概率專項題庫

1.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了

驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)，給

所有同學(xué)幾何和代數(shù)各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答，

統(tǒng)計情況如下表：（單位：人）

幾何題代數(shù)題總計

男同學(xué)22830

女同學(xué)81220

總計302050

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對他們的答題進行

研究，記甲、乙兩名女生被抽到的人數(shù)為X,求x的分布列及數(shù)學(xué)期

望.附表及公式:

尸（片女。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

左02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-bc^

k2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

答案】（1）有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)；（2）答

案見解析.

【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)得片的觀測值

K?_50x（22xl2-8x8）2

~5.556>5.024，?3分

-30x20x30x20

所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有

關(guān).................5分

(2)由題可知X可能取值為0,1,2,..............................................6分

p（X=0）=",7分

''28

P（x=l）=￡=}.................................................8分

Zo/

P（X=2）=—,9分

,）28

故X的分布列為:

X012

151

P2

28728

10分

E（X）=0x—+lx-+2x—=-12分

v'287282

2.某省高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高

服從正態(tài)分布N(170.5,16),現(xiàn)從某校高三年級男生中隨機抽取50

名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于157.5cm和187.5cm

之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組［157.6,162.5),第二

組［162.5,167.5),…，第六組［182.5,187.5］,下圖是按照上述分組方法得

到的頻率分布直方圖.

（1）求該學(xué)校高三年級男生的平均身高；

（2）求這50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)；

（3）從這50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意

抽取2人，該2中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數(shù)記

為占,求&的數(shù)學(xué)期望.

（附：參考數(shù)據(jù)：若自服從正態(tài)分布N（〃，b2）,則

P（〃-CT〈寧〃+R=0.6826,尸（〃-2。＜氏〃+2。）=0,9544,

尸（〃-3。〈寧〃+3。）=0.9974.）

【答案】（1）171.5cm；（2）10A;（3）E&=T.

【解析】（1）由直方圖可知該校高三年級男生平均身高為

160x0.1+165x0.2+170x0.3+175x0.2+180x0.1+185x0.1=171.5cm..............3

分

(2)由頻率分布直方圖知，后兩組頻率為0.2,人數(shù)為0.2x50=10,

即這50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人數(shù)為10

人...............5分

(3),/PQ70.5-3x4<寧70.5+3x4)=0.9974,

1QQ74-

尸(自三182.5)=—；=0.0013,而0.0013x100000=130,.....................6

分

所以全省前130名的身高在182.5cm以上（含182.5cm），這50人中182.5cm

以上（含182.5cm）的有5人...............7分

隨機變量J可取0,1,2,..................8分

[[

于是。（"0）=卷=[$尸(9)詈rr吟7S得5

??11分

E^=0x|+lx|+2x|=l....................12分

3.中華民族是一個傳統(tǒng)文化豐富多彩的民族，各民族有許多優(yōu)良的

傳統(tǒng)習(xí)俗，如過大年吃餃子，元宵節(jié)吃湯圓，端午節(jié)吃粽子，中秋節(jié)

吃月餅等等，讓人們感受到濃濃的節(jié)目味道，某家庭過大年時包有大

小和外觀完全相同的肉餡餃子、蛋餡餃子和素餡餃子，一家4口人圍

坐在桌旁吃年夜飯，當(dāng)晚該家庭吃餃子時每盤中混放8個餃子，其中

肉餡餃子4個，蛋餡餃子和素餡餃子各2個，若在桌上上一盤餃子大

家共同吃，記每個人第1次夾起的餃子中肉餡餃子的個數(shù)為X,若每

個人各上一盤餃子,記4個人中第1次夾起的是肉餡餃子的人數(shù)為Y,

假設(shè)每個人都吃餃子，且每人每次都是隨機地從盤中夾起餃子.

（1）求隨機變量X的分布列；

（2）若X,y的數(shù)學(xué)期望分別記為￡（x）、E（Y）,求

磯可+EX

【答案】（1）見解析；（2）4.

【解析】（1）隨機變量X的可取值為0,1,2,3,41

分

C°C41

分

Mx=o）=罟，.............................2

fC：=16=8.

