人教版高中數(shù)學精講精練必修一3.2.2 函數(shù)的奇偶性（精講）（含答案及解析）

3.2.2函數(shù)的奇偶性（精講）一．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱1.奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0，偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.2.x具有對稱性．因為函數(shù)y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)與f(x)的關系，所以f(x)與f(－x)都有意義，即x與－x都應在函數(shù)的定義域內，所以定義域在數(shù)軸上關于原點對稱．否則，這個函數(shù)一定不具有奇偶性，例3.若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.4.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關于原點對稱的非空數(shù)集.二.函數(shù)的奇偶性與單調性1.若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為增函數(shù)，即在對稱區(qū)間上單調性一致(相同).2.若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為減函數(shù)，即在對稱區(qū)間上單調性相反.三.奇偶函數(shù)的運算性質在公共定義域內：1.兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；2.兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)；3.一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).四.函數(shù)的對稱軸與對稱中心(拓展)(1)若函數(shù)f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T為常數(shù))，則x＝T是f(x)的對稱軸.(2)若函數(shù)f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b為常數(shù))，則(a，b)是f(x)的對稱中心.一．判斷函數(shù)奇偶性的方法1.定義法：一求二看三判斷2.圖象法3.性質法設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．二．利用奇偶性求解析式1.求哪個區(qū)間上的解析式，x就設在那個區(qū)間上；(2)把x對稱轉化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；2.利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).三．利用函數(shù)奇偶性和單調性解不等式1.利用圖象解不等式．2.轉化為簡單不等式求解．（1）利用已知條件，結合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；（2）根據奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，去掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式(組)求解．注意：列不等式(組)時不要忘掉函數(shù)定義域．四．比較大小的1.在同一單調區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調性比較大?。?.不在同一單調區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上，然后利用單調性比較大?。澹瘮?shù)的周期性、奇偶性與單調性的綜合應用函數(shù)周期性的概念：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內的每一個x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期，T的最小正數(shù)取值稱為函數(shù)f(x)的最小正周期．考點一函數(shù)奇偶性的判斷【例1-1】（2023·山西）判斷下列函數(shù)的奇偶性：；(2)；(3).（4）；（5）【一隅三反】1．（2023春·上海寶山）函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)2．（2023·高一課時練習）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)3．（2023·北京）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津濱海）下列判斷正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）對于兩個定義域關于原點對稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內，下列說法中正確的是（

）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)考點二奇偶函數(shù)的圖像特征【例2】（2022秋·安徽馬鞍山）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，．(1)求和的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)作函數(shù)的圖象，并寫出它的單調區(qū)間和值域．【一隅三反】1．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習）已知．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調性；(3)根據函數(shù)的性質，畫出函數(shù)的大致圖像．2．（2023·河南三門峽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當時，．

(1)試求在上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據圖象寫出它的單調區(qū)間．3．（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，如圖所示，現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側的圖象，

(1)請畫出y軸右側的圖像，并寫出函數(shù)的解析式和單調減區(qū)間；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的最大值．考點三利用奇偶性求函數(shù)值【例3-1】（2023春·云南紅河）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則___.【例3-2】（2023·廣東）已知函數(shù)，且，則______．【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是上的奇函數(shù)，當時，，則（

）A．4 B． C．7 D．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·湖南）已知函數(shù)，且，則______．考點四利用奇偶性求函數(shù)解析式【例4-1】（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）若是上的奇函數(shù)，且當時，，則當，______．【例4-2】（2023·廣西）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)在R上的表達式為______．【一隅三反】1．（2023·重慶璧山）已知函數(shù)在上為偶函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則當時，的表達式為_________．3．（2023·山東）已知奇函數(shù)則__________．考點五函數(shù)奇偶性的應用【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一校考階段練習）設是定義在上偶函數(shù)，則在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減函數(shù) D．與，有關，不能確定【例5-2】（2023安徽）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關系為（）A． B．C． D．【例5-3】（2023春·河南）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當時，則關于的不等式的解集為（

）A．B．C．D．【例5-4】（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，對于任意的，（），都有成立．若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．C．或 D．【一隅三反】1．（2023·江蘇鹽城）設是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．2．（2023福建）已知是奇函數(shù)且對任意正實數(shù)，恒有，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一單元測試）設偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則（

）A． B．C． D．4．（2023·廣東深圳）定義在上的偶函數(shù)在單調遞減，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·高一課時練習）若函數(shù)在上是偶函數(shù)，在上單調遞增，則，，的大小關系是___________.6．（2023·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)且.若對于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為_______.考點六函數(shù)性質的綜合運用【例6-1】（2023·北京）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調性，并證明你的結論；(3)解關于的不等式．【例6-2】（2023春·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學考試）設函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)解不等式．【一隅三反】1．（2023·江蘇蘇州）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷在上的單調性，并用單調性定義證明；(3)解不等式.2．（2023·陜西渭南）已知二次函數(shù).(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.3．（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且當x>0時，f(x)<0恒成立.(1)證明函數(shù)y＝f(x)是R上的單調函數(shù)；(2)討論函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范圍.

