可知：，解得，因此該方程的解集為{（﹣，2）}.（3）首先此集合應(yīng)是點集，是二次函數(shù)y＝3x2+1圖象上的所有點，故用描述法可表示為{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）若對任意，，則稱為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，可知，，為“影子關(guān)系”集合，由，得或，當(dāng)時，，故不是“影子關(guān)系”集合．故選：ABD2．（2023·河北）（多選）已知是同時滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ACD【解析】（1）由①，則由②，，，由③得，故A正確；（2）由（1）可知，故B錯誤；（3）由①知，，，，，即，故C正確；（4），則，由③可得，，，即，，即，；由（3）可知當(dāng)，，，當(dāng)，可得，，故D正確．故答案為：ACD3（2023·江西）設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】對于（1），由，得，一一對應(yīng)，則對于（2），由，得，一一對應(yīng)，則對于（3），由，得，一一對應(yīng)，則對于（4），，但方程無解，則與不相同故選：B4．（2023·遼寧錦州）（多選）關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．5【答案】ABD【解析】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：①方程有且僅有一個不為和的解，，解得：，此時的解為，滿足題意；②方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；③方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；綜上所述：或或.故選：ABD5．（2023·高一課時練習(xí)）已知A為方程的所有實數(shù)解構(gòu)成的集合，其中a為實數(shù).(1)若A是空集，求a的范圍；(2)若A是單元素集合，求a的范圍：(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或；(3)或.【解析】（1）若A是空集，則方程無解，當(dāng)時，方程有解，不符合題意；當(dāng)時，，得.綜上所述：.（2）若A是單元素集合，則方程有唯一實根，當(dāng)時，方程有唯一解，符合題意；當(dāng)時，，得.綜上所述：或.（3）若A中至多有一個元素，則方程至多有一個解，當(dāng)方程無解時，由（1）知，；方程有唯一實根時，由（2）知，或.綜上所述：或.6．（2023·黑龍江）已知集合.（1）若中有兩個元素，求實數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）且；（2）或【解析】（1）由于中有兩個元素，∴關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，∴，且，即，且.故實數(shù)的取值范圍是且（2）當(dāng)時，方程為，，集合只有一個元素；當(dāng)時，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則中只有一個元素，即，，若關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，則中沒有元素，即，.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是或7．（2023·河南）已知集合滿足以下條件：①；②若，則.(1)求證：集合至少有3個元素；(2)若集合，寫出屬于集合的兩個元素，并說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【解析】（1）證明：由，得，則，則，周而復(fù)始，故由題意易得集合至少有3個元素.（2）當(dāng)時，無意義，故；令，解得，即當(dāng)時，，故.故屬于集合的兩個元素是.8．（2023·高一課時練習(xí)）已知是滿足下列條件的集合：①②若，則,③若且，則（1）判斷是否正確，說明理由（2）證明：若則（3）證明：若則【答案】（1）正確，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）正確.證明如下：由①知由②可得由③得（2）證明：由①知由題知，由②可得又，即（3）證明：，由②可得，再由③可得即，即，即當(dāng)由（2）可知，當(dāng)當(dāng)，可得9．（2023·高一課時練習(xí)）集合A中的元素是實數(shù)，且滿足條件①若，則，②，求：(1)A中至少有幾個元素？(2)若條件②換成，A中至少含有的元素是什么？(3)請你設(shè)計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【答案】(1)3；(2)；(3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一）【解析】（1）因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少有3個元素.（2）因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的元素是.（3）令，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的其它元素是.10．（2023·遼寧）已知集合的元素全為實數(shù)，且滿足：若，則．(1)若，求出中其它所有元素；(2)0是不是集合中的元素？請你設(shè)計一個實數(shù)，再求出中的所有元素？(3)根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論．【答案】(1)，，2.(2)不是；當(dāng)時，A中的元素是3，，，．(3)A中沒有元素，0，1；A中有4個元素，其中2個元素互為負(fù)倒數(shù)，另外2個元素也互為負(fù)倒數(shù)．【解析】（1）由題意，可知，則，，，，所以A中其他所有元素為，，2．（2）假設(shè)，則，而當(dāng)時，不存在，假設(shè)不成立，所以0不是A中的元素．取，則，，