??3分

或7035'

分

NX"*曾號T...........................4

WX-3-16、8

（）C；70355分

「4roi

（）

PX=4=V46分

故隨機變量X的分布列為:

X01234

181881

P

7035353570

7分

(2)隨機變量X服從超幾何分布：.?.石(》)=蓼=2,................................9

分

隨機變量丫?.?.E（y）=4x1=2....................................................11

分

.,.￡（X）+￡（y）=2+2=4...................................................12分

4.某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個階段進行，規(guī)定:

初賽成績大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽,

所有學(xué)生的成績均在區(qū)間(30［50］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖.

頻率

(1)求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；

(2)從初賽得分在區(qū)間(110,150］的參賽者中，利用分層抽樣的方

法隨機抽取7人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間(110,130］與

(130,150］各抽取多少人?

(3)從(2)抽取的7人中，選出3人參加全市座談交流，設(shè)X表

示得分在區(qū)間(130,150］中參加全市座談交流的人數(shù)，求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望石(X).

【答案】(1)20；(2)5,2；(3)見解析.

【解析】(1)由題意知［90,110)之間的頻率為：

1-20x(0.0025+0.005+0.0075x2+0.0125)=0.3,.........................2

分

0.3+(0.0125+0.0050)x20=0.65,

，獲得參賽資格的人數(shù)為800x0.65=520..........................4分

(2)在區(qū)間(110,130］與(130,150］,0.0125:0.0050=5:2,

在區(qū)間(110,150］的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人

分在區(qū)間(110,130］與(130,150］各抽取5人，2人.結(jié)果是5,

2.6分

(3)X的可能取值為0,1,2,則：....................7分

P（X=0）=粉g.......................8分

P（X=1）=詈=1........................9分

P（X=2）=攀=：;....................10分

故X的分布列為:

X012

2_

P

777

E（X）=0x—+lx—+2x—=一12分

7777

5.(本小題滿分12分)

西成高鐵的開通極大地方便了漢中人民的出行。開通之前必須

檢測軌道中某新技術(shù)的三項不同的指標(biāo)I、n、in是否合格。假設(shè)

該新技術(shù)的指標(biāo)I、n、ni獨立檢測合格的概率分別為、I：,

332

指標(biāo)I、II、HI檢測合格分別記4分、2分、4分，若某項指標(biāo)不合

格，則該項指標(biāo)記0分，各項指標(biāo)檢測結(jié)果互不影響。

(1)求該新技術(shù)檢測得8分的概率；

(2)記該新技術(shù)的三項指標(biāo)中被檢測合格的個數(shù)為隨機變量f,

求f的分布列與數(shù)學(xué)期望。

is.解：(i)記“該新技術(shù)的三項指標(biāo)i、n、in獨立檢測合

991

格”分別為事件4B,C,則〃G4)=a，P(由=&,P{C)=-,所以

。。乙

事件“該新技術(shù)檢測得分為8分”可表示為/耳C

所以該新技術(shù)量化檢測得分為8分的概率為

P(AB0=■(4)P?P(O=^X-X-=

332

4分

9

(2)(的所有可能取值為0,1,2,3.

由題意結(jié)合(1)知，P(4=0)=P(ABC)=T

7o'Xo~X~Z=--lo,

5分

、__,___?八2111211

P(zf=1)PzBCABC+ABC)XXXX

=(A=-J-。-乙+-。-。-乙+-。

115

x_x_=—

3218,

___2212111

P(W=2)=P(ABC+ABC+ABC)=-X-X-+-X-X-+-X

JJ乙。。乙。

—2*—1一4

32-9,

/、/-2212

P(9=3)=P(AB。=-X-X-=-8分

JJN?

所以隨機變量4的分布列為

154211

所以“=°XW2X§+3Xf12

分

6.【2018天津卷16】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工

人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進

行睡眠時間的調(diào)查.

(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，

現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機

變量1的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)設(shè)/為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員

工，也有睡眠不足的員工”，求事件/發(fā)生的概率.

6.解：(I)解：由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之

比為3：2：2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、

乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.

(II)：隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

P(岸k)(A=0,1,2,3).

所以，隨機變量1的分布列為

11218

353535

隨機變量萬的數(shù)學(xué)期望E(X)=O1+1X||+2X||+3XU.