3.2.2函數(shù)的奇偶性（精講）一．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱1.奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0，偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.2.x具有對稱性．因為函數(shù)y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)與f(x)的關系，所以f(x)與f(－x)都有意義，即x與－x都應在函數(shù)的定義域內，所以定義域在數(shù)軸上關于原點對稱．否則，這個函數(shù)一定不具有奇偶性，例3.若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.4.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關于原點對稱的非空數(shù)集.二.函數(shù)的奇偶性與單調性1.若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為增函數(shù)，即在對稱區(qū)間上單調性一致(相同).2.若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為增函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為減函數(shù)，即在對稱區(qū)間上單調性相反.三.奇偶函數(shù)的運算性質在公共定義域內：1.兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；2.兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)；3.一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù).四.函數(shù)的對稱軸與對稱中心(拓展)(1)若函數(shù)f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T為常數(shù))，則x＝T是f(x)的對稱軸.(2)若函數(shù)f(x)的定義域為D，對?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b為常數(shù))，則(a，b)是f(x)的對稱中心.一．判斷函數(shù)奇偶性的方法1.定義法：一求二看三判斷2.圖象法3.性質法設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．二．利用奇偶性求解析式1.求哪個區(qū)間上的解析式，x就設在那個區(qū)間上；(2)把x對稱轉化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；2.利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).三．利用函數(shù)奇偶性和單調性解不等式1.利用圖象解不等式．2.轉化為簡單不等式求解．（1）利用已知條件，結合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；（2）根據奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，去掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式(組)求解．注意：列不等式(組)時不要忘掉函數(shù)定義域．四．比較大小的1.在同一單調區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調性比較大?。?.不在同一單調區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上，然后利用單調性比較大?。澹瘮?shù)的周期性、奇偶性與單調性的綜合應用函數(shù)周期性的概念：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內的每一個x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期，T的最小正數(shù)取值稱為函數(shù)f(x)的最小正周期．考點一函數(shù)奇偶性的判斷【例1-1】（2023·山西）判斷下列函數(shù)的奇偶性：；(2)；(3).（4）；（5）【答案】(1)奇函數(shù)(2)是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)(3)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（4）奇函數(shù)；（5）偶函數(shù)．【解析】（1）的定義域為，關于原點對稱，，則為奇函數(shù).（2）由，解得，則的定義域為，關于原點對稱，又，則既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù).（3）由，可得或，的定義域不關于原點對稱，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（4）當時，，，；當時，，，.所以函數(shù)為奇函數(shù)；（5）由題意可得，所以且，所以函數(shù)的定義域為關于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)；【一隅三反】1．（2023春·上海寶山）函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域可得，則，由于定義域不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù).故選：C.2．（2023·高一課時練習）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【答案】A【解析】若，則，則；若，則，則.又，滿足.所以，又函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，因此，函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.3．（2023·北京）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，B不是；對于C，函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，C是；對于D，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C4．（2023·天津濱海）下列判斷正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C【解析】對于中，函數(shù)的定義域為{，且}，不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù);對于B中，函數(shù)的定義域為，不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù);對于C中，由得，定義域關于原點對稱，且，，所以是偶函數(shù);對于D中，函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù).故選：C.5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）對于兩個定義域關于原點對稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內，下列說法中正確的是（

）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)【答案】B【解析】對于A，因為和都是奇函數(shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為和都是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故B正確；對于C，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為和都是奇函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：B考點二奇偶函數(shù)的圖像特征【例2】（2022秋·安徽馬鞍山）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，．(1)求和的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)作函數(shù)的圖象，并寫出它的單調區(qū)間和值域．【答案】(1)；(2)(3)圖象見詳解；單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和，值域為【解析】（1）當時，，則，又因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則；（2）因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，所以，令，得，所以，任取，則，所以，所以，綜上所述；（3）結合（2）可得圖象如下，由圖象可知的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和，值域為．【一隅三反】1．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習）已知．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調性；(3)根據函數(shù)的性質，畫出函數(shù)的大致圖像．【答案】(1)偶函數(shù)；(2)單調遞增；(3)詳見解析.【解析】（1）解：因為函數(shù)的定義域為關于原點對稱，又因為，所以是偶函數(shù)；（2）任取，且，則，，因為，所以，，又因為，所以，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；（3）由（2）同理可得在區(qū)間上單調遞增，由（1）知是偶函數(shù)，則在和上單調遞減，所以其圖象如圖所示：2．（2023·河南三門峽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象關于原點對稱，且當時，．

(1)試求在上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據圖象寫出它的單調區(qū)間．【答案】(1)(2)作圖見解析，單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為【解析】（1）∵的圖象關于原點對稱，∴是奇函數(shù)，∴．又的定義域為，∴，解得．設，則，∵當時，，∴，∴，所以；（2）由（1）可得的圖象如下所示：

由圖象可知的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；3．（2022秋·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，如圖所示，現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側的圖象，