(ii)解：設(shè)事件夕為“抽取的3人中，睡眠充足的員工

有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件。為“抽取的3人中，

睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則在方UC,

且夕與?；コ猓?i)知，〃而=R>2),〃(0=R>1),故P(A);P(B

U0=〃(F2)+〃(F1)二，

所以，事件/發(fā)生的概率為》

7.樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共

生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百

姓的良性循環(huán).據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進展情況

的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護問題仍是百姓最為關(guān)

心的熱點，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占8。％.現(xiàn)從參與關(guān)注

生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡

分組：第1組［15,25),第2組［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),

第5組［55,65),得到的頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求這200人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中

點值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點后一位);

(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5

人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調(diào)查，求這2組恰好抽到2

人的概率；

(3)若從所有參與調(diào)查的人(人數(shù)很多)中任意選出3人，設(shè)其

中關(guān)注環(huán)境治理和保護問題的人數(shù)為隨機變量x,求x的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

【解析】(1)^10x(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1,得a=0.035,

貝I平均數(shù)為20x0.1+30x0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5歲.

設(shè)中位數(shù)為X，貝1Jl°x0.010+10x0.015+(x-35)x0.035=0.5,故x?42.1.

(2)第1,2組抽取的人數(shù)分別為分3.

3

P(4)=----=—

設(shè)第2組中恰好抽取2人的事件為4,則牖5.

(3)從所有參與調(diào)查的人中任意選出1人，關(guān)注環(huán)境治理和保

護問題的概率為一己，

X的所有可能取值為0,1,2,3,

?4o114-I4n12

...=0)=或1一針=百，P(x=1)=既/1-靖二百，

所以X的分布列為:

,4、,八412

..X~B(3,R.EW=3x-=-

?°，??°D,

8.某高.中隨機抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需的時間(單位：

分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路

上所需時間的范圍是[。，100],樣本數(shù)據(jù)分組為

[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

(1)求直方圖中珀勺值；

(2)如果上學(xué)路上所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)

校住宿，若招生1200名，請估計新生中有多少名學(xué)生可以申請住

宿；

(⑶從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)

路上所需時間少于40分鐘的人數(shù)記為x,求x的分布列和數(shù)學(xué)期

望.(以直方圖中的頻率作為概率)

【答案】(1)0.0025；(2)180；⑶見解析.

【解析】(1)由直方圖可得20x(2x+0.005+0.0175+0.0225)=1.

???x=0.0025.

(2)新生上學(xué)所需時間不少于1小時的頻率為：20x(0.005+0.0025)=0.15.

v1200x0.15=180,

二估計120咯新生中有180名學(xué)生可以申請住宿.

(3)x的可能取值為0,1,2,3,4.

由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時間少于40分鐘的概率為*

P(X=o)=(：)4=盤,p(x=1)==言，

P(X=2)=C；G)峙2=笠，P(X=3)=C：(1)3(1)=

p(x=4)=a=券

則X的分布列為:

X

01234

8121621696

P

625625625625625

"MTLIZ八81.4,216.r-216,96,.168

m=0x-+lx-+2x-+o3x-+4x-=-.

即X的額學(xué)期望為:

9..(河北省石家莊市2018屆高中畢業(yè)班模擬考試)2022年北京

冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷

項目迅速炒“熱”.北京某綜合大學(xué)計劃在一年級開設(shè)冰球課程,

為了解學(xué)生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學(xué)生中抽取了

2

100人進行調(diào)查，其中女生中對冰球運動有興趣的占5,而男生有

10人表示對冰球運動沒有興趣.

(1)完成下面的2X2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不

超過0.1的前提下認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣沒興趣合計

男55

女

合計

（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)再從該校一年級全體學(xué)生中,

采用隨機抽樣的方法每次抽取1名學(xué)生，抽取5次，記被抽取的5

名學(xué)生中對冰球有興趣的人數(shù)為兀若每次抽取的結(jié)果是相互獨立

的，求x的分布列、期望和方差.

附表：

0.0.0.0.0.

P(K：—即)

150100050025010

2.2.3.5.6.

即

072706841024635

2n(ad-bc)2

八一八1、K=--------------------m=a+b+c+d.

參考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】（D根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:

闿

有興趣沒有興趣合計

男451055

女301545

合計7525100

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到虻=1。及4%5110;30）2=*'3.030,

55x45x75x2533

K2?3.030>2,706,

所以能在犯錯誤的概率不超過0」的前提下可以認為“對冰球是否有興趣與性別有關(guān)二

（2）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，對冰球有興趣的學(xué)生頻率是1，

4

將頻率視為概率，即從大一學(xué)生中抽取一名學(xué)生，對冰球有興趣的

概率是1，

4

由題意知》~8（5,當(dāng)，從而乃的分布列為:

4

012345

1If9(27。405243

P

1。:4102410：4HL410：410.4

3153315

E(X)=^=5X-=7,=5X/(1十行

10.（安徽省“皖南八校”2018屆高三第三次（4月）聯(lián)考數(shù)學(xué)試

題）自2016年底，共享單車日漸火爆起來，逐漸融入大家的日

常生活中，某市針對18歲到80歲之間的不同年齡段的城市市民

使用共享單車情況進行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下表所示：

別

年於、男性女性合計

C18.2S)18040220

[25,35)3€0240600

[35,50)40100140

[50.80)202040

合計6004001000

⑴采用分層抽樣的方式從年齡在［25,35)內(nèi)的人中抽取10人,

求其中男性、女性的使用人數(shù)各為多少？

(2)在(1)中選出10人中隨機抽取4人，求其中恰有2人

是女性的概率；

(3)用樣本估計總體，在全市18歲到80歲的市民中抽取

4人，其中男性使用的人數(shù)記為6,求珀勺分布列.

3

【答案】(1)男性、女性人數(shù)分別為6,4；(2)7；(3)見解析.

【解析】(D因為年齡在［25,35)的人中男性、女性的使用人數(shù)占總體的比例分別為皖=》

oOu3OvU

所以抽取的10人中男性、女性的人數(shù)分別為:xio=6.1xio=4.

(2)由題意知，在(1)中選出的10人中，女性使用者的人數(shù)為4,

所以4人中恰有2人是女性的概率為

(3)由題意知，出可能取值為0,123,4,

因為用樣本估計總體，任取1人，是男性使用者的概率為翳=%

所以隨機變量助艮從二項分布，即《~8(4$,

PG=0)=嘮&=券P&=1)=c：G)飛＞=券P恁=2)=C憐哺2=繆

q3q21216A3281

p(f=3)=騙)3(鏟==4)=以式1)n。=話

所以分布列為:

§01234

9621621681

625625625625

P16

625

11.隨著手機的發(fā)展，“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機

構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了5.0人，他們年

齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”的贊成人數(shù)如下表：

[I

年齡

15,2525,3535,4545,5555,65[65,7

(單位：歲)

)))))5)

頻數(shù)CcJ

050

贊成人

rrNc1

數(shù)02

(1)若以“年齡45歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面

2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度

與人的年齡有關(guān);

年齡不低于45歲年齡低于45歲的

的人數(shù)人數(shù)計

贊成

的人數(shù)

不贊

成的人數(shù)

合計

(2)若從年齡在［25,35)和［55,65)的被調(diào)查人中按照分層

抽樣的方法選取6人進行追蹤調(diào)查，并給予其中3人“紅包”獎勵,

求3人中至少有1人年齡在［55,65)的概率.

參考公式：K2=----------------------------------,"=a+,+c+d,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K2>1■0)

0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

【解析】(1)根據(jù)條件得2x2列聯(lián)表:

年齡不低于45歲的年齡低于45歲的4

人數(shù)人數(shù)計

贊成3

1027

的人數(shù)7

不贊1

103

成的人數(shù)3

合20305

計0

根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，計算得到底的觀測值為

50x(10x3-27x10)2

?9.979>6.635.

20x30x37x13

所以有99%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有

關(guān).

（2）由分層抽樣可知：

［55,65）（歲）抽取6*恐=2（人）；

［25,35）（歲）抽取6x券=4（人）.