(1)請畫出y軸右側的圖像，并寫出函數(shù)的解析式和單調減區(qū)間；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的最大值．【答案】(1)圖見解析，，單調遞減區(qū)間為和(2)【解析】（1）解：如圖所示，根據偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，可作出的圖象，當時，設函數(shù)，由圖象可得，解得，所以，當時，則，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的解析式為，可得的單調遞減區(qū)間為和，

（2）解：當時，，可得其對稱軸的方程為且開口向上，①當時，即時，；②當時，即時，，綜上可得，考點三利用奇偶性求函數(shù)值【例3-1】（2023春·云南紅河）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則___.【答案】【解析】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則.故答案為：．【例3-2】（2023·廣東）已知函數(shù)，且，則______．【答案】【解析】由，得，構建函數(shù)，定義域為，則，即是奇函數(shù)，于是，所以，可得，又，因此．故答案為：【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是上的奇函數(shù)，當時，，則（

）A．4 B． C．7 D．【答案】A【解析】當時，，因為是上的奇函數(shù)，所以，所以.故選：A.2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因為，所以令，則，因為，，所以，令，則.故選：D.3．（2023·湖南）已知函數(shù)，且，則______．【答案】2024【解析】構造具有奇偶性的函數(shù)，由，得，構建函數(shù)，定義域為，因為所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，從而，又，因此.故答案為：2024考點四利用奇偶性求函數(shù)解析式【例4-1】（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）若是上的奇函數(shù)，且當時，，則當，______．【答案】【解析】設，則，所以，因為是上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，故答案為：【例4-2】（2023·廣西）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，則函數(shù)在R上的表達式為______．【答案】【解析】當時，，故，所以，所以故答案為：【一隅三反】1．（2023·重慶璧山）已知函數(shù)在上為偶函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，由于是偶函數(shù)，所以.故選：C2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則當時，的表達式為_________．【答案】/【解析】是定義域為R的奇函數(shù)，當時，，則當時，，，所以當時，的表達式為.故答案為：3．（2023·山東）已知奇函數(shù)則__________．【答案】【解析】當時，，，則．故答案為：.考點五函數(shù)奇偶性的應用【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一?？茧A段練習）設是定義在上偶函數(shù)，則在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減函數(shù) D．與，有關，不能確定【答案】B【解析】是定義在上偶函數(shù)，∴定義域關于原點對稱，即，∴，則，由，即，解得，∴，函數(shù)圖像拋物線開口向下，對稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．故選：B．【例5-2】（2023安徽）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為對任意的，有，所以當時，，所以在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，，因為，所以，即．故選：D．【例5-3】（2023春·河南）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當時，則關于的不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，當時,，由得，即，解得，當時，，則，則，由得，即，解得，又，所以的解集為.故選：D.【例5-4】（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，對于任意的，（），都有成立．若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】由任意的，（），都有可知在單調遞減，由于是定義在上的偶函數(shù)，所以在單調遞增，由得，平方可得，解得或，故選：A【一隅三反】1．（2023·江蘇鹽城）設是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，且，故，所以，所以，則.故選：B.2．（2023福建）已知是奇函數(shù)且對任意正實數(shù)，恒有，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由知，在上單調遞增，∵是奇函數(shù)，則在上單調遞增，由，可得，B錯誤，D正確；雖然由題意可得在，上單調遞增，但是由已知條件無法判斷是否在定義域內單調遞增，則A、C無法判斷正誤，即A、C不一定成立；故選：D.3．（2023秋·高一單元測試）設偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】偶函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則，即.故選：B4．（2023·廣東深圳）定義在上的偶函數(shù)在單調遞減，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為定義在上的偶函數(shù)在單調遞減，不等式等價于，等價于，即，解得，即不等式的解集是.故選：D5．（2022秋·高一課時練習）若函數(shù)在上是偶函數(shù)，在上單調遞增，則，，的大小關系是___________.【答案】【解析】由于在上是偶函數(shù)，所以，因為，函數(shù)在上時增函數(shù)，所以，所以.故答案為：6．（2023·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)且.若對于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】因為是定義域為上的奇函數(shù)，且對于任意，不等式恒成立，所以，即，又因為，所以在上是單調遞減函數(shù)，則有恒成立，即恒成立，令，，則，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.考點六函數(shù)性質的綜合運用【例6-1】（2023·北京）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調性，并證明你的結論；(3)解關于的不等式．【答案】(1)(2)在上單調遞增，證明見解析(3)【解析】（1）為定義在上的奇函數(shù)，，解得：，，解得：；當，時，，，滿足為奇函數(shù)；綜上所述：.（2）在上單調遞增；證明如下：任取，；，，，，，在上單調遞增.（3）為定義在上的奇函數(shù)，由得：，又在上單調遞增，，解得：，不等式的解集為.【例6-2】（2023春·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學考試）設函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)解不等式．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：令，則由，得，即；令，則由，得，即得，故是奇函數(shù)．（2），所以，則，即，

因為，所以，所以，

又因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，所以或．所以x的解集為．【一隅三反】1．（2023·江蘇蘇州）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函