年齡在［55,65）（歲）記為AB,年齡在［25,35）（歲）記為

a,b,c,d，則從6人中任取3人的所有情況為：（A5,Q）、（A民匕）、（45。）、

（A,3,d）、（A。,））、（A。,。）、（A6,c）、（A,b,d）、（Ac,d）、、

（abc）、（a,b,d）、（a,c,d）、（b,c,d）,共20種情況，

其中至少有一人年齡在［55,65）歲的情況有：

（A氏/?）、（A,B,c）＞（A氏d）、（A,a,c）、（A"c）、（A,b,d）、

（Ac,d）、、（昆Q,C）、（B,a,d）、（B,b,c）、（B,b,d）、（B,c,d）,共

16種情況.

記至少有一人年齡在［55,65）歲為事件A,則尸（4）='=?

故至少有一人年齡在［55,65）歲的概率為g.

12.（本小題滿分12分）第23屆冬季奧運會于2018年2月9

日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)

束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的

時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表:

收

看時間

[0,1?口，21[2‘阪5)[5,6

（單位：

小時）

收12

143012

看人數(shù)680

（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義

為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補

全2x2列聯(lián)表:

合

女

計

體育達

40

人

非體育

30

達人

合計

并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“體育達人”

與“性別”有關(guān)；

(2)在全校“體育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從

這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座.記其中女職工的

人數(shù)為上求的4分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:

產(chǎn)(眩22%)

.15.10.05.025.010.005.001

.072.706.841.024.635.8790.828

玄2隊ad-be)

(a+3)(c+d)(a+c)(8+d)

19.(1)見解析；(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值,

對照臨界值得出結(jié)論；

(2)由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職

工，

所以J的可能取值為0,1,2.計算。概率值.得到自分布列與

數(shù)學(xué)期望.

試題解析：

(1)由題意得下表:

「男女合計

體育達人402060

非體育達人303060

合計7050120

120(1200-600)224

長的觀測值為=——>2.706.

70x50x60x607

所以有90%的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”

有關(guān).

(2)由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2

名女職工，

所以J的可能取值為0,1,2.

且3)噌*小尸(『)=誓=*尸…嚏

1

15

所以4的分布列為

012

281

P

~51515

C2I8.1102

E（f）=0x—+lx—+2x——=——=—.

v751515153

13.針對國家提出的延遲退休方案，某機構(gòu)進行了網(wǎng)上調(diào)查，

所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人

數(shù)如下表所示:

一支持保留不支持

50歲以下800040002000

50歲以上（含50

100020003000

歲）

（1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取〃個人,

已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求〃的值；

（2）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取10人

看成一個總體，從這10人中任意選取3人，求50歲以下人數(shù)J的分布

列和期望；

（3）在接受調(diào)查的人中，有10人給這項活動打出的分數(shù)如下:

9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7,把這10個人打出

的分數(shù)看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的

絕對值超過0.6概率.

19.解：（1）參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為

8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中從持“不支持”態(tài)度

的人數(shù)2000+3000=5000中抽取了30人，所以〃=20000x^^=120.

(2)在持“不支持”態(tài)度的人中，50歲以下及50歲以上人數(shù)

之比為2:3,因此抽取的10人中，50歲以下與50歲以上人數(shù)分別為4

人，6人，J=0,1,2,3,

PC=O)=*=$PC=D=娶仁

5o°Jo/

C2cl3C31

0123

p￡J_31

62To30

1131

瓦=0義—+lx—+2x——+3x—=1.2.

。621030

(3)總體的平均數(shù)為

-1

x=_(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2+8.3+9.7)=9,

那么與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的數(shù)有8.2,8.3,9.7,

所以任取1個數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率為

14..近年來，共享單車已經(jīng)悄然進入了廣大市民的日常生活,

并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾，某共享單車公

司在其官方APP中設(shè)置了用戶評價反饋系統(tǒng)，以了解用戶對車輛狀況

和優(yōu)惠活動的評價.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200條較為詳細的評價信息

進行統(tǒng)計，車輛狀況的優(yōu)惠活動評價的2x2列聯(lián)表如下:

對優(yōu)惠活動對優(yōu)惠活動

合計

好評不滿意

對車輛狀況

10030130

好評

對車輛狀況

403070

不滿意

合計14060200

(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為優(yōu)惠活動

好評與車輛狀況好評之間有關(guān)系？

(2)為了回饋用戶，公司通過APP向用戶隨機派送每張面額

為0元，1元，2元的三種騎行券.用戶每次使用APP掃碼用車后，都

可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得1元券，獲得2元券的概率分別

是:，：，且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨立.若某用戶一天使用了兩

次該公司的共享單車，記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為X,求

隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

P(,K2>k)0.]50o.]00O.C50O.C250.(100.(05O.C

2.()722二063.8415.C246.((357/7910.

k

n(ad-bc)2

參考公式：K2=，其中〃=〃+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.t?:(1)由2x2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，有

n(ad-bc)2200(3000-1200)2

k=

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)140x60x70x130

200xl8254000)。s”。

------------=------x8.48<10.828.

14x6x7x13637

因此，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，不能認為優(yōu)惠活

動好評與車輛狀況好評有關(guān)系.

(2)由題意，可知一次騎行用戶獲得0元的概率為X的所

有可能取值分別為0，1，2,3,4.

3Q133

*/P(X=0)=(―)2=——，P(X=1)=C—X——，

10100~21010

P(X=2)=現(xiàn)義/夕=焉，P(X=3)=C；；x*,

1,1

尸(X=4)=q)2=石，

???X的分布列為：

X01234

93371

P

100W100525

X的數(shù)學(xué)期望為EX=lx』+2x衛(wèi)+3x'+4x1=L8（元）.

10100525

15.2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽將在俄羅斯

拉開帷幕.某地方體育臺組織球迷對德國、西班牙、阿根廷、巴西四

支熱門球隊進行競猜，每位球迷可從四支球隊中選出一支球隊，現(xiàn)有

三人參與競猜.

(1)若三人中每個人可以選擇任何一支球隊，且選擇每個球

隊都是等可能的，求四支球隊中恰好有兩支球隊有人選擇的概率；

(2)若三人中有一名女球迷，假設(shè)女球迷選擇德國隊的概率

為［男球迷選擇德國隊的概率為g,記J為三人中選擇德國隊的人

數(shù)，求&的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.w：（l）設(shè)恰好有兩支球隊被人選擇為事件A,由于三人

等可能的選擇四支球隊中的任意一支，有43種不同選擇，

每種選擇可能性相等，故恰好有兩支球隊被人選擇有C；盤種不

同選擇，

所以尸（A）=爭e

416

由題知J=0,1,2,3,且尸(自=0)=］義(|)2=5，

13233811

9+-xC*x——x—=----1------=—,

3一55252525

_1?i232,3、2484134

「n抬/e=2)=—xC,x-x-+-(-)-=—+—=—,Pnz(Je=3)=—x(Z一)A2

3-55352575153575

JJ的分布列為

w0123

61141

P

23T375

XA1XH±X±=17

??E?=0++2X+3

2525157515

16.為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機制，激勵學(xué)生積極參加

身體鍛煉，教育部印發(fā)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)（2014年修訂）》，

要求各學(xué)校每學(xué)期開展覆蓋本校各年級學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工作，并

根據(jù)學(xué)生每個學(xué)期總分評定等級.某校決定針對高中學(xué)生，每學(xué)期進

行一次體質(zhì)健康測試，以下是小明同學(xué)六個學(xué)期體質(zhì)健康測試的總分

情況.

學(xué)期X123456

總分y（分）512518523528534535

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r說明y與X的線性相關(guān)程度,

并用最小二乘法求出y關(guān)于X的線性回歸方程（線性相關(guān)系數(shù)保留網(wǎng)位

小數(shù)）;

（2）在第六個學(xué)期測試中學(xué)校根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，劃定540分以上為優(yōu)

秀等級，已知小明所在的學(xué)習(xí)小組10個同學(xué)有6個被評定為優(yōu)秀，

測試后同學(xué)們都知道了自己的總分但不知道別人的總分，小明隨機的

給小組內(nèi)4個同學(xué)打電話詢問對方成績，優(yōu)秀的同學(xué)有x人，求x的分

布列和期望.

n

E（Xi-x）（y「y）

參考公式：6=-n------,a=y-6x;

2（玉-行

i=l

n

E&-x）（y「y）

1=1

相關(guān)系數(shù)rn；

2